Giải SBT Toán 10 Bài 3. đường tròn trong mặt phẳng toạ độ có đáp án

a) x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x + 2y – 9 = 0 (1)

Phương trình (1) có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 với a = – 1; b = – 1; c = – 9.

Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (– 1)$^{2}$ + (– 1)$^{2}$ – (– 9) = 11 > 0.

Vậy (1) là phương trình đường tròn tâm I(– 1; – 1) bán kính R = $\sqrt{11}$.

b) x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x – 2y + 1 = 0 (2).

Phương trình (2) có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 với a = 3; b = 1; c = 1.

Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 3$^{2}$ + 1$^{2}$ – 1 = 9 > 0.

Vậy (2) là phương trình đường tròn tâm I(3; 1) bán kính R = 3.

c) x$^{2}$ + y$^{2}$ + 8x + 4y + 2022 = 0 (3).

Phương trình (3) có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 với a = – 4; b = – 2; c = 2022.

Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (– 4)$^{2}$ + (– 2)$^{2}$ – 2022 = – 2002 < 0.

Vậy (3) không là phương trình đường tròn.

d) 3x$^{2}$ + 2y$^{2}$ + 5x + 7y – 1 = 0 (4).

Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì không thể đưa về dạng (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$ hoặc dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0.

a) Đường trong (C) tâm O(0; 0) và có bán kính R = 9 có phương trình là:

x$^{2}$ + y$^{2}$ = 81

b) Đường tròn (C) có đường kính AB với A(1; l) và B(3; 5).

Khi đó đường tròn (C) có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = $\frac{AB}{2}$

Gọi toạ độ tâm I(x; y).

Ta có $\{\begin{matrix}x=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{1+3}{2}=2 \\ y=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{1+5}{2}=3\end{matrix}$ suy ra I(2; 3)

Ta lại có: AB = $|\overrightarrow{AB}|$ mà $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ suy ra $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$

Vậy bán kính R = $\sqrt{5}$.

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là:

(x – 2)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ = 5.

c) Đường tròn (C) có tâm M(2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y + 9 = 0

Vậy đường tròn (C) có bán kính R = d$_{(M, ∆)}$.

Ta có d$_{(M, ∆)}$ = $\frac{|3.2-4.3+9|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}=\frac{3}{5}$ suy ra bán kính R = $\frac{3}{5}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm M(2; 3) và bán kính R = $\frac{3}{5}$ là:

(x – 2)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ = $\frac{9}{25}$ .

d) Đường tròn (C) có tâm I(3; 2) và đi qua điểm B(7; 4).

Suy ra đường tròn (C) có bán kính R = IB.

Ta có IB = $|\overrightarrow{IB}|$ mà $\overrightarrow{IB}=(4;2)$ suy ra $|\overrightarrow{IB}|=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 2) và bán kính R = $2\sqrt{5}$ là:

(x – 3)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 20.

a) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3)

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\overrightarrow{AI}=(x-1;y-4);\overrightarrow{BI}=(x;y-1);\overrightarrow{CI}=(x-4;y-3)$

Suy ra $\{\begin{matrix}A{I}^{2}=B{I}^{2} \\ A{I}^{2}=C{I}^{2}\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{(x-1)}^{2}+{(y-4)}^{2}={x}^{2}+{(y-1)}^{2} \\ {(x-1)}^{2}+{(y-4)}^{2}={(x-4)}^{2}+{(y-3)}^{2}\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}^{2}-2x+1+{y}^{2}-8y+16={x}^{2}+{y}^{2}-2y+1 \\ {x}^{2}-2x+1+{y}^{2}-8y+16={x}^{2}-8x+16+{y}^{2}-6y+9\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-2x-6y=-16 \\ 6x-2y=8\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=2 \\ y=2\end{matrix}$

Suy ra I(2; 2)

Bán kính R = IB ta có IB = $|\overrightarrow{IB}|$ mà $\overrightarrow{IB}=(-2;-1)$ suy ra $|\overrightarrow{IB}|=\sqrt{{(-2)}^{2}+{(-1)}^{2}}=\sqrt{5}$

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 2) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là:

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 5.

b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR với O(0; 0), P(16; 0), R(0; 12).

Ta có: $\overrightarrow{OP}(16;0);\ \overrightarrow{OR}(0;12)$ ⇒ $\overrightarrow{OP}\ .\ \overrightarrow{OR}$ = 16.0 + 0.12 = 0.

⇒ OP ⊥ OR.

Do đó tam giác OPR vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR là trung điểm của PR và bán kính R = OI.

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR.

Suy ra $\{\begin{matrix}x=\frac{{x}_{P}+{x}_{R}}{2}=\frac{16+0}{2}=8 \\ y=\frac{{y}_{P}+{y}_{R}}{2}=\frac{0+12}{2}=6\end{matrix}$ . Do đó tâm I(8; 6)

Bán kính R = OI mà $\overrightarrow{OI}=(8;6)$ suy ra $|\overrightarrow{OI}|=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR có tâm I(8; 6) bán kính R = 10 là: (x – 8)$^{2}$ + (y – 6)$^{2}$ = 100.

a) Thay toạ độ điểm A(0; 5) vào phương trình đường tròn ta được:

0$^{2}$ + 5$^{2}$ – 6.0 – 2.5 – 15 = 0 (thoả mãn phương trình đường tròn).

