Giải SBT Toán 10 CD Bài 5: Phương trình đường tròn có đáp án

Câu A: ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 2.

Câu B: ${x}^{2}+{y}^{2}+2x-1=0\Leftrightarrow {(x+1)}^{2}+{y}^{2}=2$ là phương trình đường tròn có tâm (-1; 0) bán kính R = $\sqrt{2}$ .

Câu C: không thể biến đổi về dạng của phương trình đường tròn.

Câu D: ${x}^{2}+{y}^{2}+4y+3=0\Leftrightarrow {x}^{2}+{(y+2)}^{2}=1$ là phương trình đường tròn có tâm (0; -2) và bán kính R = 1.

Vậy chọn đáp án C.

Dễ dàng ta thấy theo dạng phương trình đường tròn ${(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}={R}^{2}$ thì tâm I của (C) có tọa độ là I(-8; 10).

Vậy chọn đáp án B.

Dễ dàng ta thấy theo dạng phương trình đường tròn ${(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}={R}^{2}$ thì bán kính của đường tròn là R = $\sqrt{4}=2$

Vậy chọn đáp án C.

Đường tròn tâm I(- 4; 2) bán kính R = 9 có phương trình là:

${(x+4)}^{2}+{(y-2)}^{2}=81$

Vậy chọn đáp án D.

Đường tròn có tâm I(3; 4).

Tiếp tuyến tại M của đường tròn có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{IM}=(-3;4)$

Vậy chọn đáp án A.

Do M, N chuyển động trên đường tròn nên khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm M, N chính bằng đường kính của đường tròn.

Bán kính của đường tròn (C) là: $R=\sqrt{16}=4$ .

Vậy độ dài lớn nhất của MN = 2R = 8. Chọn đáp án B.

Ta biến đổi như sau:

x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x + 2ky + 2k + 12 = 0

⇔ (x – 3)$^{2}$ + (y + k)$^{2}$ = k$^{2}$ – 2k – 3

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì

${k}^{2}-2k-3>0\Leftrightarrow [\begin{matrix}k<-1 \\ k>3\end{matrix}$

Vậy k < – 1 hoặc k > 3.

b) Bán kính của đường tròn (C) là: IA $=|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{{(4-3)}^{2}+{(1+7)}^{2}}=\sqrt{65}$

Phương trình đường tròn là: ${(x-3)}^{2}+{(y+7)}^{2}=65$ .

c) Bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng d: 3x + 4y + 19 = 0.

Suy ra $R=d(I,d)=\frac{|3.1+4.2+19|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{30}{5}=6$

Phương trình đường tròn là: ${(x-1)}^{2}+{(y-2)}^{2}=36$ .

d) Gọi I là tâm của đường tròn thì IA = R và I là trung điểm của AB

Suy ra I(-1; 2), $IA=|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{{(-1+2)}^{2}+{(2-3)}^{2}}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn là: ${(x+1)}^{2}+{(y-2)}^{2}=2$ .

e) Tâm I thuộc đường thẳng ${Δ}_{1}:\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=1-t\end{matrix}$ nên I(1 + t; 1 – t)

Đường tròn có 2 tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến 2 tiếp tuyến bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn.

Ta có: $d(I,{Δ}_{2})=d(I,{Δ}_{3})$

$\Leftrightarrow \frac{|3.(1+t)+4(1-t)-1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{|3(1+t)-4(1-t)+2|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$

$\Leftrightarrow |t-6|=|7t+1|$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}t-6=7t+1 \\ 6-t=7t+1\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=\frac{-7}{6} \\ t=\frac{5}{8}\end{matrix}$

Với t = $\frac{5}{8}$ thì I $(-\frac{1}{6};\frac{13}{8})$ và R = d(I; ∆2) = $\frac{|\frac{5}{8}-6|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{43}{40}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${(x-\frac{13}{8})}^{2}+{(y-\frac{3}{8})}^{2}={(\frac{43}{40})}^{2}$ .

