Giải SBT Toán 10 Bài 4. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu có đáp án

a) Ta có: n = 8.

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{90+56+50+45+46+48+52+43}{8}=53{,}75.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{8}({90}^{2}+{56}^{2}+{50}^{2}+{45}^{2}+{46}^{2}+{48}^{2}+{52}^{2}+{43}^{2})-53,{75}^{2}$

= 202,6875.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

43; 45; 46; 48; 50; 52; 56; 90

Khi đó, khoảng biến thiên R = 90 – 43 = 47.

Vì n = 8 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q$_{2}$ = (48 + 50) : 2 = 49.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 43; 45; 46; 48.

Vậy Q$_{1}$ = (45 + 46) : 2 = 45,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 50; 52; 56; 90.

Vậy Q$_{3}$ = (52 + 56) : 2 = 54.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 54 – 45,5 = 8,5.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 54 + 1,5.8,5 = 66,75

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 45,5 − 1,5.8,5 = 32,75

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 90.

b) Ta có: n = 9.

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{19+11+1+16+19+12+14+10+11}{9}=\frac{113}{9}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{9}({19}^{2}+{11}^{2}+{1}^{2}+{16}^{2}+{19}^{2}+{12}^{2}+{14}^{2}+{10}^{2}+{11}^{2})-{(\frac{113}{9})}^{2}$

= 26,91.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

1; 10; 11; 11; 12; 14; 16; 19; 19

Khi đó, khoảng biến thiên R = 19 – 1 = 18.

Vì n = 9 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ = 12.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, không kể Q$_{2}$vì n là số lẻ: 1; 10; 11; 11.

Vậy Q$_{1}$ = (10 + 11) : 2 = 10,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, không kể Q$_{2}$vì n là số lẻ: 14; 16; 19; 19.

Vậy Q$_{3}$ = (16 + 19) : 2 = 17,5.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 17,5 – 10,5 = 7.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 17,5 + 1,5.7 = 28

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 10,5 − 1,5.7 = 0

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra không có giá trị ngoại lệ.

c) Ta có: n = 7.

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{6{,}7+6{,}2+9{,}7+6{,}3+6{,}8+6{,}1+6{,}2}{7}=\frac{48}{7}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{7}(6,{7}^{2}+6,{2}^{2}+9,{7}^{2}+6,{3}^{2}+6,{8}^{2}+6,{1}^{2}+6,{2}^{2})-{(\frac{48}{7})}^{2}$

= 1,41.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

6,1; 6,2; 6,2; 6,3; 6,7; 6,8; 9,7

Khi đó, khoảng biến thiên R = 9,7 – 6,1 = 3,6.

Vì n = 7 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ = 6,3.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, không kể Q$_{2}$vì n là số lẻ: 6,1; 6,2; 6,2.

Vậy Q$_{1}$ = 6,2.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, không kể Q$_{2}$vì n là số lẻ: 6,7; 6,8; 9,7.

Vậy Q$_{3}$ = 6,8.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 6,8 – 6,2 = 0,6.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 6,8 + 1,5.0,6 = 7,7

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 6,2 − 1,5.0,6 = 5,3

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 9,7.

d) Ta có: n = 6.

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{0{,}79+0{,}68+0{,}35+0{,}38+0{,}05+0{,}35}{6}=\frac{13}{30}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{6}(0,{79}^{2}+0,{68}^{2}+0,{35}^{2}+0,{38}^{2}+0,{05}^{2}+0,{35}^{2})-{(\frac{13}{30})}^{2}$

= 0,059.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

0,05; 0,35; 0,35; 0,38; 0,68; 0,79

Khi đó, khoảng biến thiên R = 0,79 – 0,05 = 0,74.

Vì n = 6 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q$_{2}$ = (0,35 + 0,38) : 2 = 0,365.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 0,05; 0,35; 0,35.

Vậy Q$_{1}$ = 0,35.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 0,38; 0,68; 0,79.

Vậy Q$_{3}$ = 0,68.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 0,68 – 0,35 = 0,33.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 0,68 + 1,5.0,33 = 1,175

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 0,35 − 1,5.0,33 = −0,145.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra không có giá trị ngoại lệ.

a) Ta có: n = 1 + 3 + 5 + 4 + 2 + 1 = 16.

