Giải SBT Toán 10 CD Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

Gọi d là đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng x – 2y + 3 = 0

Do đó d có vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{n}=(1;-2)$ .

Do đó d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=k(2;1)$ .

Như vậy chỉ có phương án A và B là thỏa mãn có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=k(2;1)$ . Do đó đáp án C và D sai.

Xét $\{\begin{matrix}x=-1+2t \\ y=1+t\end{matrix}$ đi qua điểm (-1; 1). Mà điểm (-1; 1) thuộc đường thẳng x – 2y + 3 = 0 vì -1 – 2.1 + 3 = 0 = 0 (luôn đúng).

Do đó đường thẳng ở câu A trùng với đường thẳng x – 2y + 3 = 0.

Xét $\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=-1+t\end{matrix}$ đi qua điểm (1; -1).

Thay x = 1 và y = - 1 vào phương trình đường thẳng x – 2y + 3 = 0, ta được: 1 – 2.(-1) + 3 = 0 ( vô lí). Do đó đường thẳng ý b song song với đường thẳng x – 2y + 3 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Xét phương trình đường thẳng $\{\begin{matrix}x=-1+3t \\ y=1-2t\end{matrix}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$= (3; - 2).

Gọi d là đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng đã cho.

Do đó d có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho nên vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{{u}_{1}}=k(2;3)$với k ∈ ℝ.

Xét các đáp án chỉ có đáp án A thỏa mãn có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;-3)$ là đúng với k = -1.

Vậy chọn đáp án A.

Xét đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{d}}=(2;-1)$ .

Vì ∆ // d nên vectơ pháp tuyến của ∆ là $\overrightarrow{n}=(2;-1)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua M( -1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;-1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là: 2(x + 1) – (y – 2) = 0 hay 2x – y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0

Nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{n}=(3;1)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua M( 3; - 4) nên có phương trình tổng quát là:

3(x - 3) + (y + 4) = 0 hay 3x + y - 5 = 0.

Vậy chọn đáp án D.

Ta thấy vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{1}$ là: $\overrightarrow{{n}_{1}}=(1;-2)$

Vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{1}$ là: $\overrightarrow{{n}_{2}}=(-2;-1)$

Ta có: $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}=1.(-2)+(-2).(-1)=0$

Suy ra $\overrightarrow{{n}_{1}}$ vuông góc với $\overrightarrow{{n}_{2}}$

Vậy 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau, chọn đáp án C.

Ta thấy vectơ chỉ phương của ${Δ}_{1}$ là: $\overrightarrow{{u}_{1}}=(\sqrt{3};-1)$

Vectơ chỉ phương của ${Δ}_{2}$ là: $\overrightarrow{{u}_{2}}=(\sqrt{3};1)$

Ta có: cos $(\overrightarrow{{u}_{1}},\overrightarrow{{u}_{2}})$$=\frac{\overrightarrow{{u}_{1}}.\overrightarrow{{u}_{2}}}{|\overrightarrow{{u}_{1}}|.|\overrightarrow{{u}_{2}}|}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}+(-1).1}{\sqrt{3+1}.\sqrt{3+1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa 2 đường thẳng chính là góc nhọn giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

Do đó $({Δ}_{1},{Δ}_{2})=(\overrightarrow{{u}_{1}},\overrightarrow{{u}_{2}})={60}^{o}$

Vậy chọn đáp án D.

Áp dụng công thức ta có:

d(M, ∆)= $\frac{|(-3).5+2.(-2)+6|}{\sqrt{{(-3)}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án B.

a) Vectơ pháp tuyến của ${d}_{1}$ là: $\overrightarrow{{n}_{1}}=(2;-3)$

Vectơ pháp tuyến của ${d}_{2}$ là: $\overrightarrow{{n}_{2}}=(2;1)$

Ta có: $\frac{2}{2}\ne \frac{-3}{1}$ suy ra hai vectơ $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ không cùng phương.

Do đó ${d}_{1}$ và ${d}_{2}$ cắt nhau.

b) Vectơ chỉ phương của ${d}_{3}$ là: $\overrightarrow{{u}_{3}}=(-3;1)$ nên vectơ pháp tuyến của ${d}_{3}$ là: $\overrightarrow{{n}_{3}}=(1;3)$ .

