Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: 2$^{x – 1}$ = 8 ⇔ 2$^{x – 1}$ = 2$^{3}$ ⇔ x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2$^{x}$ = 5 ⇔ x = log$_{2}$5.

Vậy phương trình có nghiệm là x = log$_{2}$5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: 9$^{2x + 1}$ = 27$^{x – 3}$

⇔ 3$^{2(2x + 1)}$ = 3$^{3(x – 3)}$

⇔ 2(2x + 1) = 3(x – 3)

⇔ x = – 11.

Vậy phương trình có nghiệm là x = –11.

Đáp án đúng là: A

Ta có: log$_{2}$(x – 5) = 4 ⇔ x – 5 = 2$^{4}$ ⇔ x – 5 = 16 ⇔ x = 21.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 21.

Đáp án đúng là: B

${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=-2\Leftrightarrow x-1={(\frac{1}{2})}^{-2}$

⇔ x – 1 = 4 ⇔ x = 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

Đáp án đúng là: B

log(x$^{2}$ – 7x + 12) = log(2x – 8)

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-7x+12=2x-8 \\ 2x-8>0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-9x+20=0 \\ x>4\end{matrix}$
$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}[\begin{matrix}x=4 \\ x=5\end{matrix} \\ x>4\end{matrix}\Leftrightarrow x=5.$
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2$^{x}$ < 5 ⇔ x < log$_{2}$5 (do 2 > 1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; log$_{2}$5).

Đáp án đúng là: A

Do 0 < 0,2 < 1 nên ta có:

log$_{0{,}2}$ (x + 1) > –3

⇔ 0 < x + 1 < 0,2$^{–3}$

⇔ 0 < x + 1 < 125

⇔ –1 < x < 124.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (–1; 124).

a) 3$^{x – 1}$ = 5 ⇔ x – 1 = log$_{3}$5 ⇔ x = log$_{3}$5 + 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = log$_{3}$5 + 1.

b) ${3}^{{x}^{2}-4x+5}=9\Leftrightarrow {3}^{{x}^{2}-4x+5}={3}^{2}\Leftrightarrow {x}^{2}-4x+5=2$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=1 \\ x=3\end{matrix}.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {1; 3}.

c) ${2}^{2x+3}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow {2}^{2x+3}={2}^{3}{.2}^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow {2}^{2x+3}={2}^{\frac{7}{2}}$

$\Leftrightarrow 2x+3=\frac{7}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{4}.$

d) 8$^{x – 2}$ = 4$^{1 – 2x}$ ⇔ 2$^{3(x – 2)}$ = 2$^{2(1 – 2x)}$

⇔ 3(x – 2) = 2(1 – 2x) ⇔ 7x = 8

$\Leftrightarrow x=\frac{8}{7}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{8}{7}.$

e) ${2}^{{x}^{2}-3x-2}=0{,}25\cdot {16}^{x-3}$

$\Leftrightarrow {2}^{{x}^{2}-3x-2}={2}^{-2}{.2}^{4(x-3)}$

$\Leftrightarrow {2}^{{x}^{2}-3x-2}={2}^{-2+4(x-3)}$

$\Leftrightarrow {2}^{{x}^{2}-3x-2}={2}^{4x-14}$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-3x-2=4x-14$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-7x+12=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=3 \\ x=4\end{matrix}.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {3; 4}.

g) ${2}^{{x}^{2}-4x+4}=3\Leftrightarrow {x}^{2}-4x+4={\log }_{2}3$

$\Leftrightarrow {(x-2)}^{2}={\log }_{2}3$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x-2=\sqrt{lo{g}_{2}3} \\ x-2=-\sqrt{lo{g}_{2}3}\end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2+\sqrt{lo{g}_{2}3} \\ x=2-\sqrt{lo{g}_{2}3}\end{matrix}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \{2+\sqrt{lo{g}_{2}3};2-\sqrt{lo{g}_{2}3}\}.$

a) log$_{4}$(x – 4) = –2 ⇔ x – 4 = 4$^{–2}$

$^{\Leftrightarrow x-4=\frac{1}{16}\Leftrightarrow x=\frac{65}{16}.}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{65}{16}.$

b) log$_{3}$(x$^{2}$ + 2x) = 1 ⇔ x$^{2}$ + 2x = 3$^{1}$

$\Leftrightarrow {x}^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-3 \\ x=1\end{matrix}.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 3; 1}.

c) ${\log }_{25}({x}^{2}-4)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {x}^{2}-4={25}^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow {x}^{2}-4=5\Leftrightarrow {x}^{2}=9\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=3 \\ x=-3\end{matrix}.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 3; 3}.