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{0.1+4.3+6.5+9.4+10.2+17.1}{16}=\frac{115}{16}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{16}({1.0}^{2}+{3.4}^{2}+{5.6}^{2}+{4.9}^{2}+{2.10}^{2}+{1.17}^{2})-{(\frac{115}{16})}^{2}$

≈ 13,4.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

0; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6; 6; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 17

Khi đó, khoảng biến thiên R = 17 – 0 = 17.

Vì n = 16 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q$_{2}$ = (6 + 6) : 2 = 6.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 0; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6.

Vậy Q$_{1}$ = (4 + 6) : 2 = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 6; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 17.

Vậy Q$_{3}$ = (9 + 9) : 2 = 9.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 9 – 5 = 4.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 9 + 1,5.4 = 15

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 5 − 1,5.4 = −1.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 17.

b) Ta có: n = 1 + 6 + 8 + 9 + 4 + 2 = 30.

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{1.2+6.23+8.24+9.25+4.26+2.27}{30}=\frac{143}{6}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{30}({1.2}^{2}+{6.23}^{2}+{8.24}^{2}+{9.25}^{2}+{4.26}^{2}+{2.27}^{2})-{(\frac{143}{6})}^{2}$

≈ 17,74.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

2; 23; 23; 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 26; 27; 27

Khi đó, khoảng biến thiên R = 27 – 2 = 25.

Vì n = 30 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q$_{2}$ = (24 + 25) : 2 = 24,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 2; 23; 23; 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24.

Vậy Q$_{1}$ = 24.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 26; 27; 27.

Vậy Q$_{3}$ = 25.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 25 – 24 = 1.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 25 + 1,5 = 26,5

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 24 − 1,5.1 = 22,5.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 2 và 27.

a) Ta có: n = 2 + 3 + 4 + 6 + 6 + 3 + 2 + 3 + 1 + 1 = 31.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 0; 0; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 12; 15.

Khi đó, khoảng biến thiên R = 15 – 0 = 15.

Vì n = 31 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ = 4.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, không kể Q$_{2}$vì n là số lẻ: 0; 0; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3.

Vậy Q$_{1}$ = 2.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, không kể Q$_{2}$vì n là số lẻ: 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 12; 15.

Vậy Q$_{3}$ = 5.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 5 – 2 = 3.

b) Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 5 + 1,5.3 = 9,5

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 2 − 1,5.3 = −2,5

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 12 và 15.

c) Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{2.0+3.1+4.2+6.3+6.4+3.5+2.6+3.7+1.12+1.15}{31}=\frac{128}{31}.$

Phương sai:

$\begin{matrix}{S}^{2}=\frac{1}{31}({2.0}^{2}+{3.1}^{2}+{4.2}^{2}+{6.3}^{2}+{6.4}^{2}+{3.5}^{2}+{2.6}^{2}+{3.7}^{2}+{1.12}^{2}+{1.15}^{2}) \\ \ -{(\frac{128}{31})}^{2}\end{matrix}$

≈ 9,79.

Khi đó độ lệch chuẩn S = $\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{9{,}79}\approx$ 3,13.

a) Ta có:

+) Nhiệt độ đạt 23°C tại các ngày: 1 và 8

+) Nhiệt độ đạt 24°C tại các ngày: 2, 3, 7 và 9

+) Nhiệt độ đạt 25°C tại các ngày: 6 và 10

+) Nhiệt độ đạt 29°C tại ngày: 5

+) Nhiệt độ đạt 32°C tại ngày: 4

Từ đó ta có mẫu số liệu thống kê nhiệt độ từ biểu đồ trên là

23; 24; 24; 32; 29; 25; 24; 23; 24; 25

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

23; 23; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 29; 32

Khi đó, khoảng biến thiên R = 32 – 23 = 9.

Vì n = 10 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q$_{2}$ = (24 + 24) : 2 = 24.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 23; 23; 24; 24; 24.

Vậy Q$_{1}$ = 24.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$, gồm Q$_{2}$vì n là số chẵn: 24; 25; 25; 29; 32.

