TopStudy

Đáp án và lời giải

Giải SBT Toán 10 Bài 4. Nhị thức Newton có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Đáp án đúng là D

Công thức khai triển nhị thức Newton (a + b)4^{4} là:

(a + b)4^{4} = a4^{4} + 4a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} + 4ab3^{3} + b4^{4} = b4^{4} + 4b3^{3}a + 6b2^{2}a2^{2} + 4ba3^{3} + a4^{4}.

Do đó phương án A, C đúng, phương án D sai.

Công thức khai triển nhị thức Newton (a – b)4^{4} là:

(a + b)4^{4} = a4^{4} – 4a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} – 4ab3^{3} + b4^{4}.

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Công thức khai triển nhị thức Newton (a + b)5^{5} là:

(a + b)5^{5} = a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} + b5^{5}.

Do đó phương án A đúng, phương án C sai.

Công thức khai triển nhị thức Newton (a – b)5^{5} là:

(a – b)5^{5} = a5^{5} – 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} – 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} – b5^{5}.

Do đó các phương án B, D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Đáp án đúng là B

Ta có: (2x – 1)4^{4} = (2x)4^{4} – 4.(2x)3^{3}.1 + 6.(2x)2^{2}.12^{2} – 4.(2x).13^{3} + 14^{4}

= 16x4^{4} – 32x3^{3} + 24x2^{2} – 8x + 1

Số hạng chứa x3^{3} trong khai triển biểu thức (2x – 1)4^{4} là –32x3^{3}.

Vậy hệ số của x3^{3} trong khai triển biểu thức (2x – 1)4^{4} là –32.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có: (x – 2)5^{5} = x5^{5} – 5x4^{4}.2 + 10x3^{3}.22^{2} – 10x2^{2}.23^{3} + 5x.24^{4} – 25^{5}

= x5^{5} – 10x4^{4} + 40x3^{3} – 80x2^{2} + 80x – 32

Số hạng chứa x trong khai triển biểu thức (x – 2)5^{5} là 80x.

Vậy hệ số của x trong khai triển biểu thức (x – 2)5^{5} là 80.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

(4x + 1)4^{4} = (4x)4^{4} + 4.(4x)3^{3}.1 + 6.(4x)2^{2}.12^{2} + 4.4x.13^{3} + 14^{4}

= 256x4^{4} + 256x3^{3} + 96x2^{2} + 16x + 1.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

(5x – 3)4^{4} = (5x)4^{4} + 4.(5x)3^{3}.(–3) + 6.(5x)2^{2}.(–3)2^{2} + 4.5x.(–3)3^{3} + (–3)4^{4}

= 625x4^{4} – 1500x3^{3} + 1350x2^{2} – 540x + 81.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

(13x+5)5=(13x)5+5.(13x)4.5+10.(13x)3.52+10.(13x)2.53+5.(13x).54+55{\left( {\frac{1}{3}x + 5} \right)^5} = {\left( {\frac{1}{3}x} \right)^5} + 5.{\left( {\frac{1}{3}x} \right)^4}.5 + 10.{\left( {\frac{1}{3}x} \right)^3}{.5^2} + 10.{\left( {\frac{1}{3}x} \right)^2}{.5^3} + 5.\left( {\frac{1}{3}x} \right){.5^4} + {5^5}

=1243x5+2581x4+25027x3+12509x2+31253x+3125= \frac{1}{{243}}{x^5} + \frac{{25}}{{81}}{x^4} + \frac{{250}}{{27}}{x^3} + \frac{{1250}}{9}{x^2} + \frac{{3125}}{3}x + 3125.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

(3x−13)5=(3x)5+5.(3x)4.(−13)+10.(3x)3.(−13)2{\left( {3x - \frac{1}{3}} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 10.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2}

+10.(3x)2.(−13)3+5.(3x).(−13)4+(−13)5+ 10.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + 5.\left( {3x} \right).{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^5}

=243x5−135x4+30x3−103x2+527x−1243= 243{x^5} - 135{x^4} + 30{x^3} - \frac{{10}}{3}{x^2} + \frac{5}{{27}}x - \frac{1}{{243}}.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Ta có: (4x – 3)4^{4} = (4x)4^{4} – 4.(4x)3^{3}.3 + 6.(4x)2^{2}.32^{2} – 4.4x.33^{3} + 34^{4}

= 256x4^{4} – 768x3^{3} + 864x2^{2} – 432x + 81

Số hạng chứa x2^{2} trong khai triển biểu thức (4x – 3)4^{4} là 864x2^{2}.