d) ${\log }_{9}[{(2x-1)}^{2}]=2\Leftrightarrow {(2x-1)}^{2}={9}^{2}$

$\Leftrightarrow 4{x}^{2}-4x-80=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-4 \\ x=5\end{matrix}.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 4; 5}.

e) Ta có: $\log ({x}^{2}-2x)=\log (2x-3)$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-2x=2x-3 \\ 2x-3>0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-4x+3=0 \\ x>\frac{3}{2}\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}[\begin{matrix}x=1 \\ x=3\end{matrix} \\ x>\frac{3}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow x=3.$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

g) ${\log }_{2}({x}^{2})+{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+8)=0.$

$\Leftrightarrow {\log }_{2}({x}^{2})+{\log }_{{2}^{-1}}(2x+8)=0$

⇔ log$_{2}$ (x$^{2}$) – log$_{2}$ (2x + 8) = 0

⇔ log$_{2}$ (x$^{2}$) = log$_{2}$ (2x + 8)

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}=2x+8 \\ 2x+8>0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-2x-8=0 \\ x>-4\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}[\begin{matrix}x=-2 \\ x=4\end{matrix} \\ x>-4\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-2 \\ x=4\end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 2; 4}.

a)

(0,2)$^{2x + 1}$ > 1 ⇔ (0,2)$^{2x + 1}$ > 0,2$^{0}$

⇔ 2x + 1 < 0 (do 0 < 0,2 < 1)

⇔ $x<-\frac{1}{2}$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-\infty ;-\frac{1}{2})$
b) ${27}^{2x}\le \frac{1}{9}\Leftrightarrow {({3}^{3})}^{2x}\le {9}^{-1}$

$\Leftrightarrow {3}^{3..2x}\le {({3}^{2})}^{-1}\Leftrightarrow {3}^{6x}\le {3}^{-2}$
$\Leftrightarrow 6x\le -2$ (do 3 > 1)

$\Leftrightarrow x\le -\frac{1}{3}.$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-\infty ;-\frac{1}{3}]$.

c) ${(\frac{1}{2})}^{{x}^{2}-5x+4}\ge 4\Leftrightarrow {({2}^{-1})}^{{x}^{2}-5x+4}\ge {2}^{2}$
$\Leftrightarrow {2}^{-{x}^{2}+5x-4}\ge {2}^{2}$
⇔ –x2 + 5x – 4 ≥ 2 (vì 2 > 0)
⇔ –x2 + 5x – 6 ≥ 0
⇔ 2 ≤ x ≤ 3.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm [2; 3].
d) ${(\frac{1}{25})}^{x+1}<{125}^{2x}\Leftrightarrow {({5}^{-2})}^{x+1}<{({5}^{3})}^{2x}$
⇔ 5–2x – 2 < 56x ⇔ –2x – 2 < 6x (do 5 > 1)
$\Leftrightarrow -8x<2\Leftrightarrow x>-\frac{1}{4}$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-\frac{1}{4};+\infty )$
e) ${(\sqrt{2}-1)}^{3x-2}<{(\sqrt{2}+1)}^{4-x}$
$\Leftrightarrow {[\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}]}^{3x-2}<{(\sqrt{2}+1)}^{4-x}$
$\Leftrightarrow {(\frac{1}{\sqrt{2}+1})}^{3x-2}<{(\sqrt{2}+1)}^{4-x}$
$\Leftrightarrow {[{(\sqrt{2}+1)}^{-1}]}^{3x-2}<{(\sqrt{2}+1)}^{4-x}$
$\Leftrightarrow {(\sqrt{2}+1)}^{2-3x}<{(\sqrt{2}+1)}^{4-x}$
⇔ 2 – 3x < 4 – x
⇔ –2x < 2 ⇔ x > –1.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm (–1; +∞).
g) ${(0{,}5)}^{2{x}^{2}-x}>{(\sqrt{2})}^{4x-12}$
$\Leftrightarrow {({2}^{-1})}^{2{x}^{2}-x}>{({2}^{\frac{1}{2}})}^{4x-12}$
$\Leftrightarrow {2}^{x-2{x}^{2}}>{2}^{2x-6}$
⇔ x – 2x2 > 2x – 6
⇔ – 2x2 – x + 6 > 0
$\Leftrightarrow -2<x<\frac{3}{2}.$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $(-2;\frac{3}{2}).$

a) ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x-6)<-3\Leftrightarrow 2x-6>{(\frac{1}{2})}^{-3}$ (do $0<\frac{1}{2}<1)$

