Giải SBT Toán 10 CD Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là B

+) Hàm số y = – x$^{2}$ + 4x + 2 có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c với a = – 1, b = 4 và c = 2. Do đó A là hàm số bậc hai.

+) Hàm số y = x(2x$^{2}$ + 5x + 1) = 2x$^{3}$ + 5x$^{2}$ + x là hàm số bậc 3. Do đó B không là hàm số bậc hai.

+) Hàm số y = – 3x(6x – 8) = – 18x$^{2}$ + 24x có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c với a = – 18, b = 24 và c = 0. Do đó C là hàm số bậc hai.

+) Hàm số y = x$^{2}$ + 6x có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c với a = 1, b = 6 và c = 0. Do đó C là hàm số bậc hai.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Hàm số f(x) = 2x$^{2}$ + 8x + 8 là hàm số bậc hai với a = 2 > 0, ∆ = 8$^{2}$ – 4.2.8 = 0.

Ta có: $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{8}{{2.2}} = - 2$; $- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{0}{{4.2}} = 0$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 2; +∞), nghịch biến trên khoảng (–∞; – 2).

Lời giải

Hàm số f(x) = x$^{2}$ – x – 9 là hàm số bậc hai có a = 1; b = – 1; c = – 9.

Lời giải

Hàm số f(x) = x$^{2}$ – 7 = x$^{2}$ + 0x – 7 là hàm số bậc hai có a = 1, b = 0 và c = – 7.

Lời giải

Hàm số f(x) = – 2x$^{2}$ + 8x = – 2x$^{2}$ + 8x + 0 là hàm số bậc hai có a = – 2, b = 8 và c = 0.

Lời giải

Tiền cả gốc lẫn lãi bố Lan nhận được sau tháng thứ nhất là:

10 + x%.10 = 10 + 0,1x (triệu đồng).

Tiền cả gốc lẫn lãi bố Lan nhận được sau tháng thứ hai là:

10 + 0,1x + (10 + 0,1x).0,01x = 0,001x$^{2}$ + 0,2x + 10 (triệu đồng).

Vậy số tiền cả vốn và lãi mà bố Lan có được sau khi gửi tiết kiệm 2 tháng là: 0,001x$^{2}$ + 0,2x + 10 (triệu đồng).

Lời giải

Xét parabol y = ax$^{2}$ – bx + 1 với a ≠ 0:

Thay tọa độ điểm M1; – 2) vào parabol y = ax$^{2}$ – bx + 1, ta được:

– 2 = a.1$^{2}$ – b.1 + 1 ⇔ a – b = – 3 (1).

Thay tọa độ điểm N(– 2; 19) vào parabol y = ax$^{2}$ – bx + 1, ta được:

19 = a.(– 2)$^{2}$ – b.(– 2) + 1 ⇔ 4a + 2b = 18 hay 2a + b = 9 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = - 3\\2a + b = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 6\\2a + b = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\2.2 + b = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là y = 2x$^{2}$ – 5x + 1.

Lời giải

Xét parabol y = ax$^{2}$ – bx + 1 với a ≠ 0:

Parabol có đỉnh I(– 2; 37) nghĩa là $\frac{b}{{2a}} = - 2$ ⇔ b = – 4a (3)

Mặt khác ta thay tọa độ điểm I vào parabol y = ax$^{2}$ – bx + 1, ta được:

37 = a.(– 2)$^{2}$ – b.(– 2) + 1 ⇔ 4a + 2b = 36 hay 2a + b = 18 (4).

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\2a + b = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\2a - 4a = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\ - 2a = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 36\\a = - 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là: y = – 9x$^{2}$ – 36x + 1.

Lời giải

Parabol có trục đối xứng là x = – 1 ⇔ $\frac{b}{{2a}} = - 1$ ⇔ b = – 2a (5)

Thay x = – 1 và y = 5 vào parabol y = ax$^{2}$ – bx + 1, ta được:

5 = a.(– 1)$^{2}$ – b.(– 1) + 1 ⇔ a + b = 4 (6).

