Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là A

Ta có sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau. Côsin, tan và côtan của hai góc bù nhau thì đối nhau. Vậy khẳng định đúng là A.

Lời giải

Đáp án đúng là D

cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45°. Khẳng định A đúng.

cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45° = sin ( 180° – 45° ) = sin135°. Khẳng định B đúng.

cos30° = sin ( 90° – 30° ) = sin60° = sin ( 180° – 60° ) = sin120°. Khẳng định C đúng.

Có sin60° = cos30° ≠ cos120°. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có:

sin90° = 1 mà sin150° = $\frac{1}{2}$ ⇒ sin90° > sin150°. Vì vậy A sai.

sin90°15’ = 0,99999, sin90°30’ = 0,99996 ⇒ sin90°15’ > sin90°30’. Vì vậy B sai.

cos90°30’ ≈ – 8,72. 10$^{-3}$, cos100° ≈ – 0,17 ⇒ cos90°30’ > cos100°. Vì vậy C đúng.

cos150° = $\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}$, cos120° = $\frac{{ - 1}}{2}$ ⇒ cos150° < cos120°. Vì vậy D sai.

Chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được

sin150° = $\frac{1}{2}$, cos150° = $\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}$, tan150° = $\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}$, cot150° = $- \sqrt 3$.

Vậy khẳng định C đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Theo định lí côsin ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

Nếu b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ > 0 hay b$^{2}$ + c$^{2}$ > a$^{2}$ thì 2bccosA > 0 hay cosA > 0 ( b,c là cạnh tam giác nên b,c > 0 ). Khi đó $\widehat {\rm{A}}$ < 90° hay góc A nhọn.

Nếu b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$ < 0 hay b$^{2}$ + c$^{2}$ < a$^{2}$ thì 2bccosA < 0 hay cosA < 0 ( b,c là cạnh tam giác nên b,c > 0 ). Khi đó $\widehat {\rm{A}}$ > 90° hay góc A tù.

Như vậy đáp án đúng là A.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{{{{{\mathop{\rm AC}\nolimits} }^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}}}{{2{\rm{AB}}{\rm{.AC}}}}$ = $\frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.4.9}}$ = $\frac{2}{3}$.

Vậy chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Ta có: S = $\frac{1}{2}$AB.AC. sinA ⇒ sinA = $\frac{{2{\rm{S}}}}{{{\rm{AB}}{\rm{.AC}}}}$ = $\frac{{64.2}}{{18.8}} = \frac{8}{9}$.

Vậy đáp án đúng là D.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Kẻ GH vuông góc với AC.

G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ GF = $\frac{1}{3}$BF .

Xét tam giác GFH và tam giác BFA:

$\widehat {{\rm{GHF}}} = \widehat {{\rm{BAF}}}$= 90°

$\widehat {{\rm{GFH}}} = \widehat {{\rm{BFA}}}$(hay chung $\widehat {GFH}$)

⇒ tam giác GFH và tam giác BFA đồng dạng (g.g)

⇒ $\frac{{{\rm{GH}}}}{{{\rm{AB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{GF}}}}{{{\rm{BF}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}$ ( Tính chất hai tam giác đồng dạng)

⇒ GH = 10 cm

Lại có FC = $\frac{1}{2}$AC = 15 cm

⇒ S$_{GFC}$ = 10.15. $\frac{1}{2}$ = 75 cm$^{2}$

Vậy đáp án C đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Diện tích tam giác ABC ban đầu là: S = $\frac{1}{2}$. BC.AC.sinC

Diện tích tam giác ABC lúc sau là: S$_{s}$ = $\frac{1}{2}$.2BC.3AC.sinC = 6. $\frac{1}{2}$. BC.AC.sinC = 6S.

Vậy đáp án đúng là D.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Theo định lí sin ta có:

$$\frac{{{\rm{AB}}}}{{\sin \widehat {\rm{O}}}} = \frac{{{\rm{OB}}}}{{\sin \widehat {\rm{A}}}} = \frac{1}{{\sin 30^\circ }} = 2$$

OB = 2sin$\widehat {\rm{A}}$.

Ta có –1 ≤ sin$\widehat {\rm{A}}$≤ 1 nên OB lớn nhất khi sin$\widehat {\rm{A}}$ = 1 ⟺ $\widehat {\rm{A}}$= 90°.

Khi đó OB = 2.

Đáp án đúng là D.

Lời giải

Theo định lí côsin: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{bc}}}}$

⇒ $\frac{{{\rm{cosA}}}}{{\rm{a}}}$ = $\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}$.

Tương tự ta có:

$\frac{{{\rm{cosB }}}}{{\rm{b}}}$ = $\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}$ và $\frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}}$ = $\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{c}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}$

Như vậy: $\frac{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }}{{\rm{a}}} + \frac{{{\rm{cosB}}}}{{\rm{b}}} + \frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}}$ = $\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2a{\rm{bc}}}}$ + $\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}$ + $\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}$

⇒ $\frac{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }}{{\rm{a}}} + \frac{{{\rm{cosB}}}}{{\rm{b}}} + \frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}} = \frac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2abc}}}}$. ( ĐPCM ).

