Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Cấp số cộng có đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là cấp số cộng.

Thật vậy, ta có u$_{n}$ – u$_{n – 1}$= (1 – 3n) – [1 – 3(n – 1)] = 1 – 3n – 1 + 3n – 3 = – 3 luôn không đổi với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ và u$_{1}$ = 1 – 3 . 1 = – 2.

Vậy (u$_{n}$) với u$_{n}$ = 1 – 3n là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = – 2 và công sai d = – 3.

Đáp án đúng là: A

Gọi d là công sai của cấp số cộng.

Ta có u$_{8}$ = u$_{1}$ + (8 – 1)d = u$_{1}$ + 7d.

Mà ${u_1} = \frac{1}{3}$; u$_{8}$ = 26 nên ta có 26 = $\frac{1}{3}$ + 7d, từ đó suy ra d = $\frac{{11}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 2, công sai d, ba số hạng xen giữa 2 và 22 lần lượt là u$_{2}$, u$_{3}$, u$_{4}$ và số hạng thứ năm là u$_{5}$ = 22.

Khi đó ta có u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 2 + 4d = 22, suy ra d = 5.

Do đó, u$_{2}$ = u$_{1}$ + d = 2 + 5 = 7; u$_{3}$ = u$_{2}$ + d = 7 + 5 = 12 và u$_{4}$ = u$_{3}$ + d = 12 + 5 = 17.

Vậy ba số hạng cần tìm là 7; 12; 17.

Đáp án đúng là: D

Giả sử d là công sai của cấp số cộng (u$_{n}$).

Ta có u$_{5}$ + u$_{7}$ = [u$_{1}$ + (5 – 1)d] + [u$_{1}$ + (7 – 1)d] = 2u$_{1}$ + 10d.

Và u$_{2}$ + u$_{10}$ = (u$_{1}$ + d) + [u$_{1}$ + (10 – 1)d] = 2u$_{1}$ + 10d.

Do đó, u$_{2}$ + u$_{10}$= u$_{5}$ + u$_{7}$ = 19.

Đáp án đúng là: B

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:

${S_{10}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right].10}}{2} = \frac{{\left( {2.2 + 9.\left( { - 5} \right)} \right).10}}{2} = - 205$.

Đáp án đúng là: B

Ta có S$_{1}$ = 1$^{2}$ + 4 . 1 = 5 = u$_{1}$;

S$_{2}$ = 2$^{2}$ + 4 . 2 = 12, mà S$_{2}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ = 5 + u$_{2}$, từ đó suy ra u$_{2}$ = 12 – 5 = 7.

Do đó, công sai d của cấp số cộng là d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 7 – 5 = 2.

Vậy u$_{1}$ = 5, d = 2.

Do ba số $\frac{1}{{b + c}},\,\frac{1}{{c + a}},\,\frac{1}{{a + b}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} = \frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{{b + c + a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{{2b + c + a}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}}$

⇒ 2(a + b)(b + c) = (c + a)(2b + c + a)

⇔ 2ab + 2ac + 2b$^{2}$ + 2bc = 2bc + c$^{2}$ + ca + 2ab + ac + a$^{2}$

⇔ 2b$^{2}$ = a$^{2}$ + c$^{2}$

⇔ b$^{2}$ – a$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$.

Suy ra ba số a$^{2}$, b$^{2}$, c$^{2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Ba số 10 – 3x, 2x$^{2}$ + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi

(2x$^{2}$ + 3) – (10 – 3x) = (7 – 4x) – (2x$^{2}$ + 3)

⇔ 2x$^{2}$ + 3 – 10 + 3x = 7 – 4x – 2x$^{2}$ – 3

⇔ 4x$^{2}$ + 7x – 11 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 11}}{4}\end{array} \right.$.

Vậy $x \in \left\{ {\frac{{ - 11}}{4};\,1} \right\}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 10\\{u_1} + \left( {7 - 1} \right)d = 19\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 6d = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$.

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 3.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 10\\{u_1} + \left( {{u_1} + 5d} \right) = 17\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\d = - 3\end{array} \right.$.

