Giải SBT Toán 10 Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có đáp án

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn có dạng: (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$

Với (a; b) là tọa độ tâm I và R > 0 là bán kính của đường tròn

Xét (x – 2)$^{2}$ + (y – 8)$^{2}$ = 49 có:

a = 2, b = 8, R$^{2}$ = 49 ⇒ R = 7

Vậy đường tròn (C) có tâm I(2; 8) và bán kính R = 7.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn có dạng: (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$

Với (a; b) là tọa độ tâm I và R > 0 là bán kính của đường tròn

Xét(x + 3)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = 23 có:

a = –3, b = 4, R$^{2}$ = 23 ⇒ R = $\sqrt {23}$

Vậy đường tròn (C) có tâm I(–3; 4) và bán kính R = $\sqrt {23}$.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do hệ số của x$^{2}$ và y$^{2}$ không bằng nhau

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do trong phương trình của đường tròn không có thành phần tích xy.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có các hệ số a = 4, b = 3, c = 26, ta có:

a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ – 26 = –1 < 0

do đó nó không là phương trình của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có các hệ số a = –3, b = 2, c = 13, ta có:

a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (–3)$^{2}$ + 2$^{2}$ – 13 = 0

do đó nó không là phương trình của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có các hệ số a = 2, b = –1, c = 1, ta có:

a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 2$^{2}$ + (–1)$^{2}$ – 1 = 4 > 0

nên đây là phương trình của đường tròn có tâm I(2; –1) và có bán kính$R = \sqrt 4 = 2$.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn có tâm I(3; 1) và có bán kính R = 2 là:

(x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 2$^{2}$

⇔ (x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 4.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7) có bán kính

R = IM = $\sqrt {{{( - 1 - 3)}^2} + {{(7 - 1)}^2}} = 2\sqrt {13}$

Phương trình đường tròn có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7) là:

(x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = ($2\sqrt {13}$)$^{2}$

⇔ (x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 52.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0 có bán kính R = d(I; Δ) = $\frac{{\left| {3.2 - 2.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \sqrt {13}$

Phương trình đường tròn có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0 là:

(x – 2)$^{2}$ + (y + 4)$^{2}$ = ($\sqrt {13}$)$^{2}$

⇔ (x – 2)$^{2}$ + (y + 4)$^{2}$ = 13.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có đường kính AB với A(4; 1), B(–2; –5) có:

Tâm I là trung điểm AB nên:

x$_{I}$ = (x$_{A}$ + x$_{B}$) : 2 = (4 + (– 2)) : 2 = 1

y$_{I}$ = (y$_{A}$ + y$_{B}$) : 2 = (1 + (– 5)) : 2 = –2

Do đó, I(1; –2).

Bán kính R = $\frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{( - 2 - 4)}^2} + {{( - 5 - 1)}^2}} }}{2} = 3\sqrt 2$

Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(4; 1), B(–2; –5) là:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = ($3\sqrt 2$)$^{2}$

⇔ (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 18.

Hướng dẫn giải

Dựa vào Δ: x + y – 1 = 0 ta có: y = 1 – x

Gọi I là tâm của đường tròn (C). Ta có I ∈ Δ ⇔ I(t; 1 – t)

Vì A, B thuộc (C) nên ta có

AI$^{2}$ = BI$^{2}$

⇔ (t – 6)$^{2}$ + (1 – t – 2)$^{2}$ = (t + 1)$^{2}$ + (1 – t – 3)$^{2}$

⇔ (t – 6)$^{2}$ + (–1 – t )$^{2}$ = (t + 1)$^{2}$ + (–2 – t )$^{2}$

⇔ (t – 6)$^{2}$ + (t + 1)$^{2}$ = (t + 1)$^{2}$ + (t + 2)$^{2}$

⇔ (t – 6)$^{2}$ = (t + 2)$^{2}$

⇔ t$^{2}$ – 12t + 36 = t$^{2}$ + 4t + 4

⇔ 16t = 32

⇔ t = 2

Do đó, I(2; –1)

Bán kính của (C) là:

$R = IA = \sqrt {{{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = 5$

Phương trình của đường tròn (C) là:

(x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 5$^{2}$

⇔ (x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (C) có phương trình: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 6x – 4y – 12 = 0. Ta có:

Tâm I(a; b) với a = 6 : (–2) = –3, b = –4 : (–2) = 2, do đó, đường tròn (C) có tâm I(–3; 2).

Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; –2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)$. Phương trình của Δ là

3(x – 0) – 4(y + 2) = 0

⇔ 3x – 4y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đề bài ta có do đường thẳng Δ vuông góc với d nên: $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)$.

Phương trình của Δ là:

4(x – 4) – 3(y – 2) = 0

⇔ 4x – 3y – 10 = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi I là tâm của đường tròn (C).

Vì d tiếp xúc với (C) tại điểm A nên ta có IA ⊥ d, do đó I thuộc Δ. Mặt khác, I thuộc đường thẳng d'. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4x - 3y - 10 = 0}\\{2x + y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4x - 3y = 10}\\{2x + y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.$

Do đó, I(1; –2)

Bán kính của (C) là: $R = IA = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5$.

Vậy phương trình của (C) là

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 5$^{2}$

⟺ (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C): (x – 1)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 2 có

tâm I(1; –1)

bán kính R$^{2}$ = 2 ⇒ $R = \sqrt 2$.

Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là

$d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$

Ta có d(I, Δ) = R, do đó Δ là một tiếp tuyến của (C).

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng x + y + m = 0, trong đó m ≠ 2.

Để d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi

$d\left( {I,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 1 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$ ⇔ |m| = 2 ⇔ m = ± 2

Mà m ≠ 2 nên m = –2

Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ O(0; 0) đến đường thẳng Δ là

$d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{0}}{\rm{.s}}in\alpha ^\circ + {\rm{ 0}}cos\alpha ^\circ --{\rm{ }}1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sin \alpha ^\circ } \right)}^2} + {{\left( {{\rm{cos}}\alpha ^\circ } \right)}^2}} }} = 1$

Do (sinα$^{o}$)$^{2}$ + (cosα$^{o}$)$^{2}$ = 1 với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

Hướng dẫn giải

Giả sử (C) là đường tròn có tâm O và bán kính R = 1.

Với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180) có thể thay đổi thì có:

d(O, Δ) = 1 = R không đổi

nên (C) luôn tiếp xúc với Δ.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là x$^{2}$ + y$^{2}$ = 1.

Hướng dẫn giải

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm M ta có

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_M} = 3 + 5\sin t^\circ }\\{{y_M} = 4 + 5\cos t^\circ }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_M} - 3 = 5\sin t^\circ }\\{{y_M} - 4 = 5\cos t^\circ }\end{array}} \right.$

⇔ (x$_{M}$ – 3)$^{2}$ + (y$_{M}$ – 4)$^{2}$ = (5sin t°)$^{2}$ + (5cos t°)$^{2}$

⇔ (x$_{M}$ – 3)$^{2}$ + (y$_{M}$ – 4)$^{2}$ = 25(sin t°)$^{2}$ + 25(cos t°)$^{2}$

⇔ (x$_{M}$ – 3)$^{2}$ + (y$_{M}$ – 4)$^{2}$ = 25[(sin t°)$^{2}$ + (cos t°)$^{2}$]

⇔ (x$_{M}$ – 3)$^{2}$ + (y$_{M}$ – 4)$^{2}$ = 25.1

⇔ (x$_{M}$ – 3)$^{2}$ + (y$_{M}$ – 4)$^{2}$ = 25

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn (C) có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt {25}$ = 5. Mặt khác gốc toạ độ O(0; 0) cũng thuộc đường tròn (C).

Do đó ta có: OM ≤ 2R = 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM là đường kính của đường tròn (C), nghĩa là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_M} = 2{x_I} - {x_O} = 6}\\{{y_M} = 2{y_I} - {y_O} = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3 + 5\sin t^\circ = 6}\\{4 + 5\cos t^\circ = 8}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sin t^\circ = \frac{3}{5}}\\{\cos t^\circ = \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t \approx 37$ (có t ∈ (0; 180)).

Vậy M(6; 8) thỏa mãn yêu cầu đề bài.