Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo công thức tính đạo hàm của một tích ta có: (fg)’ = f’g + fg’.

Đáp án đúng là: B

Theo công thức tính đạo hàm của một thương ta có: ${(\frac{f}{g})}^{'}=\frac{{f}^{'}g-f{g}^{'}}{{g}^{2}}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: f’(x) = (cos3x)’ = (–3x)’.sin3x = –3.sin3x.

Đáp án đúng là: A

Ta có: f’(x) = [sin(x$^{2}$)]’ = (x$^{2}$)’.cos(x$^{2}$) = 2xcos(x$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Ta có ${f}^{'}(x)={(\frac{1}{2x+3})}^{'}=-\frac{{(2x+3)}^{'}}{{(2x+3)}^{2}}=-\frac{2}{{(2x+3)}^{2}}=\frac{-2}{{(2x+3)}^{2}}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có f’(x) = (e$^{2x}$)’ = (2x)’.e$^{2x}$ = 2e$^{2x}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${f}^{'}(x)={(\ln (3x))}^{'}=\frac{{(3x)}^{'}}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.$

f’(x) = (2$^{3x – 6}$)’ = (3x – 6)’. 2$^{3x – 6}$ln2 = 3ln2. 2$^{3x – 6}$. Khi đó:

f’(x) = 3ln2

⇔ 3ln2. 2$^{3x – 6}$ = 3ln2

⇔ 2$^{3x – 6}$ = 1

⇔ 3x – 6 = 0

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Ta có: g’(x) = 2f(x)f’(x) + (2x)’f(x) + 2xf’(x).

= 2f(x)f’(x) + 2f(x) + 2xf’(x).

Vậy g’(0) = 2f(0).f’(0) + 2.f(0) + 2.0.f’(0)

= 2.1.1 + 2.1 + 0 = 4.

Hàm số y = f(x) = x$^{2}$ + 3x.

f’(x) = (x$^{2}$ + 3x)’ = 2x + 3.

a) Ta có f’(–1) = 2.(–1) + 3 = –2 + 3 = 1 và f(–1) = (–1)$^{2}$ + 3.(–1) = 1 – 3 = –2.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng –1 là:

y = f’(–1)[x – (–1)] + f(–1)

Hay y = 1.(x + 1) – 2, tức là y = x – 1.

b) Gọi điểm có tọa độ (a; 4) là tiếp điểm của đồ thị (C) có tung độ bằng 4.

Khi đó ta có f(a) = 4

Suy ra a$^{2}$ + 3a = 4

Hay a$^{2}$ + 3a – 4 = 0

Do đó a = 1 hoặc a = –4.

Suy ra hai điểm M$_{1}$(1; 4) và M$_{2}$(–4; 4).

Ta có f’(1) = 2.1 + 3 = 5 và f’(–4) = 2.(–4) + 3 = –8 + 3 = –5.

Trường hợp 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M$_{1}$(1; 4) là:

y = f’(1)(x – 1) + 4

Hay y = 5(x – 1) + 4, tức là y = 5x – 1.

Trường hợp 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M$_{2}$(–4; 4) là:

y = f’(–4)(x + 4) + 4

Hay y = –5(x + 4) + 4, tức là y = –5x – 16.

Vận tốc tức thời của chất tại thời điểm t (s) giây là:

$v(t)={s}^{'}(t)={(\frac{1}{3}{t}^{3}-3{t}^{2}+8t+2)}^{'}={t}^{2}-6t+8$(m/s).

Vận tốc tức thời của chất tại thời điểm t = 5 (s) là:

v(5) = 5$^{2}$ – 6.5 + 8 = 3 (m/s).

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch tại thời điểm t (s) là:

$I(t)={Q}^{'}(t)={10}^{-5}\cdot 2\ 000\cdot \text{cos}(2\ 000t+\frac{π}{3})=0{,}02\text{cos}(2\ 000t+\frac{π}{3})$ (A).

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch tại thời điểm $t=\frac{π}{1\ 500}$ (s) là:

$I(\frac{π}{1\ 500})=0{,}02\text{cos}(2\ 000\cdot \frac{π}{1\ 500}+\frac{π}{3})=0{,}01$ (A).

Tính từ năm 2010 đến năm 2015 (khoảng thời gian là 5 năm), chọn năm 2010 làm mốc, ta có:

1 153 600 = 1 038 229.e$^{5r}$

Suy ra$r=\frac{\ln (\frac{1\ 153\ 600}{1\ 038\ 229})}{5}\approx 0{,}021.$

Khi đó, ta có: S(N) ≈ 1 038 229.e$^{0{,}021N}$.

Suy ra tốc độ gia tăng dân số vào thời điểm sau N năm kể từ năm 2010 là:

S’(N) ≈ 0,021 . 1 038 229 . e$^{0{,}021N}$ = 21 802,809 . e$^{0{,}021N}$ (người/năm)

Tốc độ gia tăng dân số tỉnh D vào năm 2023 (sau 13 năm từ năm 2010) là:

S’(13) ≈ 21 802,809 . e$^{0{,}021}$ $^{.}$ $^{13}$ ≈ 28 647 (người/năm).

a) Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm t (s) là: v(t) = s’(t) = 20 – 5t (m/s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh (t = 0 s) là:

v(0) = 20 – 5.0 = 20 (m/s).

Đổi 20 m/s = 72 km/h > 70 km/h.

Suy ra ô tô trên đã chạy quá tốc độ giới hạn cho phép.

b) Khi xảy ra va chạm, ô tô đã đi được 20,4 m kể từ khi đạp phanh, nên ta có:

$20{,}4=20t-\frac{5}{2}{t}^{2}\Leftrightarrow 5{t}^{2}-40t+40{,}8=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=1{,}2 \\ t=6{,}8\end{matrix}$

Vì 0 ≤ t ≤ 4 nên t = 1,2 (s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm (t = 1,2 s) là:

v(1,2) = 20 – 5.1,2 = 14 (m/s).

Ta có ${y}^{'}(x)={(10x-\frac{{x}^{2}}{100})}^{'}=10-\frac{x}{50}.$

Doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x0 = 10 000 là:

$f'(10\ 000)=10-\frac{10\ 000}{50}=-190$ (đồng).