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

c$^{2}$ = a$^{2}$+ b$^{2}$– 2abcos$\widehat {\rm{C}}$

c$^{2}$ = 24$^{2}$ + 36$^{2}$ – 2.24.36.cos52°

c = $\sqrt {{{24}^2} + {\rm{ }}{{36}^2}--{\rm{ }}2.24.36.{\rm{cos}}52^\circ }$

c ≈ 28,43.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}} = \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{sinC}}}}$= $\frac{{28{,}43}}{{\sin 52^\circ }}$

⇒ sinA = a : $\frac{{28{,}43}}{{\sin 52^\circ }}$ = 24 : $\frac{{28{,}43}}{{\sin 52^\circ }}$ ≈ 0,665 ⇒ $\widehat {\rm{A}}$≈ 41°40’56’’.

⇒ sinB = b : $\frac{{28{,}43}}{{\sin 52^\circ }}$ = 36 : $\frac{{28{,}43}}{{\sin 52^\circ }}$ ≈ 0,998 ⇒ $\widehat B$ ≈ 86°22’32’’.

Vậy $\widehat {\rm{A}}$≈ 41°40’56’’ và $\widehat B$ ≈ 86°22’32’’.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: $\widehat {{\rm{BPA}}}$= 40°, $\widehat {{\rm{BQA}}}$ = 52°, $\widehat {{\rm{BAP}}}$= 90°, PQ = 50 m.

$\widehat {{\rm{BQP}}}$ là góc kề bù với $\widehat {{\rm{BQA}}}$ ⇒ $\widehat {{\rm{BQP}}}$ = 180° – 52° = 128°

Xét tam giác PBQ: $\widehat {{\rm{PBQ}}}$+ $\widehat {{\rm{BQP}}}$+ $\widehat {{\rm{BPQ}}}$= 180°

⇒ $\widehat {{\rm{PBQ}}}$= 180° – 128° – 40° = 12°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác PBQ ta có:

$\frac{{{\rm{PQ}}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BQ}}}}{{{\rm{sinP}}}}$ = $\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}$ ⇒ BQ = $\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}$. sinP = $\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}$.sin40° ≈ 154,58 m.

Xét tam giác ABQ vuông tại A: AB = BQ. sin52° = 154,58. sin52° ≈ 121,81 m.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 121,81 m.

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$.b.c.sin$\widehat {\rm{A}}$= $\frac{1}{2}$.6.10.sin99° ≈ 29,63 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 29,63 đvdt.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

a$^{2}$ = 6$^{2}$ + 10$^{2}$ – 2.6.10.cos99°

a = $\sqrt {{6^2} + {\rm{ }}{{10}^2}--{\rm{ }}2.6.10.{\rm{cos}}99^\circ }$

a ≈ 12,44.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = 2{\rm{R}}$

⇒ R = $\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2sinA}}}}$ = $\frac{{12{,}44}}{{2.\sin 99^\circ }}$ ≈ 6,30.

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = $\frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{12{,}44 + 6 + 10}}{2} = 14{,}22$.

Lại có: r = $\frac{{\rm{S}}}{{\rm{p}}}$ = $\frac{{29{,}63}}{{14{,}22}}$ ≈ 2,08.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,30 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2,08.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: $\widehat {{\rm{AOB}}}$ = 180° – 15° – 45° = 120°.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến A đi được quãng đường là: 800.3 = 2 400 km.

Hay OA = 2 400.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến B đi được quãng đường là: 600.3 = 1 800 km.

Hay OB = 1 800.

Sau 3 giờ, hai máy bay A, B và điểm xuất phát O tạo thành tam giác OAB với OA = 2400 và OB = 1800. Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta được:

AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OA.OB.cos$\widehat {{\rm{AOB}}}$

AB$^{2}$ = 2400$^{2}$ + 1800$^{2}$ – 2.1800.2400.cos120°

AB = $\sqrt {{{2400}^2} + {\rm{ }}{{1800}^2}--{\rm{ }}2.1800.2400.{\rm{cos}}120^\circ }$

AB ≈ 3650 km

Vậy sau 3 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 3650 km.

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bcosA

cosA = $\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}$

Tương tự: cosB = $\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}$

Theo định lí côsin ta có: $\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}} = 2{\rm{R}}$

sinA = $\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}$ và sinB = $\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{2R}}}}$

Ta có:

$\frac{{{\rm{tanA}}}}{{{\rm{tanB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{sinA}}}}{{{\rm{cosA}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{cosB}}}}{{{\rm{sinB}}}}$ = $\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}$.$\frac{{2{\rm{bc}}}}{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}$.$\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}$.$\frac{{{\rm{2R}}}}{{\rm{b}}}$ = $\frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}$ (ĐPCM).

Lời giải

Ta biểu diễn lại hình như trên. AB là độ dài sợi dây cáp. AC là độ dài tháp. Như vậy AC = 42 m, BC = 33 m, $\widehat {{\rm{CMH}}}$ = 34°, $\widehat {{\rm{MHC}}}$= 90°.

Xét tam giác MCH: $\widehat {{\rm{MCH}}} + \widehat {{\rm{MHC}}} + \widehat {{\rm{CMH}}}$ = 180°.

⇒ $\widehat {{\rm{MCH}}}$ = 180° – 90° – 34° = 56°.

$\widehat {{\rm{ACB}}}$ và $\widehat {{\rm{MCH}}}$là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {{\rm{ACB}}}$ = 56° ( tính chất hai góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AC.BC.cos$\widehat {{\rm{ACB}}}$

AB$^{2}$ = 42$^{2}$ + 33$^{2}$ – 2.42.33.cos56°

AB = $\sqrt {{{42}^2} + {\rm{ }}{{33}^2}--{\rm{ }}2.42.33.{\rm{cos}}56^\circ }$

AB ≈ 36,1 m

Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng 36,1 m.