Giải SBT Toán 10 CD Bài 7: Bài tập cuối chương 7 có đáp án

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

$\overrightarrow{AB}=(1-(-2);-3-1)=(3;-4)$

Vậy chọn đáp án C.

Do trọng tâm tam giác là gốc tọa độ nên ta có:

$\{\begin{matrix}{x}_{O}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3} \\ {y}_{O}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{C}=3.{x}_{O}-{x}_{A}-{x}_{B} \\ {y}_{C}=3.{y}_{O}-{y}_{A}-{y}_{B}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{C}=3.0-(-1)-5 \\ {y}_{C}=3.0-(-5)-2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{C}=-4 \\ {y}_{C}=3\end{matrix}$.

Suy ra tọa độ C(– 4; 3).

Vậy chọn đáp án C

Ta có:

$\overrightarrow{a}=(1;1)$ nên độ dài vectơ : $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$ ;

$\overrightarrow{b}=(\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$ nên độ dài vectơ : $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}+{(-\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\overrightarrow{c}=(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2}{3})$ nên độ dài vectơ : $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}+{(\frac{2}{3})}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$ ;

$\overrightarrow{d}=(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{\sqrt{2}}{2})$ nên độ dài vectơ : $|\overrightarrow{d}|=\sqrt{{(-\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}+{(-\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}=1$ .

Vậy chọn đáp án D

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d: 2x – y + 2 = 0

Nên ∆ có dạng 2x – y + c = 0

M(-2; 0) thuộc ∆ nên 2. (-2) – 0 + c = 0

Suy ra đường thẳng ∆ là: 2x – y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Ta thấy vectơ chỉ phương của ${Δ}_{1}$ là: $\overrightarrow{{u}_{1}}=(\sqrt{3};3)$

Vectơ chỉ phương của ${Δ}_{2}$ là:$\overrightarrow{{u}_{2}}=(-\sqrt{3};-1)$

Ta có: cos $(\overrightarrow{{u}_{1}},\overrightarrow{{u}_{2}})$$=\frac{\overrightarrow{{u}_{1}}.\overrightarrow{{u}_{2}}}{|\overrightarrow{{u}_{1}}|.|\overrightarrow{{u}_{2}}|}=\frac{\sqrt{3}.(-\sqrt{3})+3.(-1)}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2}+{3}^{2}}.\sqrt{{(-\sqrt{3})}^{2}+{(-1)}^{2}}}=\frac{-6}{4\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $(\overrightarrow{{u}_{1}},\overrightarrow{{u}_{2}})$ = 150 $^{\circ}$

Suy ra góc giữa 2 đường thẳng chính là góc nhọn giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

Do đó $({Δ}_{1},{Δ}_{2})={180}^{o}-(\overrightarrow{{u}_{1}},\overrightarrow{{u}_{2}})={30}^{o}$

Vậy chọn đáp án A.

Khoảng cách từ M đến $\Delta$ là:

$d(M,Δ)=\frac{|4-2.(-2)+2|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Vậy chọn đáp án B.

Theo định nghĩa ta có phương trình đường tròn có dạng: ${(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}={R}^{2}$

Do đó ta thấy chỉ có phương trình ${(x+3)}^{2}+{(y+4)}^{2}=100$ thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án B.

Theo định nghĩa phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a, b > 0).

Ta thấy chỉ có phương trình $\frac{{x}^{2}}{{15}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{16}^{2}}=1$thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án D.

Phương trình chính tắc của Parabol có dạng: ${y}^{2}=2px$ (p > 0)

Do đó hệ số của x luôn dương.

Ta thấy chỉ có phương trình ${y}^{2}=\frac{x}{10}=\frac{1}{10}x$ thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án A.

Đường elip $\frac{{x}^{2}}{40}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$ có ${a}^{2}=40,{b}^{2}=36$

Suy ra $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{4}=2$

Do đó 2 tiêu điểm của Elip đối xứng với nhau qua Oy sẽ có tọa độ là: (-2;0) và (2;0)

Vậy chọn đáp án A.

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB: $\overrightarrow{{n}_{AB}}=(1;-1)$

Phương trình đường thẳng AB là: x + 3 – (y + 1) = 0 ⇔ x – y + 2 = 0.

Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{AC}=(6;-3)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{{n}_{AC}}$ = (1; 2). Suy ra phương trình đường thẳng AC là: 1(x + 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 5 = 0 .

Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là:$\overrightarrow{BC}=(0;-9)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{{n}_{BC}}$ = (1; 0). Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) + 0(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

${x}_{G}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3}=\frac{-3+3+3}{3}=1$

${y}_{G}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}=\frac{-1+5+(-4)}{3}=0$

Suy ra G(1; 0).

AH vuông góc với BC nên đường thẳng AH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=(0;-9)$

Phương trình đường thẳng AH đi qua A(-3; -1): 0.(x + 3) – 9(y +1) = 0 ⇔ y + 1 = 0.