Vậy điểm A(0; 5) thuộc đường tròn (C).

b) Ta có điểm A thuộc đường tròn (C).

Xét đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x – 2y – 15 = 0 ⇔ (x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 5$^{2}$

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và R = 5.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(0; 5) là:

(3 – 0)(x – 0) + (1 – 5)(y – 5) = 0.

$\Leftrightarrow$ 3x – 4y + 20 = 0

c) Vì phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 8x + 6y + 99 = 0 nên có dạng ∆: 8x + 6y + c = 0.

Lại có ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d$_{(I, ∆)}$ = R.

Ta có ${d}_{(I,Δ)}=\frac{|8.3+6.1+c|}{\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}}=5\Leftrightarrow$ |30 + c| = 50.

Suy ra 30 + c = 50 hoặc 30 + c = – 50.

Với 30 + c = 50 $\Leftrightarrow$ c = 20

Phương trình ∆: 8x + 6y + 20 = 0 ⇔ 4x + 3y + 10 = 0.

Với 30 + c = – 50 $\Leftrightarrow$ c = – 80

Phương trình ∆: 8x + 6y – 80 = 0 ⇔ 4x + 3y – 40 = 0.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là: 4x + 3y + 10 = 0 hoặc 4x + 3y – 40 = 0

Phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy và đi qua điểm A(2; 1)

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính là R.

(C) tiếp xúc với trục Ox suy ra R = d$_{(I, Ox)}$ = $|b|$ .

(C) tiếp xúc với trục Oy suy ra R = d$_{(I, Oy)}$ = $|a|$.

Suy ra $|a|$ = $|b|$

Vậy a = b hoặc a = - b

Trường hợp 1. a = b thì I(a; a) bán kính R = |a|

Ta có A $\in$ (C) $\Rightarrow$ IA = R ⇔ IA$^{2}$ = R$^{2}$

⇔ (2 – a)$^{2}$ + (1 – a)$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ 4 – 4a + a$^{2}$ + 1 – 2a + a$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – 6a + 5 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = 5

Với a = 1 thì đường tròn (C) có tâm I(1; 1) bán kính R = 1 có phương trình là:

(x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 1

Với a = 5 thì đường tròn (C) có tâm I(5; 5) bán kính R = 5 có phương trình là:

(x – 5)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 25

Trường hợp 2. a = – b thì I(a; – a) bán kính R = $|a|$

Ta có A $\in$ (C) $\Rightarrow$ IA = R $\Leftrightarrow$ IA$^{2}$ = R$^{2}$

⇔ (2 – a)$^{2}$ + (1 + a)$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ 4 – 4a + a$^{2}$ + 1 + 2a + a$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – 2a + 5 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn bài toán là (x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 1 hoặc (x – 5)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 25.

a) Thay toạ độ điểm A(0; 5) vào phương trình đường tròn ta được:

0$^{2}$ + 5$^{2}$ – 6.0 – 2.5 – 15 = 0 (thoả mãn phương trình đường tròn).

Vậy điểm A(0; 5) thuộc đường tròn (C).

b) Ta có điểm A thuộc đường tròn (C).

Xét đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x – 2y – 15 = 0 ⇔ (x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 5$^{2}$

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và R = 5.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(0; 5) là:

(3 – 0)(x – 0) + (1 – 5)(y – 5) = 0

$\Leftrightarrow$ 3x – 4y + 20 = 0

c) Vì phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 8x + 6y + 99 = 0 nên có dạng ∆: 8x + 6y + c = 0.

Lại có ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d$_{(I, ∆)}$ = R.

Ta có ${d}_{(I,Δ)}=\frac{|8.3+6.1+c|}{\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}}=5\Leftrightarrow$ |30 + c| = 50.

Suy ra 30 + c = 50 hoặc 30 + c = – 50.

Với 30 + c = 50 $\Leftrightarrow$ c = 20

Phương trình ∆: 8x + 6y + 20 = 0 ⇔ 4x + 3y + 10 = 0.

Với 30 + c = – 50 $\Leftrightarrow$ c = – 80

Phương trình ∆: 8x + 6y – 80 = 0 ⇔ 4x + 3y – 40 = 0.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là: 4x + 3y + 10 = 0 hoặc 4x + 3y – 40 = 0

a) Giả sử cái cổng hình bán nguyệt có dạng như hình vẽ:

Cái cổng là nửa hình tròn có bán kính R = 3,4 m

Phương trình mô phỏng cái cổng là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 3,4 m có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ = 11,56.

b) Chiếc xe tải rộng 2,4 m; cao 2,5 m ta có toạ độ điểm xa nhất của xe tải so với tâm của cổng là điểm M(2,4; 2,5).

Ta có độ dài đoạn OM = $|\overrightarrow{OM}|$ mà $|\overrightarrow{OM}|$(2,4; 2,5)

Vậy $|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{2,{4}^{2}+2,{5}^{2}}\approx 3.5$ suy ra độ dài đoạn thẳng OM = 3,5 m > R

Vì điểm xa nhất của xe tải lớn hơn bán kính đường tròn khi đi đúng làn đường xe tải không qua được cổng.