Giải SBT Toán 10 Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Lời giải

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {BC}$

Khi đó ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm)

Do đó:

+) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;$

+) $\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC;$

+) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay $\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$

Vậy $\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|.$

Lời giải

Vì

ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và $\widehat {ADO} = \widehat {CBO}$

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

$\widehat {DON} = \widehat {BOM}$ (hai góc đối đỉnh),

$\widehat {NDO} = \widehat {MBO}$(do $\widehat {ADO} = \widehat {CBO}$)

∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

ON = OM (hai cạnh tương ứng)

O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

Lời giải

Vì

G là trọng tâm ∆BCD nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {GC} + \left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0$ (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {ND}$ $\Rightarrow - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {ND}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0$

Thay vào (*) ta được $\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$

Do đó $\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0$

G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải

a) Theo quy tắc ba điểm ta có:

$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA}$$

$$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA}$$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA}$

$= \overrightarrow {{\rm{AA}}}$

$= \overrightarrow 0$

Vậy $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0$

**

Lời giải

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$

$= \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right)$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD}$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} } \right)$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB}$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow 0$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$

Vậy $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE}$

$= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CE}$

$= \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA}$ (vì E là trung điểm AC nên $\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {EA}$)

$= \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} } \right) + \overrightarrow {DB}$

$= \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB}$

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

EF // BC và $EF = \frac{1}{2}BC$

Mà D là trung điểm của BC nên $BD = \frac{1}{2}BC$

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, ${\rm{EF}} = BD\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)$

EFBD là hình bình hành

$\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DB}$

Khi đó: $\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE}$$= \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB}$

$= \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB}$

$= 2\overrightarrow {DB}$

$= \overrightarrow {CB}$ (do D là trung điểm của BC)

Vậy $\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} .$

Lời giải

Điểm M thoả mãn $\overrightarrow {{\rm{AF}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .$

Mà $\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CB}$

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)

Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.

Lời giải

Vì

MABC là hình bình hành (câu b)

Nên $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$ (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)

Vậy $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .$

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AE}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ và hợp lực $\overrightarrow F$ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi

đó do $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có $\widehat {BAC} = 90^\circ$ nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}}$ (định lí Pythagoras)

Hay $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} = 50$ (N).

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow {{F_3}}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\overrightarrow {AE}$ và $\overrightarrow {AD}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ bằng $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 50\left( N \right)$

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ bằng 50 N.

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AE}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ và hợp lực $\overrightarrow F$ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ bằng 60° nên $\widehat {BAC} = 60^\circ$

Suy ra $\widehat {ECA} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE$^{2}$ = AC$^{2}$ + EC$^{2}$ – 2.AC.EC.cos$\widehat {ECA}$

Hay $A{E^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3 .c{\rm{os120}}^\circ$

AE$^{2}$ = 36

AE = 6

Do đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)$

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow {{F_3}}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\overrightarrow {AE}$ và $\overrightarrow {AD}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ bằng $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ bằng 6 N.