Vậy hệ số của x2^{2} trong khai triển biểu thức (4x – 3)4^{4} là 864.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Ta có: (23x+14)5=(23x)5+5.(23x)4.(14)+10.(23x)3.(14)2+10.(23x)2.(14)3{\left( {\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}} \right)^5} = {\left( {\frac{2}{3}x} \right)^5} + 5.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^4}.\left( {\frac{1}{4}} \right) + 10.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + 10.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}

+5.(23x)1.(14)4+(14)5+ 5.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^1}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^5}

=32243x5+2081x4+527x3+572x2+5384x+11024= \frac{{32}}{{243}}{x^5} + \frac{{20}}{{81}}{x^4} + \frac{5}{{27}}{x^3} + \frac{5}{{72}}{x^2} + \frac{5}{{384}}x + \frac{1}{{1024}}

Số hạng chứa x3^{3} trong khai triển biểu thức (23x+14)5{\left( {\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}} \right)^5} là 527x3\frac{5}{{27}}{x^3}.

Vậy hệ số của x3^{3} trong khai triển biểu thức (23x+14)5{\left( {\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}} \right)^5} là 527\frac{5}{{27}}.

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Ta có:

(2x−13)4=(2x)4+4.(2x)3.(−13)+6.(2x)2.(−13)2+4.(2x)1.(−13)3+(−13)4{\left( {2x - \frac{1}{3}} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + 4.{\left( {2x} \right)^1}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4}

=16x4−323x3+83x2−827x+181= 16{x^4} - \frac{{32}}{3}{x^3} + \frac{8}{3}{x^2} - \frac{8}{{27}}x + \frac{1}{{81}}

Ta thấy a2_{2} là hệ số của x2^{2}.

Số hạng chứa x2^{2} trong khai triển biểu thức (2x−13)4{\left( {2x - \frac{1}{3}} \right)^4} là 83x2\frac{8}{3}{x^2}.

Suy ra hệ số của x2^{2} trong khai triển biểu thức (2x−13)4{\left( {2x - \frac{1}{3}} \right)^4} là 83\frac{8}{3}.

Tức là, a2=83{a_2} = \frac{8}{3}.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Ta có (2x−13)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4{\left( {2x - \frac{1}{3}} \right)^4} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4}

Chọn x = 1, ta được:

(2.1−13)4{\left( {2.1 - \frac{1}{3}} \right)^4}= a0_{0} + a1_{1} + a2_{2} + a3_{3} + a4_{4} = a0_{0} + a1_{1}.1 + a2_{2}.12^{2} + a3_{3}.13^{3} + a4_{4}.14^{4}

⇔ 62581\frac{{625}}{{81}}= a0_{0} + a1_{1} + a2_{2} + a3_{3} + a4_{4}.

Vậy a0_{0} + a1_{1} + a2_{2} + a3_{3} + a4_{4} = 62581\frac{{625}}{{81}}.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Ta có: (35x+12)5=(35x)5+5.(35x)4.(12)+10.(35x)3.(12)2+10.(35x)2.(12)3{\left( {\frac{3}{5}x + \frac{1}{2}} \right)^5} = {\left( {\frac{3}{5}x} \right)^5} + 5.{\left( {\frac{3}{5}x} \right)^4}.\left( {\frac{1}{2}} \right) + 10.{\left( {\frac{3}{5}x} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 10.{\left( {\frac{3}{5}x} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}

+5.(35x).(12)4+(12)5+ 5.\left( {\frac{3}{5}x} \right).{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}

=2433125x5+81250x4+2750x3+920x2+316x+132= \frac{{243}}{{3125}}{x^5} + \frac{{81}}{{250}}{x^4} + \frac{{27}}{{50}}{x^3} + \frac{9}{{20}}{x^2} + \frac{3}{{16}}x + \frac{1}{{32}}

Ta thấy a3_{3} là hệ số của x3^{3}.

