Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Phép lũy thừa với số mũ thực có đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ định nghĩa phép tính lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có: ${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}.$

Ta thấy n = 7 ∈ ℕ* nên điều kiện xác định của ${x}^{-7}=\frac{1}{{x}^{7}}$ là x ≠ 0.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy n = 5 là số lẻ nên điều kiện xác định của $\sqrt[5]{{x}^{3}}$ là x$^{3}$ ∈ ℝ hay x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy n = 8 là số chẵn nên điều kiện xác định của $\sqrt[8]{{x}^{3}}$ là x$^{3}$ ≥ 0 hay x ≥ 0.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy: $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên điều kiện xác định của ${x}^{\sqrt{2}}$ là: x > 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $P={2}^{1-\sqrt{2}}{.2}^{3+\sqrt{2}}{.4}^{\frac{1}{2}}={2}^{1-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}}.{({2}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

$={2}^{4}{.2}^{2\cdot \frac{1}{2}}={2}^{4}{.2}^{1}={2}^{4+1}={2}^{5}=32.$

Đáp án đúng là: A

Do $\sqrt{3}<\sqrt{5}$ và với a > 1 nên ${a}^{\sqrt{3}}<{a}^{\sqrt{5}}$ hay $\frac{1}{{a}^{\sqrt{3}}}>\frac{1}{{a}^{\sqrt{5}}}.$

Mà $\frac{1}{{a}^{\sqrt{3}}}={a}^{-\sqrt{3}}$ nên ${a}^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{{a}^{\sqrt{5}}}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${(2-\sqrt{3})}^{a-1}<2+\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{{(2-\sqrt{3})}^{a}}{2-\sqrt{3}}<2+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow {(2-\sqrt{3})}^{a}<(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$ (do $2-\sqrt{3}>0)$

$\Leftrightarrow {(2-\sqrt{3})}^{a}<1$$\Leftrightarrow {(2-\sqrt{3})}^{a}<{(2-\sqrt{3})}^{0}$

$\Leftrightarrow a>0$ (do $0<2-\sqrt{3}<1)$)

Đáp án đúng là: C

Vì ${a}^{\sqrt{3}}<{a}^{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ suy ra 0 < a < 1.

Vậy nếu ${a}^{\sqrt{3}}<{a}^{\sqrt{2}}$ thì 0 < a < 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P=\sqrt[3]{{x}^{2}\sqrt{{x}^{3}}}={({x}^{2}.{x}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}$$={({x}^{2+\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}={({x}^{\frac{7}{2}})}^{\frac{1}{3}}={x}^{\frac{7}{2}.\frac{1}{3}}={x}^{\frac{7}{6}}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $Q={a}^{\sqrt{3}}.{(\frac{1}{a})}^{\sqrt{3}-1}={a}^{\sqrt{3}}.{({a}^{-1})}^{\sqrt{3}-1}$ $={a}^{\sqrt{3}}.{a}^{(-1).(\sqrt{3}-1)}={a}^{\sqrt{3}}.{a}^{1-\sqrt{3}}={a}^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}=a.$

a) $A=\sqrt[7]{3.\sqrt[5]{\frac{1}{3}}}=\sqrt[7]{3.\sqrt[5]{{3}^{-1}}}=\sqrt[7]{{3.3}^{-\frac{1}{5}}}$ $=\sqrt[7]{{3}^{1-\frac{1}{5}}}=\sqrt[7]{{3}^{\frac{4}{5}}}={3}^{\frac{4}{5}:7}={3}^{\frac{4}{5}.\frac{1}{7}}={3}^{\frac{4}{35}}.$

Viết biểu thức A về lũy thừa cơ số a = 3 ta được $A={a}^{\frac{4}{35}}.$

b) $B=\frac{25\sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}}=\frac{{5}^{2}\cdot {5}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{{5}^{3}}}=\frac{{5}^{2+\frac{1}{3}}}{{5}^{\frac{3}{2}}}=\frac{{5}^{\frac{7}{3}}}{{5}^{\frac{3}{2}}}$

$={5}^{\frac{7}{3}\ -\ \frac{3}{2}}={5}^{\frac{5}{6}}={[{(\sqrt{5})}^{2}]}^{\frac{5}{6}}={(\sqrt{5})}^{2.\frac{5}{6}}={(\sqrt{5})}^{\frac{5}{3}}.$

Viết biểu thức B về lũy thừa cơ số $a=\sqrt{5}$ ta được $B={a}^{\frac{5}{3}}.$

a) Do $0<\sqrt{3}-1<1$ và $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ nên ${(\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{2}}>{(\sqrt{3}-1)}^{\sqrt{3}}.$

Suy ra: a > b.

b) Ta có: $a={(\sqrt{2}-1)}^{π}={[\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}]}^{π}$

$={(\frac{2-1}{\sqrt{2}+1})}^{π}={(\frac{1}{\sqrt{2}+1})}^{π}={(\sqrt{2}+1)}^{-π}.$