⇔ 2x – 6 > 8 ⇔ x > 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (7; +∞).

b) log$_{3}$ (x$^{2}$ – 2x + 2) > 0

⇔ x$^{2}$ – 2x + 2 > 3$^{0}$ ⇔ x$^{2}$ – 2x + 2 > 1

⇔ x$^{2}$ – 2x + 1 > 0 ⇔ (x – 1)$^{2}$ > 0 ⇔ x ≠ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ \ {1}.

c) ${\log }_{4}(2{x}^{2}+3x)\ge \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2{x}^{2}+3x\ge {4}^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow 2{x}^{2}+3x-2\ge 0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x\le -2 \\ x\ge \frac{1}{2}\end{matrix}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;-2]\cup [\frac{1}{2};+\infty ).$

d) log$_{0{,}5}$ (x – 1) ≥ log$_{0{,}5}$ (5 – 2x)

⇔ 0 < x – 1 ≤ 5 – 2x (Vì 0 < 0,5 < 1)

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-1>0 \\ x-1\le 5-2x\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x>1 \\ 3x\le 6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x>1 \\ x\le 2\end{matrix}\Leftrightarrow 1<x\le 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1 ; 2].

e) log(x$^{2}$ + 1) ≤ log(x + 3)

⇔ 0 < x$^{2}$ + 1 ≤ x + 3

⇔ x$^{2}$ – x – 2 ≤ 0 (do x$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x)

⇔ –1 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [–1; 2].

g) ${\log }_{\frac{1}{5}}({x}^{2}-6x+8)+{\log }_{5}(x-4)>0$

$\Leftrightarrow {\log }_{{5}^{-1}}({x}^{2}-6x+8)+{\log }_{5}(x-4)>0$

⇔ – log$_{5}$ (x$^{2}$ – 6x + 8) + log$_{5}$ (x – 4) > 0

⇔ log$_{5}$ (x$^{2}$ – 6x + 8) < log$_{5}$ (x – 4)

⇔ 0 < x$^{2}$ – 6x + 8 < x – 4

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-6x+8>0 \\ {x}^{2}-6x+8<x-4\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}[\begin{matrix}x>4 \\ x<2\end{matrix} \\ {x}^{2}-7x+12<0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}[\begin{matrix}x>4 \\ x<2\end{matrix} \\ 3<x<4\end{matrix}\Leftrightarrow x\in \emptyset .$

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Đổi 13 giờ = 780 phút.

Gọi T (phút) là thời gian để vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần.

Gọi M$_{0}$ là số tế bào/1 ml dịch nuôi của vi khuẩn Bacillus subtilis tại thời điểm ban đầu (t = 0). Theo bài ra ta có: M$_{0}$= 2.10$^{2}$.

Gọi M$_{t}$ là số tế bào/1 ml dịch nuôi của vi khuẩn Bacillus subtilis tại thời điểm t.

Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 3,33.10$^{9}$ nên ta có: M$_{780}$= 3,33 . 10$^{9}$.

Do vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trưởng trong điều kiện tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi nên ta có:

Suy ra: ${M}_{780}={M}_{0}{.2}^{\frac{780}{T}}\Rightarrow 3,{33.10}^{9}={2.10}^{2}{.2}^{\frac{780}{T}}$

$\Rightarrow {2}^{\frac{780}{T}}=1,{665.10}^{7}.$

$\Rightarrow \frac{780}{T}={\log }_{2}(1,{665.10}^{7})\Rightarrow T\approx 33.$

Vậy sau gần 33 phút vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần.

Ta có: S = 93logd + 65, trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được.

Với S = 140 (dặm/giờ) suy ra: 93logd + 65 = 140

$\Rightarrow \log d=\frac{75}{93}\Rightarrow d={10}^{\frac{75}{93}}\approx 6{,}4$ (dặm).

Vậy khi tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ thì cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường gần bằng 6,4 dặm.

Vì mức cường độ âm trong một nhà máy phải giữ sao cho không vượt quá 85 dB nên ta có: $L\le 85\Leftrightarrow 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 85$

$\Leftrightarrow \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 8{,}5\Leftrightarrow \log I-\log {10}^{-12}<8{,}5$

$\Leftrightarrow \log I+12\le 8{,}5\Leftrightarrow \log I\le -3{,}5\Leftrightarrow I\le {10}^{-3{,}5}$

Vậy cường độ âm của nhà máy đó không vượt quá 10$^{–3{,}5}$ (W/m$^{2}$).