Giải SBT Toán 10 CD Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = \left( { - \overrightarrow {AB} } \right).\left( { - \overrightarrow {AC} } \right) = BA.CA.c{\rm{os}}\left( { - \overrightarrow {AB} , - \overrightarrow {AC} } \right)$

= $BA.CA.c{\rm{os}}\widehat {BAC}$

= $BA.CA.c{\rm{os}}\left( {\widehat {BAC}} \right)$

Vậy chọn A.

Lời giải

Đáp án đúng là A

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - AB.BC.\cos \left( { - \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

= $- AB.BC.\cos \left( {180^\circ - \widehat {ABC}} \right)$

= $AB.BC.\cos \widehat {ABC}$.

Vậy chọn A.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0$

⇒ $\widehat {\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right)} = \widehat {AMB} = 90^\circ$

Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn $\widehat {AMB} = 90^\circ$ là đường tròn đường kính AB.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = MN.MN.cos\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} } \right) = MN.MN.cos180^\circ = - M{N^2}$

Mà $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = - 9$ nên – MN$^{2}$ = – 9 ⇔ MN$^{2}$ = 9 ⇔ MN = 3 (thỏa mãn) hoặc MN = – 3 (không thỏa mãn).

Vậy MN = 3.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$

= $AB.AC.\cos \widehat {BAC}$

= $a.a.\cos 60^\circ$

= $\frac{1}{2}{a^2}$

$\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)$

$= \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \left[ {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)} \right].\left( { - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( { - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$

$= - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{{12}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$

$= - \frac{1}{6}.\frac{1}{2}{a^2} - \frac{2}{3}.{a^2} - \frac{1}{{12}}.{a^2} - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}$

$= - \frac{1}{{12}}{a^2} - \frac{2}{3}.{a^2} - \frac{1}{{12}}.{a^2} - \frac{1}{6}{a^2}$

$= - {a^2}$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN}$

⇔ $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right)^2} + \frac{5}{3}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + {\left( {\frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right)^2} - \frac{5}{3}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} + {\left( {\frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{\overrightarrow {BC} ^2} - \frac{5}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \frac{{25}}{{16}}{\overrightarrow {CA} ^2}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{\overrightarrow {BC} ^2} - \frac{5}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|{\rm{cos}}\widehat {CBA} + \frac{{25}}{{16}}{\overrightarrow {CA} ^2}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{a^2} - \frac{5}{3}a.a{\rm{cos60}}^\circ + \frac{{25}}{{16}}{a^2}$

⇔ ${\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{a^2} - \frac{5}{6}{a^2} + \frac{{25}}{{16}}{a^2} = \frac{{169}}{{144}}{a^2}$

⇔ $MN = \frac{{13}}{{12}}a$

Vậy $MN = \frac{{13}}{{12}}a$.

Lời giải

$$\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AD} = {\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {\overrightarrow {AD} ^2} + AB.AD.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)$$

= a$^{2}$ + a.a.cos120°

= a$^{2}$ – $\frac{1}{2}$a$^{2}$ = $\frac{1}{2}$a$^{2}$.

Vậy $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}{a^2}.$

Lời giải

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0$

$= \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$

$= \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} } \right)$

= 0

Lời giải

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

⇔ $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA}$

Ta lại có: $\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = (1 - x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC}$

⇒ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\left[ {(1 - x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} } \right]$

⇔ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}(1 - x)\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}x{\overrightarrow {BC} ^2} - \left( {1 - x} \right){\overrightarrow {BA} ^2} - x\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$

⇔ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}x.{a^2} - \left( {1 - x} \right){a^2}$

⇔ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{3}{2}x - 1} \right){a^2}$

Để AM vuông góc với BN thì $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = 0$

⇔ $\left( {\frac{3}{2}x - 1} \right){a^2} = 0$

⇔ $\frac{3}{2}x - 1 = 0$

⇔ $x = \frac{2}{3}$

Vậy với $x = \frac{2}{3}$ thì AM ⊥ BN.

Lời giải

Ta có: MA$^{2}$ + MB$^{2}$ + MC$^{2}$ = ${\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}$

= ${\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}$

= ${\overrightarrow {MG} ^2} + 2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}$

= $3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right) + \left( {2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} } \right)$

= $3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2.\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)$

= $3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)$.

Lời giải

Gọi $\overrightarrow {{v_0}}$là vận tốc của máy bay, $\overrightarrow {{v_1}}$là vận tốc của gió.

Khi đó ta có: $\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| = 650$, $\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 35$, $\left( {\overrightarrow {{v_0}} ;\overrightarrow {{v_1}} } \right) = 45^\circ$

Tốc độ mới của máy bay là $\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_0}} + \overrightarrow {{v_1}}$

⇔ ${\overrightarrow v ^2} = {\left( {\overrightarrow {{v_0}} + \overrightarrow {{v_1}} } \right)^2}$

⇔ ${\overrightarrow v ^2} = {\overrightarrow {{v_0}} ^2} + 2\overrightarrow {{v_0}} .\overrightarrow {{v_1}} + {\overrightarrow {{v_1}} ^2}$

⇔ ${\overrightarrow v ^2} = {650^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{v_0}} ;\overrightarrow {{v_1}} } \right) + {35^2}$

⇔ ${\overrightarrow v ^2} = {650^2} + 2.650.35.\cos 45^\circ + {35^2}$

⇔ ${\overrightarrow v ^2} \approx 455\,\,898{,}4$

⇔ v = 675,2 km/h.