Vậy Q$_{3}$ = 25.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 25 – 24 = 1.

c) Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{2.23+4.24+2.25+1.29+1.32}{10}=25{,}3.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{10}({2.23}^{2}+{4.24}^{2}+{2.25}^{2}+{1.29}^{2}+{1.32}^{2})-25,{3}^{2}$

= 7,61

Khi đó độ lệch chuẩn S =$\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{7{,}61}\approx$ 2,76.

a) n = 15

+) Khuê:

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{2+4+3+4+6+2+3+2+4+5+3+4+6+7+3}{15}=\frac{58}{15}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{15}({3.2}^{2}+{4.3}^{2}+{4.4}^{2}+{5}^{2}+{2.6}^{2}+{7}^{2})-{(\frac{58}{15})}^{2}=2{,}25.$

+) Trọng:

Số trung bình cộng:

$\overline{x}=\frac{3+4+1+2+2+3+4+1+2+30+2+2+2+3+6}{15}=\frac{67}{15}.$

Phương sai:

${S}^{2}=\frac{1}{15}({2.1}^{2}+{6.2}^{2}+{3.3}^{2}+{2.4}^{2}+{6}^{2}+{30}^{2})-{(\frac{67}{15})}^{2}=48{,}12.$

b)

+) Khuê:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q$_{1}$ = 3, Q$_{3}$ = 5

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 5 – 3 = 2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 5 + 1,5.2 = 8

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 3 − 1,5.2 = 0

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Khuê suy ra không có giá trị ngoại lệ.

+) Trọng:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q$_{1}$ = 2, Q$_{3}$ = 4

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 4 – 2 = 2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 4 + 1,5.2 = 7

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 2 − 1,5.2 = −1

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Trọng suy ra giá trị ngoại lệ là 30.

Sau khi bỏ đi giá trị ngoại lệ thì giá trị trung bình của mẫu của Khuê là:

$\overline{x}=\frac{2+4+3+4+6+2+3+2+4+5+3+4+6+7+3}{15}\approx 3{,}87.$

Và của Trọng là:

$\overline{x}=\frac{3+4+1+2+2+3+4+1+2+2+2+2+3+6}{14}\approx 2{,}64.$

Khi đó trung vị của mẫu của Khuê là 4 (Với n = 15 là số lẻ)

Và số trung vị của Trọng là (2 + 2) : 2 = 2 (Với n = 14 là số chẵn).

Vậy so sánh theo cả số trung bình và số trung vị thì Khuê có nhiều tin nhắn mỗi ngày hơn Trọng.

a) +) Mã cổ phiếu A:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q$_{1}$ = 45,1, Q$_{3}$ = 45,5

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 45,5 – 45,1 = 0,4.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 45,5 + 1,5.0,4 = 46,1

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 45,1 − 1,5.0,4 = 44,5

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của A suy ra giá trị ngoại lệ là 35,5 và rơi vào ngày thứ 4.

+) Mã cổ phiếu B:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta dễ dàng tìm được Q$_{1}$ = 47,8, Q$_{3}$ = 49

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ − Q$_{1}$ = 49 – 47,8 = 1,2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 49 + 1,5.1,2 = 50,8

Hoặc x < Q$_{1}$ − 1,5∆$_{Q}$ = 47,8 − 1,5.1,2 = 46

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của B suy ra giá trị ngoại lệ là 68,4 và rơi vào ngày thứ 4.

b) Sau khi bỏ đi giá trị ngoại lệ thì giá trị trung bình của mẫu của A là:

$\overline{x}=\frac{45+45{,}1+45{,}3+45{,}6+45{,}5+45{,}4+45{,}5+45{,}4+45{,}2}{9}\approx 45{,}33.$

Khi đó phương sai của mẫu số liệu của A là:

$\begin{matrix}{S}^{2}=\frac{1}{9}({45}^{2}+45,{1}^{2}+45,{3}^{2}+45,{6}^{2}+45,{5}^{2}+45,{4}^{2}+45,{5}^{2}+45,{4}^{2}+45,{2}^{2}) \\ \ -45,{33}^{2}\approx 0{,}036.\end{matrix}$

Và giá trị trung bình của mẫu của B là:

$\overline{x}=\frac{47+47{,}4+47{,}8+49+48{,}8+48{,}8+48{,}8+48{,}6+49{,}2}{9}\approx 48{,}36.$

Khi đó phương sai của mẫu số liệu của B là

$\begin{matrix}{S}^{2}=\frac{1}{9}({47}^{2}+47,{4}^{2}+47,{8}^{2}+{49}^{2}+48,{8}^{2}+48,{8}^{2}+48,{8}^{2}+48,{6}^{2}+49,{2}^{2}) \\ \ -48,{36}^{2}\approx 0{,}505.\end{matrix}$

Vậy so sánh hai phương sai mẫu ta thấy 0,036 < 0,505 nên giá của mã cổ phiếu A ổn định hơn giá của mã cổ phiếu B.