Từ (5) và (6) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2a\\a - 2a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2a\\ - a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 8\\a = - 4\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là: y = – 4x$^{2}$ – 8x + 1.

Lời giải

Hàm số y = 3x$^{2}$ – 4x + 2, có a = 3, b = – 4, c = 2 và ∆ = (– 4)$^{2}$ – 4.3.2 = – 8 < 0.

- Tọa độ điểm đỉnh là: x$_{I}$= $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2.3}} = \frac{2}{3}$ và y$_{I}$ = $- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{ - 8}}{{4.3}} = \frac{2}{3}$

⇒ $I\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

- Trục đối xứng $x = \frac{2}{3}$.

- Parabol không cắt trục hoành.

- Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; 2) và điểm đối xứng với điểm này qua trục đối xứng có tọa độ $\left( {\frac{4}{3};2} \right)$.

- Ta có a = 3 > 0 nên bề lõm của parabol hướng lên trên.

Đồ thị hàm số parabol đã cho là:

Lời giải:

Hàm số y = – 2x$^{2}$ – 2x – 1, có a = – 2 , b = – 2, c = – 1 và ∆ = (– 2)$^{2}$ – 4.(– 2).(– 1) = – 5 < 0.

- Tọa độ điểm đỉnh là: x$_{I}$= $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.( - 2)}} = - \frac{1}{2}$ và y$_{I}$ = $- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{ - 4}}{{4.( - 2)}} = - \frac{1}{2}$

⇒ $I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

- Trục đối xứng $x = - \frac{1}{2}$.

- Parabol không cắt trục hoành.

- Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; – 1) và điểm đối xứng với điểm này qua trục đối xứng có tọa độ A$\left( { - 1; - 1} \right)$.

- Ta có a = – 2 < 0 nên bề lõm của parabol hướng xuống dưới.

Đồ thị hàm số parabol đã cho là:

Lời giải

Hàm số đã cho có đồ thị là đường cong parabol:

Parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên a < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ nằm phía trên trục hoành nên c > 0.

Trục đối xứng của hàm số nằm bên phải trục tung nên $- \frac{b}{{2a}} > 0$

Mà a < 0 nên – b < 0 hay b > 0.

Vậy a < 0, b > 0 và c > 0.

Lời giải

Hàm số y = 4x$^{2}$ + 6x – 5, có a = 4 > 0 và ∆ = 6$^{2}$ – 4.4.(– 5) = 116

Ta có $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{6}{{2.4}} = - \frac{3}{4}$ và $- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{116}}{{4.4}} = - \frac{{29}}{4}$

Khi đó, ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - \frac{3}{4}} \right)$, hàm số đồng biến trên $\left( { - \frac{3}{4}; + \infty } \right)$.

Lời giải:

Hàm số y = – 3x$^{2}$ + 10x – 4, có a = – 3 < 0 và ∆ = 10$^{2}$ – 4.(– 3).(– 4) = 52

Ta có $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{10}}{{2.( - 3)}} = \frac{5}{3}$ và $- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{52}}{{4.( - 3)}} = \frac{{13}}{3}$

Khi đó, ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\frac{5}{3}} \right)$, hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$- \frac{b}{{2a}} = - 1$ ⇔ b = 2a

$- \frac{\Delta }{{4a}} = - 2$ ⇔ ∆ = 8a ⇔ b$^{2}$ – 4ac = 8a

⇔ (2a)$^{2}$ – 4a.2 = 8a

⇔ 4a$^{2}$ – 8a = 8a

⇔ 4a$^{2}$ – 16a = 0

⇔ 4a(a – 4) = 0

⇔ a = 0 (không thỏa mãn) hoặc a = 4 (thỏa mãn)

⇒ b = 2a = 2.4 = 8.

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là y = 4x$^{2}$ + 8x + 2.

