Giải SBT Toán 10 CD Bài 4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là C

Xét bất phương trình – 2x$^{2}$ + 3x < 0 là bất phương trình bậc hai một ẩn x. Do đó A sai.

Xét bất phương trình 0,5y$^{2}$ – $\sqrt 3$(y – 2) ≤ 0 ⇔ 0,5y$^{2}$ – $\sqrt 3$y + 2$\sqrt 3$ ≤ 0 là bất phương trình bậc hai một ẩn y. Do đó B sai.

Xét bất phương trình x$^{2}$ – 2xy – 3 ≥ 0 là bất phương trình bậc hai nhưng lại có hai ẩn x và y. Do đó C đúng.

Xét bất phương trình$\sqrt 2$x$^{2}$ – 3 ≥ 0 là bất phương trình bậc hai một ẩn x. Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Xét f(x) = – x$^{2}$ + 3x + 18 là một tam thức bậc hai có a = – 1 < 0 và ∆ = 3$^{2}$ – 4.(– 1).18 = 81 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = – 3 và x$_{2}$ = 6.

Theo định lí về dấu tam thức bậc hai, ta có:

f(x) > 0 khi x ∈ (– 3; 6);

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; – 3) ∪ (6; +∞);

Suy ra f(x) ≥ 0 khi x ∈ [– 3; 6].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [– 3; 6].

Lời giải

+) Hình 18a):

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành với mọi x ∈ ℝ.

Do đó:

f(x) < 0 và f(x) ≤ 0 luôn đúng với mọi x ∈ ℝ.

f(x) > 0; f(x) ≥ 0 và vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của các bất phương trình f(x) > 0 và f(x) ≥ 0 là $\emptyset$, tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 và f(x) ≤ 0 là ℝ.

Lời giải

+) Hình 18b):

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Với x ∈ (1; 3) hàm số nằm trên trục hoành hay f(x) > 0.

Với x < 1 hoặc x > 3 đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay f(x) < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại x = 1 hoặc x = 3.

Do đó:

f(x) > 0 khi x ∈ (1; 3).

f(x) < 0 khi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (3; +∞).

f(x) ≥ 0 khi x ∈ [1; 3].

f(x) ≤ 0 khi x ∈ (– ∞; 1] ∪ [3; +∞).

Vậy tập nghiệm của các bất phương trình f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0 lần lượt là (1; 3); (– ∞; 1) ∪ (3; +∞); [1; 3]; (– ∞; 1] ∪ [3; +∞).

Lời giải

+) Hình 18c):

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại x = 2.

Với x ≠ 2 hàm số nằm dưới trục hoành hay f(x) < 0.

Do đó:

f(x) > 0 vô nghiệm.

f(x) < 0 khi x ∈ ℝ \ {2}.

f(x) ≥ 0 khi x = 2.

f(x) ≤ 0 khi x ∈ ℝ.

Vậy tập nghiệm của các bất phương trình f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0 lần lượt là $\emptyset$; ℝ \ {2}; {2}; ℝ.

Xét hàm số f(x) = 3x$^{2}$ – 8x + 5.

Ta có a = 3, b = –8, c = 5 và a + b + c = 3 + (–8) + 5 = 0.

Do đó f(x) = 0 có hai nghiệm x$_{1}$ = 1; ${x}_{2}=\frac{5}{3}.$

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có f(x) > 0 khi và chỉ khi $x\in (-\infty ;1)\cup (\frac{5}{3};+\infty ).$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;1)\cup (\frac{5}{3};+\infty ).$

Lời giải

Xét tam thức bậc hai g(x) = – 2x$^{2}$ – x + 3, có a = – 2 < 0 và ∆ = (– 1)$^{2}$ – 4.(– 2).3 = 25 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ =$- \frac{3}{2}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

g(x) > 0 khi x ∈ $\left( { - \frac{3}{2};1} \right)$;

g(x) < 0 khi x ∈ $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Suy ra – 2x$^{2}$ – x + 3 ≤ 0 khi x ∈ $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.