Vectơ pháp tuyến của ${d}_{4}$ là: $\overrightarrow{{n}_{4}}=(1;3)$

Ta có $\overrightarrow{{n}_{3}}=\overrightarrow{{n}_{4}}$ nên $\overrightarrow{{n}_{3}}$ và $\overrightarrow{{n}_{4}}$ cùng phương hay d$_{3}$ song song hoặc trùng d$_{4}$.

Lấy điểm A(-1; 3) thuộc d$_{3}$

Thay tọa độ A(-1; 3) vào ta có: - 1 + 3.3 – 5 = 3 = 0 (vô lí).

Suy ra A(-1; 3) không thuộc .

Vậy 2 đường thẳng trên song song.

c) Vectơ chỉ phương của ${d}_{5}$ là $\overrightarrow{{u}_{5}}=(-2;1)$

Vectơ chỉ phương của ${d}_{6}$ là $\overrightarrow{{u}_{6}}=(2;-1)$

Ta thấy $\overrightarrow{{u}_{5}}=(-1).\overrightarrow{{u}_{6}}$ nên 2 vectơ $\overrightarrow{{u}_{5}}$ và $\overrightarrow{{u}_{6}}$ cùng phương. Do đó hai đường thẳng d$_{5}$ và d$_{6}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; -1) thuộc đường thẳng d$_{5}$. Thay tọa độ điểm M vào phương trình tham số của ${d}_{6}$ta có: $\{\begin{matrix}2=-2+2t' \\ -1=1-t'\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}t'=2 \\ t'=2\end{matrix}\Leftrightarrow t'=2$

Suy ra M thuộc ${d}_{6}$ .

Vậy d$_{5}$trùng d$_{6}$.

a) Vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{1}$ là $\overrightarrow{{n}_{1}}=(3;1)$

Vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{2}$ là $\overrightarrow{{n}_{2}}=(1;2)$

Góc giữa 2 đường thẳng là: $\cos ({Δ}_{1},{Δ}_{2})=|\cos (\overrightarrow{{n}_{1}},\overrightarrow{{n}_{2}})|=\frac{|3.1+1.2|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $({Δ}_{1},{Δ}_{2})={45}^{o}$.

b) Vectơ chỉ phương của ${Δ}_{3}$ là $\overrightarrow{{u}_{3}}=(\sqrt{3};3)$

Vectơ chỉ phương của ${Δ}_{4}$ là $\overrightarrow{{u}_{4}}=(-\sqrt{3};-1)$

Góc giữa 2 đường thẳng là:

$\cos ({Δ}_{1},{Δ}_{2})=|\cos (\overrightarrow{{u}_{3}},\overrightarrow{{u}_{4}})|=\frac{|\sqrt{3}.(-\sqrt{3})+3.(-1)|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2}+{3}^{2}}.\sqrt{{(-\sqrt{3})}^{2}+{(-1)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $({Δ}_{3},{Δ}_{4})={30}^{o}$ .

c) Vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{5}$ là $\overrightarrow{{n}_{5}}=(-\sqrt{3};3)$

Vectơ chỉ phương của ${Δ}_{6}$ là $\overrightarrow{{u}_{6}}=(3;-\sqrt{3})$nên vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{6}$ là $\overrightarrow{{n}_{6}}=(\sqrt{3};3)$ .

Góc giữa 2 đường thẳng là:

$\cos ({Δ}_{1},{Δ}_{2})=|\cos (\overrightarrow{{n}_{5}},\overrightarrow{{n}_{6}})|=\frac{|(-\sqrt{3}).\sqrt{3}+3.3|}{\sqrt{{(-\sqrt{3})}^{2}+{3}^{2}}.\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Suy ra $({Δ}_{1},{Δ}_{2})={60}^{o}$ .

a) Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${Δ}_{1}$ là $\overrightarrow{{n}_{1}}=(2;1)$

Suy ra $d(A,{Δ}_{1})=\frac{|2.(-3)+1-4|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

b) ${Δ}_{2}$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{u}_{2}}=(3;-1)$ và đi qua điểm A(-3; 1).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${Δ}_{2}$ là: $\overrightarrow{{n}_{2}}=(1;3)$ .