Do $\sqrt{2}+1>1$ và –π < e nên ta có: ${(\sqrt{2}+1)}^{-π}<{(\sqrt{2}+1)}^{e}\Leftrightarrow {(\sqrt{2}-1)}^{π}<{(\sqrt{2}+1)}^{e}.$

Suy ra: a < b.

c) Ta có: $a=\frac{1}{{3}^{400}}={(\frac{1}{{3}^{4}})}^{100}={(\frac{1}{81})}^{100}$ và $b=\frac{1}{{4}^{300}}={(\frac{1}{{4}^{3}})}^{100}={(\frac{1}{64})}^{100}.$

Do 100 > 0 và $\frac{1}{81}<\frac{1}{64}$ nên ${(\frac{1}{81})}^{100}<{(\frac{1}{64})}^{100}\Leftrightarrow \frac{1}{{3}^{400}}<\frac{1}{{4}^{300}}.$

Suy ra: a < b.

d) Ta có: $a=\frac{8}{\sqrt[4]{27}}=\frac{{2}^{3}}{\sqrt[4]{{3}^{3}}}=\frac{{(\sqrt[4]{16})}^{3}}{\sqrt[4]{{3}^{3}}}$$=\frac{\sqrt[4]{{16}^{3}}}{\sqrt[4]{{3}^{3}}}=\frac{{16}^{\frac{3}{4}}}{{3}^{\frac{3}{4}}}={(\frac{16}{3})}^{\frac{3}{4}}.$

Do $\frac{16}{3}>\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ và $\frac{3}{4}>0$ nên ${(\frac{16}{3})}^{\frac{3}{4}}>{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{3}{4}}\Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt[4]{27}}>{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{3}{4}}.$

Suy ra: a > b.

a) $A=\frac{{(\sqrt[4]{{a}^{3}{b}^{2}})}^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{{a}^{12}{b}^{6}}}}=\frac{{[{({a}^{3}{b}^{2})}^{\frac{1}{4}}]}^{4}}{\sqrt[3]{{({a}^{12}{b}^{6})}^{\frac{1}{2}}}}=\frac{{({a}^{3}{b}^{2})}^{\frac{1}{4}.4}}{\sqrt[3]{{a}^{6}{b}^{3}}}$

$=\frac{{a}^{3}{b}^{2}}{{({a}^{6}{b}^{3})}^{\frac{1}{3}}}=\frac{{a}^{3}{b}^{2}}{{a}^{6\cdot \frac{1}{3}}{b}^{3\cdot \frac{1}{3}}}=\frac{{a}^{3}{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{1}}=ab.$
b) $B=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+{b}^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}+{b}^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{6}}+{b}^{\frac{1}{6}}}$

$=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}({b}^{\frac{1}{6}}+{a}^{\frac{1}{6}})}{{a}^{\frac{1}{6}}+{b}^{\frac{1}{6}}}={a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{ab}.$

Với x, y > 0 ta có:
$a=\sqrt{{x}^{2}+\sqrt[3]{{x}^{4}{y}^{2}}}+\sqrt{{y}^{2}+\sqrt[3]{{x}^{2}{y}^{4}}}$$=\sqrt{{x}^{2}+{({x}^{4}{y}^{2})}^{\frac{1}{3}}}+\sqrt{{y}^{2}+{({x}^{2}{y}^{4})}^{\frac{1}{3}}}$
$=\sqrt{{x}^{2}+{x}^{\frac{4}{3}}{y}^{\frac{2}{3}}}+\sqrt{{y}^{2}+{x}^{\frac{2}{3}}{y}^{\frac{4}{3}}}$$={({x}^{\frac{6}{3}}+{x}^{\frac{4}{3}}{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}+{({y}^{\frac{6}{3}}+{x}^{\frac{2}{3}}{y}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}$
$={({x}^{\frac{2}{3}}{x}^{\frac{4}{3}}+{x}^{\frac{4}{3}}{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}+{({y}^{\frac{2}{3}}{y}^{\frac{4}{3}}+{x}^{\frac{2}{3}}{y}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

$={[{x}^{\frac{4}{3}}.({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})]}^{\frac{1}{2}}+{[{y}^{\frac{4}{3}}.({y}^{\frac{2}{3}}+{x}^{\frac{2}{3}})]}^{\frac{1}{2}}$

$={x}^{\frac{4}{3}.\frac{1}{2}}.{({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}+{y}^{\frac{4}{3}.\frac{1}{2}}.{({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

$={x}^{\frac{2}{3}}.{({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}+{y}^{\frac{2}{3}}.{({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

$={({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}.({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})$$={({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}+1}={({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}.$
Suy ra: ${a}^{\frac{2}{3}}={[{({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}]}^{\frac{2}{3}}={({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}}={x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}}.$

Chất phóng xạ có chu kì bán rã là T = 25 (năm).

Cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa

Suy ra khối lượng của chất đó còn lại sau t năm là: $m=10.{(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{25}}$ (g).

Khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm là: $m=10.{(\frac{1}{2})}^{\frac{120}{25}}\approx 0{,}359$ (g).