Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1 có đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

$\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = \frac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ = \frac{\pi }{3}$.

Khi đó, ta có: $\left( {OA,OC} \right) = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$.

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos α ta được:

$A = \frac{{3\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}$$= \frac{{3\tan \alpha + 1}}{{\tan \alpha - 1}} = \frac{{3.2 + 1}}{{2 - 1}} = \frac{7}{1} = 7$.

Đáp án đúng là: A

Ta có A = (2sin x – cos x)$^{2}$ + (2cos x + sin x)$^{2}$

= 4sin$^{2}$ x – 4sin x cos x + cos$^{2}$ x + 4cos$^{2}$ x + 4cos x sin x + sin$^{2}$ x

= 5sin$^{2}$ x + 5cos$^{2}$ x

= 5(sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x)

= 5 . 1 = 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - \frac{1}{6}}}{{\frac{7}{6}}} = - \frac{1}{7}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3} + \alpha - \frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3} - \alpha + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{ - 3 + \sqrt 3 }}{{12}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có cos 2x = 0 $\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{\pi \,}}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Do $\tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ nên tan x = $- \frac{1}{{\sqrt 3 }}$$\Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có VT = sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°)

= sin 45° . cos 30° + cos 45° . (– sin 30°)

= sin 45° . cos 30° – cos 45° . sin 30°

= sin(45° – 30°)

= sin 15° = VP (đpcm).

Ta có$\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{5}}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}$.

Vậy $\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}$ (đpcm).

Sử dụng công thức hạ bậc và quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

${\sin ^2}\left( {45^\circ - \alpha } \right) = \frac{{1 - \cos \left( {90^\circ - 2\alpha } \right)}}{2} = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}$.

Vậy ${\sin ^2}\left( {45^\circ - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}$ (đpcm).

Vì sin(45°– α) = $\frac{1}{{2\sqrt 2 }}$ nên sin$^{2}$(45°– α) = ${\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{1}{8}$.

Theo câu a) ta có ${\sin ^2}\left( {45^\circ - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}$, do đó $\frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2} = \frac{1}{8}$.

Từ đó suy ra $\sin 2\alpha = \frac{3}{4}$.

Do $\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}$ nên $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{x}{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k6\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k6\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{5} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{{20}} + k2\pi \\2x = - \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{40}} + k\pi \\x = - \frac{{9\pi }}{{40}} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}$ (do $\cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\frac{x}{2} = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\sqrt 3 \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

$\Leftrightarrow \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}$ (do $\tan \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$)

$\Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $\cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1$ nên cot(3x + π) = – 1 $\Leftrightarrow \cot \left( {3x + \pi } \right) = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow 3x + \pi = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow 3x = - \frac{{5\pi }}{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = 3x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3x = - \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + 3x = \pi + \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = - \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2x = k2\pi \\x - 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

${\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 3x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = - \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3x = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + 3x = - \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Sử dụng quan hệ phụ nhau của hai góc lượng giác, ta có:

$\cot 3x = \tan \frac{{2\pi }}{7}$

$\Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{7}} \right)$

$\Leftrightarrow \cot 3x = \cot \frac{{3\pi }}{{14}}$

$\Leftrightarrow 3x = \frac{{3\pi }}{{14}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{\pi }{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét h = 0 hay |y| = 0, suy ra y = 0, tức là $a\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{5}t = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow t = 5k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ge 0} \right)$ (do t ≥ 0).

Ta nhận thấy, từ thời điểm ban đầu, cứ sau 5 giây, khoảng cách từ chất điểm đến trục hoành lại bằng 0. Suy ra sau mỗi 5 giây, chất điểm chuyển động được nửa vòng. Vậy chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây.

Do chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây nên khi t = 2,5 giây thì chất điểm chuyển động được một phần tư vòng theo chiều dương, suy ra tại t = 2,5 ta có y = |y| = h = 5 (do bằng bán kính). Khi đó, $a\sin \left( {\frac{\pi }{5}.2{,}5} \right) = 5$$\Leftrightarrow a = 5$.

Vậy a = 5.

Từ kết quả câu b, ta có: $y = 5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)$.

Do h = 2,5 cm và chất điểm nằm ở dưới trục hoành nên y = – 2,5.

Với y = – 2,5, ta có: $5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - 2{,}5$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5}t = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5}t = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 5 + 60k}}{6}\\t = \frac{{35 + 60k}}{6}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Với vòng quay đầu tiên thì 0 ≤ t ≤ 10, do đó $t = \frac{{35}}{6},\,\,t = \frac{{55}}{6}$.

Vậy tại thời điểm $t = \frac{{35}}{6}$ giây, $t = \frac{{55}}{6}$ giây thì chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm ở dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.