Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối chương 2 có đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n + 1}$ = 5$^{n + 1}$ – (n + 1) = 5$^{n + 1}$ – n – 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_{2 - \,1}} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1$;

${u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_{3 - \,1}} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}$;

${u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_{4 - \,1}} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}$.

Đáp án đúng là: C

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (u$_{n}$) với u$_{n}$ = 2$^{n}$ là dãy số tăng.

Thật vậy, ta có u$_{n + 1}$ = 2$^{n + 1}$ = 2 . 2$^{n}$.

Khi đó, u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = 2 . 2$^{n}$ – 2$^{n}$ = 2$^{n}$ > 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$, tức là u$_{n + 1}$ > u$_{n}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với u$_{n}$ = 2$^{n}$ là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là: ${S_{20}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = \frac{{\left( {2.3 + 19.3} \right).20}}{2} = 630$.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}$.

Ta có: ${u_1} = \frac{1}{{{5^1}}} = \frac{1}{5}$

${u_{n + 1}} = \frac{1}{{{5^{n + 1}}}} = \frac{1}{{{5^n}.5}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{{{5^n}}} = \frac{1}{5}{u_n}$ không đổi với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{5}$ và công bội $q = \frac{1}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (u$_{n}$) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$q = 6; u$_{4}$ = u$_{1}$q$^{3}$ = 24, suy ra $\frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} = {q^2} = \frac{{24}}{6} = 4$.

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (u$_{n}$) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u$_{2}$ = u$_{1}$q = 6, suy ra u$_{1}$ = $\frac{6}{q}$ = 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (u$_{n}$) là ${S_{10}} = \frac{{3\left[ {1 - {2^{10}}} \right]}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{10}} - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)

= 12 + (10 + 10$^{2}$ + 10$^{3}$ + ... + 10$^{11}$)

$= 12 + \frac{{10\left( {1 - {{10}^{11}}} \right)}}{{1 - 10}}$

$= \frac{{108}}{9} + \frac{{{{10}^{12}} - 10}}{9}$

$= \frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}$.

Ta có ${u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{\pi }{2} = 0$; ${u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$;

${u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{7\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; ${u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{9\pi }}{6} = 0$;

${u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{11\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; ${u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; $- \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $- \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; 0; $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có

${u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 13} \right)\frac{\pi }{6}} \right]$

$= \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}$ với mọi n ≥ 1.

Vì u$_{n + 6}$ = u$_{n}$ với mọi n ≥ 1 nên

u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + ... + u$_{27}$ = 4 . (u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{4}$ + u$_{5}$ + u$_{6}$) + u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$

= $4.\left[ {0 + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right] + 0 + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

= $- \sqrt 3$.

Ta có: ${u_1} = {S_1} = \frac{{1.\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 3$.

Vì ${u_1} + {u_2} = {S_2} = \frac{{2.\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} = - 11$ nên u$_{2}$ = S$_{2}$ – u$_{1}$ = – 11 – (– 3) = – 8.

Vì ${S_2} + {u_3} = {S_3} = \frac{{3\left( { - 1 - 5.3} \right)}}{2} = - 24$ nên u$_{3}$ = S$_{3}$ – S$_{2}$ = – 24 – (– 11) = – 13.

Ta có: u$_{n}$ = S$_{n}$ – S$_{n – 1}$ = $\frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left[ { - 1 - 5\left( {n - 1} \right)} \right]}}{2}$

$= \frac{{ - n - 5{n^2} - \left( {n - 1} \right)\left( { - 1 - 5n + 5} \right)}}{2}$$= \frac{{ - n - 5{n^2} - \left( { - n - 5{n^2} + 5n + 1 + 5n - 5} \right)}}{2}$

$= \frac{{ - 10n + 4}}{2} = 2 - 5n$.

Vậy u$_{n}$ = 2 – 5n.

Ta có: u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = (2 – 5n) – [2 – 5(n – 1)] = – 5, với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u$_{n}$) là một cấp số cộng.

Ta có u$_{1}$ = 1, u$_{2}$ = 2, u$_{3}$ = u$_{2 + 1}$ = 2u$_{2}$ – u$_{2 – 1}$+ 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u$_{4}$ = u$_{3 + 1}$ = 2u$_{3}$ – u$_{3 – 1}$ + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u$_{5}$ = u$_{4 + 1}$ = 2u$_{4}$ – u$_{4 – 1}$ + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

Từ công thức u$_{n + 1}$ = 2u$_{n}$ – u$_{n – 1}$+ 2 suy ra u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ + 2.

Mà v$_{n}$ = u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ và v$_{n – 1}$ = u$_{n – 1 + 1}$– u$_{n – 1}$= u$_{n}$ – u$_{n – 1}$.

Do đó, v$_{n}$ = v$_{n – 1}$ + 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (v$_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu v$_{1}$ = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 1 và công sai d = 2.

Từ kết quả câu b, ta có: v$_{n}$ = v$_{1}$ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v$_{1}$ = u$_{2}$– u$_{1}$

v$_{2}$ = u$_{3}$ – u$_{2}$

...

v$_{n – 2}$= u$_{n – 1}$ – u$_{n – 2}$

v$_{n – 1}$ = u$_{n}$– u$_{n – 1}$

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v$_{1}$ + v$_{2}$ + ... + v$_{n – 2}$ + v$_{n – 1}$ = – u$_{1}$ + u$_{n}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {{v_1} + {v_{n - 1}}} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left[ {1 + \left( { - 1 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2} = - 1 + {u_n}$

⇔ (n – 1)$^{2}$ = u$_{n}$– 1

⇔ u$_{n}$= 1 + (n – 1)$^{2}$.

Vậy u$_{n}$= 1 + (n – 1)$^{2}$ và v$_{n}$ = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Ta có ${v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2$;

${v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \left( {\frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}} \right):\left( {n + 1} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (v$_{n}$) là một cấp số nhân có số hạng đầu v$_{1}$ = – 2 và công bội $q = \frac{1}{2}$.

Từ kết quả của câu a) suy ra ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right).{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}}$.

Từ ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}$, suy ra ${u_n} = n.{v_n} = - n.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}}$ với mọi n ≥ 2.

Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:

1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).

Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:

1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,75$^{2}$ = 675 (triệu đồng).

Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:

1 200 . 0,75$^{5}$ ≈ 285 (triệu đồng).

Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:

$1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9};\,1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^2} = \frac{{17}}{{81}};\,1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^3} = \frac{{217}}{{729}}$.

Gọi S$_{n}$ là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Ta có: S$_{n}$ = 1 – ${\left( {\frac{8}{9}} \right)^n}$.