Suy ra phương trình đường thẳng ${Δ}_{2}$ là: x + 3 + 3( y – 1) = 0 hay x + 3y = 0

$d(B,{Δ}_{2})=\frac{|1+3.(-3)|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{10}}$

Gọi M$({x}_{0};{y}_{0})$ thuộc ${Δ}_{1}$ nên $a{x}_{0}+b{y}_{0}+c=0$ .

Khoảng cách giữa ${Δ}_{1}$ đến ${Δ}_{2}$ bằng khoảng cách từ M đến ${Δ}_{2}$ bằng $d(M,{Δ}_{2})=\frac{|a{x}_{0}+b{y}_{0}+d|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{|a{x}_{0}+b{y}_{0}+c+d-c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{|d-c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$

Vậy bài toán được chứng minh.

Vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{1}$ là: $\overrightarrow{{n}_{1}}=(m;-2)$ ;

Vectơ pháp tuyến của ${Δ}_{2}$ là:$\overrightarrow{{n}_{2}}=(1;-2)$ .

a) ∆$_{1}$ // ∆$_{2}$ khi $\overrightarrow{{n}_{1}}$ cùng phương với $\overrightarrow{{n}_{2}}$

hay $\frac{m}{1}=\frac{-2}{-2}$$\Leftrightarrow m=1$ .

Thay m = 1 vào lần lượt hai đường thẳng ∆$_{1}$ ta được: x – 2y – 1 = 0.

Lấy M(– 1; 1) thuộc ∆$_{2}$, thay x = – 1 và y = 1 vào ∆$_{1}$, ta được: – 1 – 2.1 – 1 = 0 (vô lí). Do đó M không thuộc ∆$_{1}$.

Vậy m = 1 thỏa mãn để ∆$_{1}$ // ∆$_{2}$.

b) ∆$_{1}$ vuông góc ∆$_{2}$ khi $\overrightarrow{{n}_{1}}$ vuông góc với $\overrightarrow{{n}_{2}}$ hay $\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}=0$

⇔ m.1 + (-2).(-2) = 0 m = - 4.

Vậy với m= – 4 thì ∆$_{1}$ vuông góc ∆$_{2}$.

$\Delta$ cách đều A và C khi và chỉ khi $\Delta$ đi qua trung điểm của AC hoặc $\Delta$ song song với AC.

TH1: ∆ là đi qua trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên tọa độ điểm M là M(2; 3).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là: $\overrightarrow{MB}=(2;-1)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là: $\overrightarrow{n}=(1;2)$

Do đó phương trình đường thẳng $\Delta$ là: x – 2 + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0

TH2: song song với AC.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: $\overrightarrow{AC}=(8;2)$ nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng$\Delta$ là: $\overrightarrow{n}=(1;-4)$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: x – 4 – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0.

a) Tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\{\begin{matrix}x=7+36t \\ y=-8+8t\end{matrix}$

nên tàu A di chuyển theo hướng của vectơ $\overrightarrow{{u}_{1}}=(36;8)$

Vị trí của tàu B có tọa độ là (9 + 8t; 5 – 36t)

Hay tàu B di chuyển theo hướng của vectơ $\overrightarrow{{u}_{2}}=(8;-36)$

Ta thấy $\overrightarrow{{u}_{1}}.\overrightarrow{{u}_{2}}=36.8+8.(-36)=0$ nên $\overrightarrow{{u}_{1}}$ vuông góc với $\overrightarrow{{u}_{2}}$

Vì vậy hai tàu di chuyển vuông góc với nhau.

b) Vị trí của tàu A sau khi xuất phát t giờ là: M(7 + 36t; – 8 – 8t)

Vị trí của tàu B sau khi xuất phát t giờ là: N(9 + 8t; 5 – 36t).

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2-28t;13-44t)$

$\begin{matrix}\Rightarrow MN=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{{(2-28t)}^{2}+{(13-44t)}^{2}} \\ =\sqrt{2720{(t-\frac{157}{680})}^{2}+\frac{4761}{170}}\ge \sqrt{\frac{4761}{170}}\approx 5{,}29km\end{matrix}$

Vậy MN nhỏ nhất là 5,29km khi t =$\frac{157}{680}$ giờ.