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u$_{1}$ = 16 và công sai d = – 3.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right].10}}{2} = 165\\\frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = 630\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 9d = 33\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 3\end{array} \right.$.

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và công sai d = 3.

Ta có u$_{2}$ + u$_{4}$ = (u$_{1}$ + d) + (u$_{1}$ + 3d) = 2u$_{1}$ + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u$_{1}$.

Lại có u$_{1}$ . u$_{5}$ = u$_{1}$ . (u$_{1}$ + 4d) = u$_{1}$ . (u$_{1}$ + 22 – 2u$_{1}$) = u$_{1}$ . (22 – u$_{1}$).

Mà u$_{1}$ . u$_{5}$ = 21, do đó u$_{1}$ . (22 – u$_{1}$) = 21 ⇔ 22u$_{1}$ – u$_{1}$$^{2}$ – 21 = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 21\end{array} \right.$.

Với u$_{1}$ = 1, suy ra $d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.1}}{4} = 5 > 0$ (thỏa mãn).

Với u$_{1}$ = 21, suy ra $d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.21}}{4} = - 5 < 0$ (không thỏa mãn).

Vậy cấp số cộng (u$_{n}$) có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 5.

Ta có: u$_{100}$ = u$_{1}$ + (100 – 1)d = 1 + 99 . 5 = 496.

${S_{100}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right].100}}{2} = \frac{{\left( {2.1 + 99.5} \right).100}}{2} = 24\,850$.

Ta có u$_{2}$ + u$_{4}$ = (u$_{1}$ + d) + (u$_{1}$ + 3d) = 2u$_{1}$ + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u$_{1}$.

Lại có u$_{1}$ . u$_{5}$ = u$_{1}$ . (u$_{1}$ + 4d) = u$_{1}$ . (u$_{1}$ + 22 – 2u$_{1}$) = u$_{1}$ . (22 – u$_{1}$).

Mà u$_{1}$ . u$_{5}$ = 21, do đó u$_{1}$ . (22 – u$_{1}$) = 21 ⇔ 22u$_{1}$ – u$_{1}$$^{2}$ – 21 = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 21\end{array} \right.$.

Với u$_{1}$ = 1, suy ra $d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.1}}{4} = 5 > 0$ (thỏa mãn).

Với u$_{1}$ = 21, suy ra $d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.21}}{4} = - 5 < 0$ (không thỏa mãn).

Vậy cấp số cộng (u$_{n}$) có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 5.

Ta có u$_{5}$ – u$_{1}$ = (u$_{1}$ + 4d) – u$_{1}$ = 4d, tương tự u$_{9}$ – u$_{5}$ = 4d, ...

Do đó các số u$_{1}$, u$_{5}$, u$_{9}$, ..., u$_{100}$ lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d' = 4d = 4 . 5 = 20.

Lại có (101 – 1) : 4 + 1 = 26 nên tổng u$_{1}$ + u$_{5}$ + u$_{9}$ + ... + u$_{101}$ gồm 26 số hạng.

Do vậy, u$_{1}$ + u$_{5}$ + u$_{9}$ + ... + u$_{101}$ $= \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {26 - 1} \right)d'} \right].26}}{2} = \frac{{\left( {2.1 + 25.20} \right).26}}{2} = 6\,526$.

Gọi số hạng nhỏ nhất trong các số cần tìm là u và công sai của cấp số cộng là d.

Khi đó, năm số hạng liên tiếp là u, u + d, u + 2d, u + 3d, u + 4d.

Vì tổng của chúng bằng 40 nên u + u + d + u + 2d + u + 3d + u + 4d = 40

⇔ 5u + 10d = 40 ⇔ u + 2d = 8.