Với t = thì I và R = d(I; ∆2) = $\frac{|-\frac{7}{6}-6|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{43}{30}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${(x+\frac{1}{6})}^{2}+{(y-\frac{13}{6})}^{2}={(\frac{43}{30})}^{2}$ .

Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:

${(x+2)}^{2}+{(3-3)}^{2}=4\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=-4\end{matrix}$

Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}=(2;0)$ .

Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là:$\overrightarrow{IN}=(-2;0)$ .

Phương trình đường thẳng IN: - 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên

$\begin{matrix}\Leftrightarrow \frac{|12.(-2)+5.3+c|}{\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}}=2 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix}c=35 \\ c=-17\end{matrix}\end{matrix}$

Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0

Với c = - 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0

c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.

Do D(0; 4) thuộc $\Delta$ nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.

Ta có: $\overrightarrow{DH}=(a;b-4)$ và $\overrightarrow{IH}=(a+2;b-3)$

⇒ IH =$|\overrightarrow{IH}|=\sqrt{{(a+2)}^{2}+{(b-3)}^{2}}=2$

⇔ a2 + 4a + 4 + b2 – 6b + 9 = 4

⇔ a2 + 4a + b2 – 6b + 9 = 0 (1)

Ta lại có: $\overrightarrow{DH}.\overrightarrow{IH}=0\Leftrightarrow a(a+2)+(b-4)(b-3)=0$

⇔ a2 + 2a + b2 – 7b + 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\{\begin{matrix}{a}^{2}+\ 4a+\ {b}^{2}-\ 6b\ +\text{9}=\ 0 \\ {a}^{2}+\ 2a\ +\ {b}^{2}-\ 7b\ +\ 12\ =\ 0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2a+\ b=33 \\ {a}^{2}+2a+{b}^{2}-7b+12\ =\ 0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\ b=3-\text{2}a \\ {a}^{2}+2a+{(3-\text{2}a)}^{2}-7(3-\text{2}a)+12\ =\ 0\end{matrix}$

.

Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)

Suy ra $\overrightarrow{IH}=(2;0)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.

Với $a=-\frac{4}{5};\ b=\frac{23}{5}$

Suy ra $\overrightarrow{IH}=(\frac{6}{5};\frac{8}{5})=\frac{2}{5}(3;4)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.

a) Đường tròn (C) có tâm I(-2; 4) và bán kính R =$\sqrt{25}$ = 5.

Ta có: $IA=|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{{(-2+1)}^{2}+{(4-3)}^{2}}=\sqrt{2}$ < 5

Do đó A nằm trong đường tròn (C).

b) Dây cung MN ngắn nhất khi khoảng cách từ tâm I đến dây cung là lớn nhất

Do d đi qua A cố định nên khi d thay đổi thì khoảng cách lớn nhất từ I đến d chính bằng IA.

Hay IA vuông góc với d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: $\overrightarrow{IA}=(1;-1)$

Phương trình đường thẳng d: (x + 1) – (y – 3) = 0 ⇔ x – y + 4 = 0.

Đường tròn (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 3.

Ta có: $d(I,{Δ}_{1})=\frac{|-3+1+1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<3$ , suy ra ${Δ}_{1}$cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

$d(I,{Δ}_{2})=\frac{|3.(-3)+4.1+20|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{15}{5}=3=R$, suy ra ${Δ}_{2}$ tiếp xúc với đường tròn.

$d(I,{Δ}_{3})=\frac{|2.(-3)-1+50|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}}=\frac{43}{\sqrt{5}}>3$, suy ra ${Δ}_{3}$ không có điểm chung với đường tròn.

Gọi H là hình chiếu của M lên $\Delta$

Suy ra MH là khoảng cách từ M đến $\Delta$

MH = $\frac{|3.1+4.1+3|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=2$

Xét tam giác MNH vuông tại H có:

MN =$\frac{MH}{\sin {60}^{o}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Mà R = MN = $\frac{4}{\sqrt{3}}$

Phương trình đường tròn là: ${(x-1)}^{2}+{(y-1)}^{2}=\frac{16}{3}$