Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Đáp án đúng là: A

Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với $\overrightarrow {AC}$ là: $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {CO} .$

Vậy có 6 vectơ khác vectơ - không và cùng phương với $\overrightarrow {AC} .$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Vì B nằm giữa A và C nên ta có:

• $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CB}$ ngược hướng. Do đó phương án A sai.

• $\overrightarrow {CA}$ và $\overrightarrow {BC}$ ngược hướng. Do đó phương án B sai.

• $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng. Do đó phương án C đúng.

• $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BA}$ ngược hướng. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Lại có K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

Nên AK = KB = DM = MC và NL // AB // CD

Do đó ABLN là hình bình hành (do AB // NL và AN // BL)

Suy ra AB = NL = CD

Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó đường trung bình NL đi qua O

Và NO = OL = $\frac{1}{2}NL = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$

Suy ra AK = KB = NO = OL = DM = MC.

Khi đó các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {AK}$ là: $\overrightarrow {KB} ,\overrightarrow {OL} ,\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {MC} .$

Vậy có 4 vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {AK} .$

Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD suy ra $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} .$

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó $\overrightarrow {BD} \bot \overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow {AC} .$

Do đó phương án B là sai.

• Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét ABD có AB = AD = 1 và $\widehat {DAB} = 120^\circ ,$ áp dụng định lí cosin ta có:

BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2.AD.AB.cos$\widehat {DAB}$

BD$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ – 2.1.1.cos120°

BD$^{2}$ = 3

BD = $\sqrt 3$

Khi đó $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt 3 .$

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác $\widehat {DAB} = 120^\circ$ nên $\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có $\widehat {ADC} = 60^\circ$

Suy ra ADC là tam giác đều

AC = AD = CD = 1.

Khi đó $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 1.$

Do đó phương án D là đúng.

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và $\widehat {BAC} = 60^\circ .$

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}$

$\Rightarrow A{B^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{C^2} = 4A{M^2}$

$\Rightarrow A{B^2} + 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} + A{C^2} = 4A{M^2}$

3$^{2}$ + 2.3.3.cos60° + 3$^{2}$ = 4.AM$^{2}$

4.AM$^{2}$ = 27

AM$^{2}$ = $\frac{{27}}{4}$

AM = $\sqrt {\frac{{27}}{4}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM

AG = $\frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .$

Khi đó $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \sqrt 3 .$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi D là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$

Khi đó CD // AB và CD = AB(1)

Ta có: $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD}$

Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành.

Khi đó CD // BE và CD = BE(2)

Từ (1) và (2) ta có: AB ≡ BE và AB = BE

Do đó B là trung điểm của AE

AE = 2AB = 2.3 = 6.

Xét tam giác ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

CE$^{2}$ = AC$^{2}$ + AE$^{2}$ = 4$^{2}$ + 6$^{2}$ = 52

CE = $\sqrt {52} = 2\sqrt {13} .$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CE} } \right| = CE = 2\sqrt {13} .$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Xét ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat {ABC} = 60^\circ .$

Khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

$\Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .$

Ta có: $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB}$

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành

Khi đó $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}$

$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$$

Hình bình hành ABDC có $\widehat {BAC} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

Do đó AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)

$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} } \right| = AD = BC = 4.$$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {IB} = - 2\overrightarrow {IC}$

Khi đó $\overrightarrow {IB}$ và $\overrightarrow {IC}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và IB = 2IC.

Khi đó điểm I nằm giữa hai điểm B và C sao cho IB = 2IC.

Gọi M là trung điểm của BI.

Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC.

Vì I là trung điểm của MC nên ta có:

$2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC}$(1)

Vì M là trung điểm của BI nên ta có:

$2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI}$(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {AI} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} } \right) + \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{{\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} }}{3}$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

• Xét phương án A:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM và G nằm giữa A, M.

Khi đó $\overrightarrow {GA} ,$ $\overrightarrow {GM}$ là hai vectơ ngược hướng

Nên $\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM}$

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM

Hai vectơ $\overrightarrow {AG}$ và $\overrightarrow {AM}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG}$

Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG} .$

Do đó phương án B là đúng.

• Xét phương án C:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM = 3MG và G nằm giữa A, M.

Khi đó $\overrightarrow {AM} ,$ $\overrightarrow {MG}$ là hai vectơ ngược hướng

Nên $\overrightarrow {AM} = - 3\overrightarrow {MG}$

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Ta có $2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG}$ (chứng minh khi xét phương án B)

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 3 + 2 + 4}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right) + 6}}{3} = 2\end{array} \right.$

G(1; 2)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{ - 3 + 5 + {x_C}}}{3}\\2 = \frac{{3 + \left( { - 2} \right) + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + 5 + {x_C} = 6\\3 + \left( { - 2} \right) + {y_C} = 6\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 5\end{array} \right.$ C(4; 5)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên

ABC vuông cân tại B

Do đó:

• $\widehat {BAC} = 45^\circ$

• AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$ (theo định lí Pythagore)

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = AB.AC.cos$\widehat {BAC}$

= a.a.$\sqrt 2$.cos45°

= a.a$\sqrt 2$.$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

= a$^{2}$.