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$- \frac{b}{{2a}} = 2$ ⇔ b = – 4a

$- \frac{\Delta }{{4a}} = 8$ ⇔ ∆ = – 32a ⇔ b$^{2}$ – 4ac = – 32a

⇔ (4a)$^{2}$ – 4a.2 = – 32a

⇔ 4a$^{2}$ – 8a = – 32a

⇔ 16a$^{2}$ + 24a = 0

⇔ 8a(2a + 3) = 0

⇔ a = 0 (không thỏa mãn) hoặc a = $- \frac{3}{2}$ (thỏa mãn)

⇒ b = – 4a = – 4.$\left( { - \frac{3}{2}} \right)$ = 6.

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là y = $- \frac{3}{2}$x$^{2}$ + 6x + 2.

Lời giải

+) Hình 12a):

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ – 3 nên c = – 3.

- Điểm đỉnh của parabol có tọa độ (1; – 4) nên ta có:

$- \frac{b}{{2a}} = 1$ ⇔ b = – 2a

$- \frac{\Delta }{{4a}} = - 4$⇔ ∆ = 16a

⇔ b$^{2}$ – 4ac = 16a

⇔ (– 2a)$^{2}$ – 4a(– 3) = 16a

⇔ 4a$^{2}$ + 12a = 16a

⇔ 4a$^{2}$ – 4a = 0

⇔ 4a(a – 1) = 0

⇔ a = 0 (không thỏa mãn) hoặc a = 1 (thỏa mãn)

⇒ b = – 2a = – 2.1 = – 2.

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là y = x$^{2}$ – 2x – 3.

+) Hình 12b):

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 0 nên c = 0.

- Điểm đỉnh của parabol có tọa độ (– 1; 2) nên ta có:

$- \frac{b}{{2a}} = - 1$ ⇔ b = 2a

$- \frac{\Delta }{{4a}} = 2$⇔ ∆ = – 8a

⇔ b$^{2}$ – 4ac = – 8a

⇔ (2a)$^{2}$ – 4a.0 = – 8a

⇔ 4a$^{2}$ = – 8a

⇔ 4a$^{2}$ + 8a = 0

⇔ 4a(a + 2) = 0

⇔ a = 0 (không thỏa mãn) hoặc a = – 2 (thỏa mãn)

⇒ b = 2a = 2.(– 2) = – 4.

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là y = – 2x$^{2}$ – 4x.

Lời giải

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Tọa độ các điểm lần lượt là: B(– 4,5; 0); C(4,5; 0);

Vì BK = 0,5 m nên OK = 4,5 – 0,5 = 4 m. Do đó M(4; 1,6).

Cổng có hình parabol nên gọi phương trình hàm số là y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0) (1).

Điểm B thuộc parabol nên thay tọa độ điểm B vào (1) ta được:

0 = a(– 4,5)$^{2}$ + b(– 4,5) + c ⇔ 20,25a – 4,5b + c = 0 (2).

Điểm C thuộc parabol nên thay tọa độ điểm C vào (1) ta được:

0 = a(4,5)$^{2}$ + b(4,5) + c ⇔ 20,25a + 4,5b + c = 0 (3).

Điểm M thuộc parabol nên thay tọa độ điểm M vào (1) ta được:

1,6 = a.4$^{2}$ + b.4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 1,6 (4).

Từ (2), (3) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}20{,}25a - 4{,}5b + c = 0\\20{,}25a + 4{,}5b + c = 0\\16a + 4b + c = 1{,}6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{32}}{{85}}\\b = 0\\c = \frac{{648}}{{85}}\end{array} \right.$.

Suy ra parabol cần tìm là: y = $- \frac{{32}}{{85}}$x$^{2}$ + $\frac{{648}}{{85}}$.

Điểm N là điểm đỉnh của parabol thuộc vào trục tung Oy nên hoành độ điểm N bằng 0.

Thay x = 0 vào hàm số y = $- \frac{{32}}{{85}}$x$^{2}$ + $\frac{{648}}{{85}}$, ta được y = $- \frac{{32}}{{85}}$.0$^{2}$ + $\frac{{648}}{{85}}$ = $\frac{{648}}{{85}}$.

⇒ N$\left( {0;\frac{{648}}{{85}}} \right)$.

Tung độ điểm N cũng chính là chiều cao của cổng và bằng $\frac{{648}}{{85}} \approx 7{,}6$ m.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 7,6 m.