Giải SBT Toán 10 CD Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Ta có: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=$ ( -1 + 2; 3 + (-5)) = (1; -2).

Vậy chọn đáp án A.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}=(2-2.1;-3-2.4)=(0;-11)$

Vậy chọn đáp án B.

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

${x}_{M}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{4+(-2)}{2}=1$

${y}_{M}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{-1+5}{2}=2$

Suy ra M(1; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

${x}_{G}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3}=\frac{4+1+7}{3}=4$

${y}_{G}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}=\frac{6+2+(-2)}{3}=2$

Suy ra G(4; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Khoảng cách giữa hai điểm M và N chính bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$ và bằng $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{{({x}_{N}-{x}_{M})}^{2}+{({y}_{N}-{y}_{M})}^{2}}=\sqrt{{(1+2)}^{2}+{(2-4)}^{2}}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án A.

Ta có: $\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{(-4).(-1)+(-3).(-7)}{\sqrt{{(-4)}^{2}+{(-3)}^{2}}.\sqrt{{(-1)}^{2}+{(-7)}^{2}}}=\frac{25}{\sqrt{25}.\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={45}^{o}$ .

Vậy chọn đáp án C.

Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=(1;1)$ và $\overrightarrow{v}=(-2;1)$ là:

$\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{1.(-2)+1.1}{\sqrt{{1}^{2}+{(-2)}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{-1}{\sqrt{5}.\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{10}}{10}$.

Vậy chọn đáp án C.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-2-2;2-6)=(-4;-4)$ ⇒ AB =$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-4)}^{2}+{(-4)}^{2}}=4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{AC}=(8-2;0-6)=(6;-6)$ ⇒ AC = $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{6}^{2}+{(-6)}^{2}}=6\sqrt{2}$ .

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-4).6+(-4).(-6)=0$

Nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Vậy chọn đáp án B.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1-1;-1-5)=(-2;-6)$ và $\overrightarrow{AC}=(2-1;-5-5)=(1;-10)$

Ta thấy $\frac{-2}{1}\ne \frac{-6}{-10}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

${x}_{G}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3}=\frac{1+(-1)+2}{3}=\frac{2}{3}$

${y}_{G}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}=\frac{5+(-1)+(-5)}{3}=\frac{-1}{3}$

Vậy $G(\frac{2}{3};\frac{-1}{3})$ .

c) Do tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD

Nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng

Mà $CD=\frac{3}{2}AB$ nên $\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi D(a; b), ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1-1;-1-5)=(-2;-6)$ ,$\overrightarrow{CD}=(a-2;b+5)$ .

Suy ra $\{\begin{matrix}a-2=\frac{-3}{2}.(-2) \\ b+5=\frac{-3}{2}.(-6)\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=5 \\ b=4\end{matrix}$

Vậy D(5; 4).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-5+2;-1-4)=(-3;-5)$

$\overrightarrow{AC}=(8+2;-2-4)=(10;-6)$

$\overrightarrow{BC}=(8+5;-2+1)=(13;-1)$

Suy ra: $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-3)}^{2}+{(-5)}^{2}}=\sqrt{34}$

$AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{10}^{2}+{(-6)}^{2}}=2\sqrt{34}$

$BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{13}^{2}+{(-1)}^{2}}=\sqrt{170}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-3).10+(-5).(-6)=0$ suy ra $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ hay $\widehat{BAC}={90}^{o}$ .

Ta có: $\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})=\frac{10.13+(-6).(-1)}{\sqrt{{10}^{2}+{6}^{2}}.\sqrt{{13}^{2}+{(-1)}^{2}}}=\frac{136}{2\sqrt{34}.\sqrt{170}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

Suy ra $\widehat{ACB}\approx {27}^{o}$$\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^{o}-\widehat{ACB}\approx {63}^{o}$ .

Do M nằm trên trục Ox nên M(a; 0).

Khi đó $\overrightarrow{MA}=(4-a;-2)$ và $\overrightarrow{MB}=(10-a;4)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(14-2a;2)$

$\Rightarrow |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=\sqrt{{(14-2a)}^{2}+{2}^{2}}$

Suy ra ${|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|}^{2}={(14-2a)}^{2}+{2}^{2}\ge {2}^{2}=4$

Giá trị nhỏ nhất của ${|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|}^{2}$ là 4

Hay giá trị nhỏ nhất của $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ là 2 đạt được khi 14 – 2a = 0

Vậy M(7; 0).

Gọi M(a; b) là tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\overrightarrow{AM}=(a-600;b-200)$ và $\overrightarrow{AB}=(-400;300)$

Do máy bay chuyển động thẳng đều nên quãng đường máy bay đi được sau 1 giờ bằng $\frac{1}{3}$ tổng quãng đường hay $AM=\frac{1}{3}AB$ .

Mà M thuộc đoạn AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra $\{\begin{matrix}a-600=\frac{1}{3}.(-400) \\ b-200=\frac{1}{3}.300\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=\frac{1400}{3} \\ b=300\end{matrix}$

Vậy M$(\frac{1400}{3};300)$ .