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = a$^{2}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Do đó để $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$

$$\Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1$$

$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$$

$\Leftrightarrow \overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Do đó để $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$

$$\Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1$$

$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$$

$\Leftrightarrow \overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}$= BC.CA.cos$\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right)$

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

Khi đó: $\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACx}$

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2

Nên AB = $\frac{1}{2}$BC

Lại có $\widehat {ABC} = 60^\circ .$

Do đó ABC vuông tại A.

Suy ra:

• AC = $\sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3$

• $\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Mà $\widehat {ACx} = 180^\circ - \widehat {ACB}$ (do hai góc $\widehat {ACx}$ và $\widehat {ACB}$ kề bù)

$\Rightarrow \widehat {ACx} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Do đó $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}$= BC.CA.cos$\widehat {ACx}$

= 2.$\sqrt 3$.cos150°

= 2.$\sqrt 3 .\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}$

= –3.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6} \right)$và $\overrightarrow {OC} = \left( {3m;2m - 1} \right)$

Để AB ⊥ OC thì $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {OC}$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = 0$$

−3.3m + 6.(2m – 1) = 0

−9m + 12m – 6 = 0

3m = 6

m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• 2BM = MC $\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{2}{1}$

• CN = 2NA $\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1}$

• AP = 2PB $\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{1}$

$$\Rightarrow \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{{AP}}{{PB}}\left( { = \frac{2}{1}} \right)$$

MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

ANMP là hình bình hành

Mặt khác:

• $\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{CN}}{{NA + CN}} = \frac{2}{{1 + 2}}$

$\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}$

• MN // AB $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}$

MN = $\frac{2}{3}$.AB = $\frac{2}{3}$.1 = $\frac{2}{3}.$

• $\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}$

CN = $\frac{2}{3}.$CA = $\frac{2}{3}$.2 = $\frac{4}{3}.$

AN = CA – CN = 2 – $\frac{4}{3}$

AN = $\frac{2}{3}.$

Do đó MN = AN = $\frac{2}{3}.$

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

$\Rightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP}$$\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Giả sử

$\frac{{AP}}{{AB}} = x$ (x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}$

Hay $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$

Tương tự ta cũng có $\overrightarrow {AP} = x\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC.}$

• $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM}$

$= \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$

$$= \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$

$$= \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$$

$$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$$

• $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AP} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

$= x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0$

$$\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0$$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0$ (1)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và $\widehat {BAC} = 60^\circ .$

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}$

= 1.1.cos60° = $\frac{1}{2}.$

Khi đó:

(1) $\Leftrightarrow \frac{1}{3}.x{.1^2} - \frac{1}{9}.\frac{1}{2} + \frac{2}{3}.x.\frac{1}{2} - \frac{2}{9}{.1^2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x = \frac{5}{{18}}$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{{18}}:\frac{2}{3} = \frac{5}{{12}}$ (thỏa mãn)

Vậy $\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}.$

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}$

Hay $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC$

Do đó $\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$

Tương tự ta có $\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

• $\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$

$= - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$

$= - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$

• $\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$

• Khi đó:

$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)$$= - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

$= \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2}$

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và $\widehat {BAC} = 60^\circ .$

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}$

= 3a.3a.cos60° = $\frac{9}{2}{a^2}.$

Do đó $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{B^2}$

$$= \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{9}A{B^2}$$

$$= \frac{1}{9}.\frac{9}{2}{a^2} - \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2}$$

= $\frac{1}{2}$a$^{2}$ – a$^{2}$ = $- \frac{1}{2}$a$^{2}$.

Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} =$$- \frac{1}{2}$a$^{2}$.

Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

• $\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BC}$

• $\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {MA}$

Khi đó $\left| {\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {AC} } \right|$

$$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|$$

BC = MA

Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).

Vậy ta chọn phương án A.

Lời giải

ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

MN // AB // DC và MN = AB = DC.

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MN}$

Vậy những vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {AB}$ là: $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {MN} .$

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của ADC

NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow {AB}$ là: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {NO} ,\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {DC.}$

Lời giải

Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của ABC.

$\Rightarrow BI = \frac{2}{3}BO$ và $OI = \frac{1}{2}BI$ (tính chất trọng tâm)(1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của ADC.