CH vuông góc với AB nên đường thẳng CH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)$ = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng CH đi qua C(3; -4): 1.(x - 3) + 1.(y + 4) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.

H là giao của AH và CH nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}y+1=0 \\ x+y+1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=0 \\ y=-1\end{matrix}$ ⇒ H(0; -1).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; d1, d2 lần lượt là trung trực của AB, BC

Suy ra M(0; 2) và N $(3;\frac{1}{2})$

Đường thẳng d1 vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)$ = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng d1 đi qua M(0; 2) là: 1.(x – 0) + 1.(y – 2) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Đường thẳng d2 vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=(0;-9)$ .

Phương trình đường thẳng d1 đi qua N$(3;\frac{1}{2})$ là: 0(x – 0) – 9(y – $\frac{1}{2}$ ) = 0 ⇔ y –$\frac{1}{2}$ = 0.

Giao điểm của d1 và d2 là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

$\{\begin{matrix}x+y-2=0 \\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}$

Do đó I$(\frac{3}{2};\frac{1}{2})$ .

c) Diện tích tam giác ABC:

S = $\frac{1}{2}.d(A,BC).BC$ =$\frac{1}{2}.\frac{|-3-3|}{\sqrt{{1}^{2}}}.\sqrt{{0}^{2}+{(-9)}^{2}}=27$ .

Vậy diện tích tam giác ABC là 27 đvdt.

a) Gọi I là tâm đường tròn, suy ra I là trung điểm của ${F}_{1}{F}_{2}$ $\Rightarrow I(0;0)$

Bán kính đường tròn là: R = $\frac{1}{2}{F}_{1}{F}_{2}=\frac{1}{2}.\sqrt{{(-4-4)}^{2}+{0}^{2}}=4$

Vậy phương trình đường tròn là: ${x}^{2}+{y}^{2}=16$ .

b)

Theo định nghĩa Elip tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 12 là một đường elip (E) nhận 2 tiêu điểm là F1(-4; 0) và F2(4;0), suy ra c = 4.

Ta có: $M{F}_{1}+M{F}_{2}=2a=12\Rightarrow a=6$

Suy ra b2 = a2 – c2 = 62 – 42 = 20.

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$ .

c) Theo định nghĩa Hypebol tập hợp các điểm M thỏa mãn |MF1 – MF2| = 4 nhận 2 tiêu điểm là F1(-4; 0) và F2(4;0), suy ra c = 4.

Ta có: $|M{F}_{1}+M{F}_{2}|=2a=4\Rightarrow a=2$

Suy ra b2 = ${c}^{2}-{a}^{2}=16-4=12$

Phương trình chính tắc của Hypebol là:$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$ .

Gọi M là trung điểm của AC, K là hình chiếu của C lên AB.

Do CK vuông góc với AB nên AB có dạng: 3x – y + c = 0.

Thay A(-1; -2) vào phương trình trên ta có: 3. (-1) – (-2) + c = 0 ⇒ c = 1.

Phương trình đường thẳng AB: 3x – y + 1 = 0.

B là giao của AB và BM nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:

$\{\begin{matrix}3x-y+1=0 \\ 5x+y-9=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=4\end{matrix}$

Suy ra B(1; 4)

Do C thuộc CK nên C(5 – 3t; t)

M là trung điểm AC nên M $(\frac{4-3t}{2};\frac{t-2}{2})$

M thuộc BM nên thay tọa độ M vào phương trình BM ta có:

$5.\frac{4-3t}{2}+\frac{t-2}{2}-9=0\Leftrightarrow t=0$

⇔ 20 – 15t + t – 2 – 18 = 0

⇔ – 14t = 0

⇔ t = 0

Suy ra C(5; 0).

Gọi M(x; y). Ta có $MA=|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{{(x-1)}^{2}+{y}^{2}}$; $MB=|\overrightarrow{BM}|=\sqrt{{x}^{2}+{(y-3)}^{2}}$

Do MA = 2MB nên $\sqrt{{(x-1)}^{2}+{y}^{2}}=2.\sqrt{{x}^{2}+{(y-3)}^{2}}$

⇔ (x – 1)2 + y2 = 4[x2 + (y – 3)2]

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 = 4x2 + 4y2 – 24y + 36

⇔ 3x2 + 2x + 3y2 – 24y + 35 = 0

⇔ x2 +$\frac{2}{3}$ x + y2 – 8y + $\frac{35}{3}$= 0

⇔ x2 + 2.$\frac{1}{3}$ .x +${(\frac{1}{3})}^{2}$ + y2 – 2.4.y + 42 +$\frac{35}{3}$ = 0

⇔ ${(x+\frac{1}{3})}^{2}$ + y2 – 2.4.y + 42 + $\frac{35}{3}$= 0

$\Leftrightarrow {(x+\frac{1}{3})}^{2}+{(y-4)}^{2}=\frac{40}{9}$

Phương trình trên là phương trình đường tròn.

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I $(-\frac{1}{3};4)$ bán kính $R=\frac{2\sqrt{10}}{3}$