Giải SBT Toán 10 Bài 3. Tích của một số với một vectơ có đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó $\overrightarrow{\text{AO}}$ = $\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

G là trọng tâm tam giác ABD ⇒ $\overrightarrow{\text{AG}}$ = $\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{AO}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{AG}}$ = $\frac{2}{3}$.$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{\text{AC}}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AC}}$ hay $\overrightarrow{\text{AC}}=3\overrightarrow{\text{AG}}$.

a) Vì M là trung điểm của BC nên: $\overrightarrow{\text{DB}}+\text{​}\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DM}}$.

Mặt khác do D là trung điểm đoạn AM nên $\overrightarrow{\text{DM}}=-\overrightarrow{\text{DA}}\text{​}$

Vậy nên $\overrightarrow{\text{DB}}$ + $\overrightarrow{\text{DC}}$ = –2$\overrightarrow{\text{DA}}$ hay $2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DA}}-2\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$.

Vì $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$ nên 3$\overrightarrow{\text{KA​}}$= –2$\overrightarrow{\text{KB​}}$

Suy ra $\overrightarrow{\text{KA​}}$= $\frac{-2}{3}\overrightarrow{\text{KB​}}$ = $\frac{-2}{3}$ ($\overrightarrow{\text{KA​}}$+ $\overrightarrow{\text{AB}}$)

Do đó $\frac{5}{2}\overrightarrow{\text{KA​}}$= $\frac{-2}{3}$$\overrightarrow{\text{AB​}}$.

Nên $\overrightarrow{\text{AK}}\text{​}$= $\frac{2}{5}\overrightarrow{\text{AB​}}$.

Vậy K nằm giữa A và B sao cho AK = $\frac{2}{5}$AB.

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = $\frac{1}{2}\overrightarrow{CE}$; $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EA}$ .

Suy ra $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{\text{PQ}}+\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA})=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{\text{PQ}}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: $\overrightarrow{\text{GM}}+\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GR}}=\overrightarrow{0}$

Ta lại có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN};\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{GQ};\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{GS}$

Suy ra $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{GS}$

$=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}$

Mà $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}$ ⇒ $-(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR})=\overrightarrow{0}$⇒ $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{RG}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}$

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.