Lời giải

Xét tam thức bậc hai h(x) = 25x$^{2}$ – 10x + 1, có a = 25 > 0 và ∆ = (– 10)$^{2}$ – 4.25.1 = 0.

Do đó tam thức có nghiệm kép là x = $\frac{1}{5}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

h(x) > 0 khi x ≠ $\frac{1}{5}$.

Suy ra 25x$^{2}$ – 10x + 1 < 0 khi x ∈ $\emptyset$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = $\emptyset$.

Lời giải

Xét tam thức bậc hai k(x) = – 4x$^{2}$ + 5x + 9 , có a = – 4 < 0 và ∆ = 5$^{2}$ – 4.(– 4).9 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = – 1 và x$_{2}$ = $\frac{9}{4}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

k(x) < 0 khi x ∈ $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{9}{4}; + \infty } \right)$;

k(x) > 0 khi x ∈ $\left( { - 1;\frac{9}{4}} \right)$.

Suy ra – 4x$^{2}$ + 5x + 9 ≥ 0 khi x ∈ $\left[ { - 1;\frac{9}{4}} \right]$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = $\left[ { - 1;\frac{9}{4}} \right]$.

Lời giải

Xét tam thức bậc hai f(x) = – 3x$^{2}$ + 7x + 10, có a = – 3 < 0 và ∆ = 7$^{2}$ – 4.(– 3).10 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = – 1 và x$_{2}$ = $\frac{{10}}{3}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

f(x) < 0 khi x ∈ $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)$;

f(x) > 0 khi x ∈ $\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình – 3x$^{2}$ + 7x + 10 ≥ 0 là S$_{1}$ = $\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]$.

Xét tam thức bậc hai g(x) = – 2x$^{2}$ – 9x + 11, có a = – 2 < 0 và ∆ = (– 9)$^{2}$ – 4.(– 2).11 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = $- \frac{{11}}{2}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

g(x) < 0 khi x ∈ $\left( { - \infty ; - \frac{{11}}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$;

g(x) > 0 khi x ∈ $\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình – 2x$^{2}$ – 9x + 11 > 0 là S$_{2}$ = $\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)$.

Đặt S = S$_{1}$ ∩ S$_{2}$ = $\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right] \cap \left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)$.

Ta có hình vẽ sau:

Vậy giao của hai tập nghiệm của hai bất phương trình trên là S = [ – 1; 1).

Lời giải

Xét phương trình – x$^{2}$ + (m + 2)x + 2m – 10 = 0 có ∆ = (m + 2)$^{2}$ – 4.(– 1).(2m – 10) = m$^{2}$ + 12m – 36.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔ m$^{2}$ + 12m – 36 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(m) = m$^{2}$ + 12m – 36, có a = 1, ∆$_{m}$ = 12$^{2}$ – 4.1.(– 36) = 288 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt m$_{1}$ = $- 6 - 6\sqrt 2$ và m$_{1}$ = $- 6 + 6\sqrt 2$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có: f(m) ≥ 0 khi m ∈$\left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

Vậy m ∈$\left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Lời giải

Ta có hình vẽ mô phỏng quỹ đạo chuyển động của quả bóng như hình vẽ:

Vì quỹ đạo chuyển động là một đường thẳng parabol có dạng h = at$^{2}$ + bt + c (a ≠ 0).

Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,3) nên điểm A thuộc vào parabol, thay t = 0 và h = 0,3 vào đồ thị hàm số ta được: 0,3 = a.0$^{2}$ + b.0 + c ⇔ c = 0,3 (1).

Bóng đạt độ cao h = 8m sau t = 1 giây nên điểm có tọa độ (1; 8) thuộc vào parabol.

Thay t = 1 và h = 8 vào đồ thị hàm số ta được: 8 = a.1$^{2}$ + b.1 + c ⇔ a + b + c = 8 (2).

