Giải SBT Toán 10 CD Bài 1. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là B

Với 0° < α < 180°, ta có:

– 1 < cosα < 1. Suy ra A sai.

0 < sinα < 1. Suy ra B đúng.

Do đó C và D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Ta có α + β = 180° nên ta có:

sinα = sinβ ⇒ sinα + sinβ = sinα + sinα = 2sinα

Vì 0° < α, β < 180° nên sinα ≠ 0.

Do đó sinα + sinβ ≠ 0. Suy ra A sai.

cosα = – cosβ ⇒ cosα + cosβ = 0. Suy ra B đúng.

tanα = – tanβ ⇒ tanα + tanβ = 0. Suy ra C đúng.

cotα = – cotβ ⇒ cotα + cotβ = 0. Suy ra D đúng.

Lời giải

T = sin$^{2}$25° + sin$^{2}$75° + sin$^{2}$115° + sin$^{2}$165°

= sin$^{2}$25° + sin$^{2}$75° + sin$^{2}$75° + sin$^{2}$25°

= 2sin$^{2}$25° + 2sin$^{2}$75°

= 2sin$^{2}$25° + 2cos$^{2}$25°

= 2(sin$^{2}$25° + cos$^{2}$25°)

= 2.1 = 2.

Lời giải

Ta có: tanα = – 2 thỏa mãn cosα ≠ 0

P = $\frac{{{\rm{cos}}\alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha + 3\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + 3\frac{{\cos \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}}} = \frac{{1 + 3\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3}} = \frac{{1 + 3.\left( { - 2} \right)}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5$.

Vậy với tanα = – 2 thì P = – 5.

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA (định lí cos)

⇔ BC$^{2}$ = 6$^{2}$ + 8$^{2}$ – 2.6.8.cos100°

⇔ BC$^{2}$ ≈ 116,7

⇔ BC ≈ 10,8.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

⇔ $\frac{{10{,}8}}{{\sin 100}} = 2R$

⇔ $\frac{{10{,}8}}{{2\sin 100^\circ }} = R$

⇔ R ≈ 5,5.

Vậy BC ≈ 10,8 và R ≈ 5,5.

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc)

⇒ $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 105^\circ } \right) = 15^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R$

⇔ $\frac{{15}}{{\sin 15}} = \frac{{AC}}{{\sin 60^\circ }} = 2R$

⇒ $AC = \frac{{15.\sin 60^\circ }}{{\sin 15}} \approx 50$

⇒ $R = \frac{{15}}{{2.\sin 15}} \approx 29.$

Vậy AC ≈ 50 và R ≈ 29.

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có:

Áp dụng hệ quả của định lí cos, ta được:

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{5^2} + {7^2} - {9^2}}}{{2.5.7}} = - \frac{1}{{10}}$

⇒ $\widehat A \approx$95,7°.

Ta có p = $\frac{{5 + 7 + 9}}{2} = 10{,}5$

Áp dụng công thức herong, diện tích tam giác ABC là:

S =$\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10{,}5\left( {10{,}5 - 9} \right)\left( {10{,}5 - 7} \right)\left( {10{,}5 - 5} \right)} \approx 17{,}4$.

Mặt khác, ta lại có: $S = \frac{{abc}}{{4R}}$

⇒ $R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{9.7.5}}{{4.17{,}4}} \approx 4{,}5$.

Vậy $\widehat A \approx$95,7° và R ≈ 4,5.

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AB.BC.cosB (định lí cos)

⇔ m$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2.a.b.cosB (1)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC = b, $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$

Vì $\widehat A + \widehat B = 180^\circ$ ⇒ cosA = – cosB ⇒ cosA + cosB = 0

Xét tam giác ABD, có:

BD$^{2}$ = AB$^{2}$ + AD$^{2}$ – 2.AB.AD.cosA (định lí cos)

⇔ n$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2.a.b.cosA (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

m$^{2}$ + n$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2.a.b.cosB + a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2.a.b.cosB

⇔ m$^{2}$ + n$^{2}$ = 2(a$^{2}$ + b$^{2}$) – 2.a.b.(cosB + cosA)

⇔ m$^{2}$ + n$^{2}$ = 2(a$^{2}$ + b$^{2}$) – 2.a.b.0

⇔ m$^{2}$ + n$^{2}$ = 2(a$^{2}$ + b$^{2}$).

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc)

⇒ $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R$

⇔ $\frac{{BC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 60^\circ }} = 2$

⇒ BC = 2.sin45° ≈ 1,41

⇒ AB = 2.sin60° ≈ 1,73

Vậy bạn Trí phải cắt miếng tôn theo hai dây cung AB,BC có độ dài lần lượt là 1,41m và 1,73m.

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc)

⇒ $\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {78^\circ + 50^\circ } \right) = 52^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$

⇔ $\frac{{20}}{{\sin 52^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 50^\circ }}$

⇔ $AB = \frac{{20.\sin 50^\circ }}{{\sin 52^\circ }} \approx 19{,}4$.

Vậy khoảng cách từ gốc cây (điểm A) đến ngọn cây (điểm B) là 19,4 m.

Lời giải

Theo đầu bài, ta có: $\widehat {NCA} = 47{,}45^\circ$ và $\widehat {NCB} = 112{,}9^\circ$

⇒ $\widehat {ACB} = \widehat {NCB} - \widehat {NCA} = 112{,}90^\circ - 47{,}45^\circ = 65{,}45^\circ$

Xét tam giác ABC, có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AC.BC.cos$\widehat {ACB}$

⇔ AB$^{2}$ = 3$^{2}$ + 5$^{2}$ – 2.3.5.cos65,45°

⇔ AB$^{2}$ ≈ 21,54

⇔ AB ≈ 4,64

Vậy khoảng cách giữa hai tàu là 4,64 km.