Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 3. Đạo hàm cấp hai có đáp án

Đáp án đúng là: B

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t$_{0}$ là đạo hàm cấp hai của f(s = f(t) và bằng f’’(t$_{0}$).

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số f(x) = e$^{–x}$. Ta có:

f’(x) = (e$^{–x}$) = – e$^{–x}$.

f’’(x) = (– e$^{–x}$)’ = e$^{–x}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số f(x) = ln(3x). Ta có:

${f}^{'}(x)={[\ln (3x)]}^{'}=\frac{{(3x)}^{'}}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.$

${{f}^{'}}^{'}(x)={(\frac{1}{x})}^{'}=-\frac{1}{{x}^{2}}.$

a) Ta có: $f(x)=\text{sin}x\cdot \text{cos}x\cdot \text{cos}2x=\frac{1}{2}\text{sin}2x\cdot \text{cos}2x=\frac{1}{4}\text{sin}4x$.

Khi đó, ${f}^{'}(x)=\frac{1}{4}\cdot {(4x)}^{'}\cdot \text{cos}4x=\text{cos}4x.$

f’’(x) = (4x)’.(–sin4x) = –4sin4x.

b) Vì f’’(x) = –4sin4x nên ta có:

${f}^{''}(\frac{π}{6})=-4\text{sin}(4\cdot \frac{π}{6})=-4\text{sin}(\frac{2π}{3})=-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}.$

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ + 4x$^{2}$ + 5. Ta có:

f’(x) = (x$^{3}$ + 4x$^{2}$ + 5)’ = 3x$^{2}$ + 8x;

f’’(x) = (3x$^{2}$ + 8x)’ = 6x + 8.

Khi đó, f’(x) – f’’(x) = 3x$^{2}$ + 8x – 6x – 8 = 3x$^{2}$ + 2x – 8.

Để f’(x) – f’’(x) ≥ 0 thì 3x$^{2}$ + 2x – 8 ≥ 0

$\Leftrightarrow (3x-4)(x+2)\ge 0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x\ge \frac{4}{3} \\ x\le -2\end{matrix}.$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=(-\infty ;-2]\cup [\frac{4}{3};+\infty ).$

Ta có: ${s}^{'}(t)={(\frac{1}{3}{t}^{3}-3{t}^{2}+8t+2)}^{'}={t}^{2}-6t+8;$

s’’(t) = (t$^{2}$ – 6t + 8)’ = 2t – 6.

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là s’’(t) = (t$^{2}$ – 6t + 8)’ = 2t – 6.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là:

s’’(5) = 2.5 – 6 = 4 (m/s$^{2}$).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s là:

s’(t) = t$^{2}$ – 6t + 8 = –1

⇔ t$^{2}$ – 6t + 9 = 0

⇔ (t – 3)$^{2}$ = 0

⇔ t – 3 = 0

⇔ t = 3 (s).

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3 (s) là:

s’’(3) = 2.3 – 6 = 0 (m/s$^{2}$).