Bóng đạt độ cao h = 6m sau t = 2 giây nên điểm có tọa độ (2; 6) thuộc vào parabol.

Thay t = 2 và h = 6 vào đồ thị hàm số ta được: 6 = a.2$^{2}$ + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = 6 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}c = 0{,}3\\a + b + c = 8\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0{,}3\\a = - 4{,}85\\b = 12{,}55\end{array} \right.$.

Ta có phương trình parabol cần tìm là: h = – 4,85t$^{2}$ + 12,55t + 0,3.

Để chiều cao lớn hơn 5 thì h > 5 ⇔ – 4,85t$^{2}$ + 12,55t + 0,3 > 5

⇔ – 4,85t$^{2}$ + 12,55t – 4,7 > 0

Xét tam thức bậc hai f(t) = – 4,85t$^{2}$ + 12,55t – 4,7, có a = – 4,85, ∆ = 12,55$^{2}$ – 4.(– 4,85).(– 4,7) = 66,3225 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm phân biệt t$_{1}$ ≈ 0,454 và t$_{2}$ ≈ 2,133.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được: f(t) > 0 hay – 4,85t$^{2}$ + 12,55t – 4,7 > 0 khi t ∈ (0,454; 2,133).

Để chiều cao nhỏ hơn 7 thì h < 7 ⇔ – 4,85t$^{2}$ + 12,55t + 0,3 < 7

⇔ – 4,85t$^{2}$ + 12,55t – 6,7 < 0

Xét tam thức bậc hai g(t) = – 4,85t$^{2}$ + 12,55t – 6,7, có a = – 4,85, ∆ = 12,55$^{2}$ – 4.(– 4,85).(– 6,7) = 27,5225 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm phân biệt t$_{1}$ ≈ 0,753 và t$_{2}$ ≈ 1,835.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được: g(t) < 0 hay – 4,85t$^{2}$ + 12,55t – 6,7 < 0 khi t ∈ (– ∞; 0,753) ∪ (1,835; +∞).

Để quả bóng ở độ cao lớn hơn 5m và nhỏ hơn 7m thì t phải thuộc vào giao của hai tập (0,454; 2,133) hoặc (– ∞; 0,753) ∪ (1,835; +∞).

Ta có (0,454; 2,133) (– ∞; 0,753) ∪ (1,835; +∞) = (0,454; 0,753) ∪ (1,835; 2,133).

Vậy để quả bóng ở độ cao lớn hơn 5m và nhỏ hơn 7m thì thuộc khoảng 0,454 giây đến 0,753 giây hoặc 1,835 giây đến 2,133 giây.

Lời giải

Viên đạn đang ở độ cao hơn 15m nghĩa là: $- \frac{9}{{1\,000\,000}}{x^2} + \frac{3}{{100}}x$ > 15

$\Leftrightarrow - \frac{9}{{1\,000\,000}}{x^2} + \frac{3}{{100}}x - 15 > 0$

Xét tam thức f(x) = $- \frac{9}{{1\,000\,000}}{x^2} + \frac{3}{{100}}x - 15$, có a = $- \frac{9}{{1\,\,000\,\,000}}$ và

∆ = ${\left( {\frac{3}{{100}}} \right)^2} - 4.\left( { - \frac{9}{{1\,\,000\,\,000}}} \right).\left( { - 15} \right) = \frac{9}{{25000}}$ > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ ≈ 2 720,76 và x$_{2}$ ≈ 612,57.

Áp dụng định lí về dấu ta có: f(x) > 0 hay $- \frac{9}{{1\,000\,000}}{x^2} + \frac{3}{{100}}x > 15$ khi x ∈ (612,57; 2 720,76).

Vậy khi viên đạn đang ở độ cao hơn 15m thì có khoảng cách đến vị trí bắn trong khoảng 612,57 m đến 2 720,76 m.