⇔ u = 8 – 2d. (1)

Lại có tổng bình phương của chúng bằng 480 nên

u$^{2}$ + (u + d)$^{2}$ + (u + 2d)$^{2}$ + (u + 3d)$^{2}$ + (u + 4d)$^{2}$ = 480. (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

(8 – 2d)$^{2}$ + (8 – 2d + d)$^{2}$ + (8 – 2d + 2d)$^{2}$ + (8 – 2d + 3d)$^{2}$ + (8 – 2d + 4d)$^{2}$ = 480

⇔ (8 – 2d)$^{2}$ + (8 – d)$^{2}$ + 8$^{2}$ + (8 + d)$^{2}$ + (8 + 2d)$^{2}$ = 480

⇔ 64 – 32d + 4d$^{2}$ + 64 – 2d + d$^{2}$ + 64 + 64 + 2d + d$^{2}$ + 64 + 32d + 4d$^{2}$ = 480

⇔ 10d$^{2}$ + 320 = 480

⇔ 10d$^{2}$ = 160

⇔ d$^{2}$ = 16

⇔ d = ±4

+ Với d = 4, ta có u = 8 – 2 . 4 = 0.

+ Với d = – 4, ta có u = 8 – 2 . (– 4) = 16.

Vậy năm số hạng liên tiếp cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.

Ta có: u$_{1}$ + u$_{5}$ + u$_{9}$ + u$_{13}$ + u$_{17}$ + u$_{21}$

= u$_{1}$ + (u$_{1}$ + 4d) + (u$_{1}$ + 8d) + (u$_{1}$ + 12d) + (u$_{1}$ + 16d) + (u$_{1}$ + 20d)

= 6u$_{1}$ + 60d

Mà u$_{1}$ + u$_{5}$ + u$_{9}$ + u$_{13}$ + u$_{17}$ + u$_{21}$ = 234 nên 6u$_{1}$ + 60d = 234 ⇔ u$_{1}$ + 10d = 39.

Lại có u$_{2}$ + u$_{8}$ + u$_{14}$ + u$_{20}$ = (u$_{1}$ + d) + (u$_{1}$ + 7d) + (u$_{1}$ + 13d) + (u$_{1}$ + 19d)

= 4u$_{1}$ + 40d = 4(u$_{1}$ + 10d) = 4 . 39 = 156.

Vậy u$_{2}$ + u$_{8}$ + u$_{14}$ + u$_{20}$ = 156.

Ta có u$_{1}$ + 10d = (u$_{1}$ + 9d) + d = u$_{10}$ + d = 39.

Mà u$_{10}$ = 37 nên suy ra d = 39 – u$_{10}$ = 39 – 37 = 2.

Do đó, u$_{1}$ = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.

Vậy u$_{1}$ = 19 và d = 2.

Ta có ${v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}$, ${v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}$.

Khi đó, ${v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1$ không đổi với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (v$_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu là ${v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}$ và công sai d = – 1.

Ta có ${v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right).\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - n + 1 = \frac{3}{2} - n$.

Vì ${v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}$ nên $1 + \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{3}{2} - n$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{1}{2} - n$$\Leftrightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}$.

Vậy ${v_n} = \frac{3}{2} - n$ và ${u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}$.

Từ ${v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}$, suy ra $\frac{1}{{{u_n}}} = {v_n} - 1$.

Khi đó ta có $S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}$

= (v$_{1}$ – 1) + (v$_{2}$ – 1) + (v$_{3}$ – 1) + ... + (v$_{20}$ – 1)

= (v$_{1}$ + v$_{2}$ + v$_{3}$ + ... + v$_{20}$) – 20.

Mà v$_{1}$ + v$_{2}$ + v$_{3}$ + ... + v$_{20}$ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v$_{n}$) nên

v$_{1}$ + v$_{2}$ + v$_{3}$ + ... + v$_{20}$ = $\frac{{\left[ {2{v_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = \frac{{\left( {2.\frac{1}{2} + 19.\left( { - 1} \right)} \right).20}}{2} = - 180$.

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = $\frac{{\left( {1 + 12} \right).12}}{2} + 11$ = 89 (tiếng chuông).

Tổng số khúc gỗ được xếp là:

15 + 16 + ... + 21 = $\frac{{\left( {15 + 21} \right).7}}{2}$ = 126 (khúc gỗ).