Giải SBT Toán 10 CD Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có: $\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MK} = \overrightarrow {MH} \ne \overrightarrow {MP}$ (H, K là điểm thỏa mãn MKHN là hình bình hành). Do đó A sai.

Ta có: $- \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NT} \ne \overrightarrow {MP}$(T là điểm MNPT là hình bình hành). Do đó B sai

Ta có: $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP}$ (quy tắc ba điểm). Do đó C đúng.

Ta có: $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \ne - \overrightarrow {MP}$. Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA}$. Do đó A đúng.

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AD}$. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {CA}$. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \ne - \overrightarrow {AC}$. Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \ne \overrightarrow {AB}$. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB}$. Do đó B đúng.

Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {AB}$ (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {AB}$(C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là D

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB và $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng.

⇒ $\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB}$ hay $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .$

Vậy điều kiện đủ đề M là trung điểm của đoạn thẳng AB là $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .$

Lời giải

Đáp án đúng là B

Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

⇔ $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA}$

⇔ $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AG}$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}$

$= \left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OD} } \right)$

$= \left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$

$= \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$

$= \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD}$.

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí pythagoras)

⇔ BC$^{2}$ = (4a)$^{2}$ + (5a)$^{2}$ = 41a$^{2}$

⇔ BC = $\sqrt {41}$a.

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {41} a$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {41} a$.

Lời giải

Lấy điểm D là điểm thỏa mãn ABDC là hình chữ nhật nên AD = BC (tính chất hình hình chữ nhật).

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {41} a$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {41} a.$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc 3 điểm)

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = a$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = a$.

Lời giải

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành, M là trung điểm của BC.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|$.

Xét tam giác ABC, có AM là đường trung tuyến nên AM là đường cao

⇒ AM = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

⇒ AD = 2AM = 2.$\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3$.

Lời giải

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$

Ta lại có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB$

Mà $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|$ nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

Không mất tính tổng quát ta lấy một điểm A bất kì, vẽ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b$

Vì hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng hướng nên A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C.

Ta có: $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB,\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC$

⇒ $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = AB + BC = AC$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \overrightarrow {AC}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$.

Lời giải

Lấy E là điểm thỏa mãn ABEC là hình bình hành, gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AE}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE$

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AM.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ (định lí pythagoras)

⇔ AM$^{2}$ = a$^{2}$ + ${\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}$= a$^{2}$ + $\frac{{{a^2}}}{4}$ = $\frac{{5{a^2}}}{4}$

⇔ AM = $\frac{{\sqrt 5 a}}{2}$

⇒ AE = 2AM = $2.\frac{{\sqrt 5 a}}{2} = \sqrt 5 a$

Vậy AE = $\sqrt 5 a$.

Lời giải

Xét hình bình hành ABCD, có O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

⇒ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$

Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD}$

$= \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right)$

$= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0$

$= \overrightarrow 0$.

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

Lời giải

Xét tam giác ABD, có:

AO là trung tuyến, BE là đường trung tuyến

Mà AO giao với BE tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD

⇒ $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$

Vậy $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM$

Ta lại có: $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MC}$

⇒ $\left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC$

Vì $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right|$ nên AM = MC

Tập hợp điểm M thỏa mãn AM = MC là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {{\rm{AA}}'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GC'}$

$$= \left( {\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right)$$

$$= \left( { - \overrightarrow {{\rm{GA}}} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right)$$

$$= - \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right)$$

$= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0$

$= \overrightarrow 0$

Lời giải

Vẽ đường kính AE

Ta có: $\widehat {ACE} = 90^\circ$ nên AC ⊥ EC

Mà BH ⊥ EC

⇒ BH // AC (1)

Ta lại có:$\widehat {ABE} = 90^\circ$ và AB ⊥ BE

Mà CH ⊥ AB

⇒ BE // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHEC là hình bình hành

Xét tứ giác AHDE, có:

O là trung điểm của HD (gt)

O là trung điểm của AE

Do đó AHDE là hình bình hành

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right) = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {HD}$.