Số hạng chứa x3^{3} trong khai triển biểu thức (35x+12)5{\left( {\frac{3}{5}x + \frac{1}{2}} \right)^5} là 2750x3\frac{{27}}{{50}}{x^3}.

Suy ra hệ số của x3^{3} trong khai triển biểu thức (35x+12)5{\left( {\frac{3}{5}x + \frac{1}{2}} \right)^5} là 2750\frac{{27}}{{50}}.

Tức là, a3=2750{a_3} = \frac{{27}}{{50}}.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Ta có a0_{0} + a1_{1} + a2_{2} + a3_{3} + a4_{4} + a5_{5} = a0_{0} + a1_{1}.1 + a2_{2}.12^{2} + a3_{3}.13^{3} + a4_{4}.14^{4} + a5_{5}.15^{5}

=(35.1+12)5=161051100000= {\left( {\frac{3}{5}.1 + \frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{{161051}}{{100000}}.

Vậy a0_{0} + a1_{1} + a2_{2} + a3_{3} + a4_{4} + a5_{5} = 161051100000\frac{{161051}}{{100000}}.

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Áp dụng kết quả 1k+1Cnk=1n+1Cn+1k+1\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} với 0 ≤ k ≤ n (chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:

T=1.C40+12C41+13C42+14C43+15C44T = 1.C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{3}C_4^2 + \frac{1}{4}C_4^3 + \frac{1}{5}C_4^4

=15C51+15C52+15C53+15C54+15C55= \frac{1}{5}C_5^1 + \frac{1}{5}C_5^2 + \frac{1}{5}C_5^3 + \frac{1}{5}C_5^4 + \frac{1}{5}C_5^5

=15(C51+C52+C53+C54+C55)= \frac{1}{5}\left( {C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5} \right)

=15[(C50+C51+C52+C53+C54+C55)−C50]= \frac{1}{5}\left[ {\left( {C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5} \right) - C_5^0} \right]

=15[(1+1)5−1]=315= \frac{1}{5}\left[ {{{\left( {1 + 1} \right)}^5} - 1} \right] = \frac{{31}}{5}.

Vậy T=315T = \frac{{31}}{5}.

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Lời giải

Áp dụng kết quả kCnk=nCn−1k−1kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1} với 1 ≤ k ≤ n (chứng minh ở Bài 27b trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:

S=1.C61+2C62+3C63+4C64+5C65+6C66S = 1.C_6^1 + 2C_6^2 + 3C_6^3 + 4C_6^4 + 5C_6^5 + 6C_6^6

=6C6−11−1+6C6−12−1+6C6−13−1+6C6−14−1+6C6−15−1+6C6−16−1= 6C_{6 - 1}^{1 - 1} + 6C_{6 - 1}^{2 - 1} + 6C_{6 - 1}^{3 - 1} + 6C_{6 - 1}^{4 - 1} + 6C_{6 - 1}^{5 - 1} + 6C_{6 - 1}^{6 - 1}

=6.(C50+C51+C52+C53+C54+C55)= 6.\left( {C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5} \right)

=6.(C50.15+C51.14.1+C52.13.12+C53.12.13+C54.1.14+C55.15)= 6.\left( {C_5^0{{.1}^5} + C_5^1{{.1}^4}.1 + C_5^2{{.1}^3}{{.1}^2} + C_5^3{{.1}^2}{{.1}^3} + C_5^4{{.1.1}^4} + C_5^5{{.1}^5}} \right)

= 6.(1 + 1)5^{5} = 6.25^{5} = 192.

Vậy S = 192.