$\Rightarrow DJ = \frac{2}{3}DO$ và $OJ = \frac{1}{2}DJ$ (tính chất trọng tâm)(2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: BI = DJ và OI = OJ = $\frac{1}{2}$BI = $\frac{1}{2}$DJ

Mà IJ = IO + OJ = $\frac{1}{2}$BI + $\frac{1}{2}$BI = BI = DJ

Vậy BI = IJ = JD.

Lời giải

Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của ABC, AMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

$\overrightarrow {{\rm{AA}}} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'}$

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {CN} \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

Lời giải

• Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow u - \overrightarrow v$$

• Từ BM = MN = NC suy ra $\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

$\overrightarrow {GC} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {GB} = \left[ {1 - \left( { - 2} \right)} \right]\overrightarrow {GM}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {GB}$

$\Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {GC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{1}{3}\overrightarrow v$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow {GN} = \frac{1}{3}\overrightarrow u + \frac{2}{3}\overrightarrow v$

Lời giải

Ta có:

• $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = AB. AC.cos$\widehat {BAC}$ = 4.5.cos60° = 10.

• $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

= $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ – AB$^{2}$

= 10 – 4$^{2}$

= 10 – 16

= –6

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 10,$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 6.$

Lời giải

Ta có

• $2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

$$\Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} } \right) = \overrightarrow 0$$

$$\Rightarrow 2\overrightarrow {BM} - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {BM} = - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC}$$

$$= 2\overrightarrow {AB} + 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$

$$= 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB}$$

$$= 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$$

• $\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} - \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0$$

$$\Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC}$$

Do đó:

$$\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right).\left( {3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$

$$= 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} - x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$$

$$= \left( {3 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2}$$

= (3 – x).10 – 4$^{2}$ + 3x.5$^{2}$

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì $\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0$ (với x ≠ –1)

65x + 14 = 0

x = $- \frac{{14}}{{65}}$

Vậy với x = $- \frac{{14}}{{65}}$ thì AN ⊥ BM.

Lời giải

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên $\overrightarrow {PD} = - 2\overrightarrow {PM}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\overrightarrow {AD} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {AM} = \left[ {1 - \left( { - 2} \right)} \right]\overrightarrow {AP}$

$\Rightarrow 3\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$ (vì M là trung điểm của AB)

$\Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u$

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

$\Rightarrow \overrightarrow {QB} = - x\overrightarrow {QN}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

$\overrightarrow {AB} - \left( { - x} \right)\overrightarrow {AN} = \left[ {1 - \left( { - x} \right)} \right]\overrightarrow {AQ}$

$\Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AN}$

$= \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x\overrightarrow {DN}$

$= \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC}$ (vì N là trung điểm của CD)

$= \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}x\overrightarrow {AB}$ (vì $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$)

$= \left( {1 + \frac{1}{2}x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{2}\overrightarrow u + x\overrightarrow v$

$\Rightarrow \overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v$ (do x ≠ −1)

b) Với $\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v$

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow {AP}$ và $\overrightarrow {AQ}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{{\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{\frac{x}{{x + 1}}}}{{\frac{1}{3}}}$$\Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}$

$\Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}$

x + 2 = 2x

x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Lời giải

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

$\overrightarrow {{\rm{AA'}}} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC} = 3\overrightarrow {GG'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {{\rm{AA'}}} + \overrightarrow {BB'} = 3\overrightarrow {GG'}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CA} = 3\overrightarrow {GG'}$

$\Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = 3\overrightarrow {GG'}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {GG'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA}$

Do đó $\overrightarrow {GG'}$ cùng phương với $\overrightarrow {BA}$

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Lời giải

• Vì E là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {EB}$

F là trung điểm của CD nên $\overrightarrow {FC} = \overrightarrow {DF} .$

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

$$2\overrightarrow {KL} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF}$$

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

$$\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF} = 2\overrightarrow {NM}$$

Do đó $2\overrightarrow {KL} = 2\overrightarrow {NM}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {KL} = \overrightarrow {NM}$$

KL = NM và KL // NM

KLMN là một hình bình hành.

Lời giải

Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

$$2\overrightarrow {EI} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EL} = \frac{1}{2}\overrightarrow {ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC}$$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{2}.\overrightarrow {EF}$ (do F là trung điểm của DC)

Do đó $2\overrightarrow {EI} = \frac{1}{2}.\overrightarrow {EF}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {EI} = \frac{1}{4}.\overrightarrow {EF}$$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow {EI}$ và $\overrightarrow {EF}$ cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Lời giải

Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\widehat {CEA} = 90^\circ$

Tứ giác ABCE có $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {CEA} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật

EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$AD

$\Rightarrow \overrightarrow {EA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$

Mà $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {EA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \overrightarrow {CB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

• Ta có: $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {ED}$

Mà $\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\overrightarrow {ED} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}$$