Giải SBT Toán 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ có đáp án

a) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm $A(-\frac{3}{2};0)$ ; B(0; 3)

Ta có hệ $\{\begin{matrix}-\frac{3}{2}a'+b'=0 \\ 0.a'+b'=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a'=2 \\ b'=3\end{matrix}$

Suy ra đường thẳng có dạng y = 2x + 3 $\Leftrightarrow$ 2x – y + 3 = 0

Vì vậy a = 2; b = – 1; c = 3.

b) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) ; B(0; 1)

Ta có hệ $\{\begin{matrix}a'+b'=0 \\ 0.a'+b'=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a'=-1 \\ b'=1\end{matrix}$

Suy ra đường thẳng có dạng y = – x + 1 $\Leftrightarrow$ x + y – 1 = 0

Vì vậy a = 1; b = 1; c = – 1.

c) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và song song với trục hoành nên đường thẳng có dạng y c 3 = 0

Vì vậy a = 0; b = 1; c = – 3.

d) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(– 2; 0) và song song với trục Oy nên đường thẳng có dạng x + 2 = 0.

Vì vậy a = 1; b = 0; c = 2.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (4; 7) nên ta có phương trình tham số của đường thẳng d là:

$\{\begin{matrix}x=2+4t \\ y=2+7t\end{matrix}$

Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (4; 7) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}$ (7; –4) phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 7(x – 2) – 4(y – 2) = 0 $\Leftrightarrow$ 7x – 4y – 6 = 0.

b) Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (– 5; 3) nên ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: – 5(x – 0) + 3(y – 1) = 0 ⇔ – 5x + 3y – 3 = 0.

Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (–5 ; 3) nên ta có vectơ chỉ của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}$(3; 5) phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{matrix}x=3t \\ y=1+5t\end{matrix}$.

c) Đường thẳng d đi qua A(–2; –3) và có hệ số góc k = 3 nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: y = 3(x + 2) – 3 ⇔ 3x – y + 3 = 0.

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}(3;-1)$ suy ra vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;3)$. Vì vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{matrix}x=-2+t \\ y=-3+3t\end{matrix}$.

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 1) và Q(3; 4) nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}$ = (2; 3) và có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$ (3; – 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=1+3t\end{matrix}$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x – 2y – 1 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC nên toạ độ của M là: M(2; 2).

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}$ = (1; – 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AM là: $\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=4-2t\end{matrix}$

a) d$_{1}$ và d$_{2}$ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ (2; 1) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ (2; 3)

Ta có: a$_{1}$.b$_{2}$ – a$_{2}$.b$_{1}$ = 2.3 – 1.2 = 4 ≠ 0, suy ra véc tơ $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương. Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau tại một điểm M.

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix}2x+y+9=0 \\ 2x+3y-9=0\end{matrix}$ ta được M(- 9; 9).

Vậy hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau tại một điểm M.

b) Ta có d$_{1}$: $\{\begin{matrix}x=2+t \\ y=1-2t\end{matrix}$ suy ra phương trình tổng quát của d$_{1}$ là: 2x + y – 5 = 0

d$_{1}$và d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$(2; 1) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$(2; 1).

Ta có: a$_{1}$.b$_{2}$ – a$_{2}$.b$_{1}$ = 2.1 – 1.2 = 0, suy ra vectơ $\overrightarrow{{n}_{1}}$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ song song hoặc trùng nhau. Ta lấy M(– 4; – 2) thuộc d$_{2}$ , thay toạ độ M vào d$_{1}$ ta được 2.(– 4) + (– 2) – 5 = – 15 ≠ 0 suy ra M không thuộc d$_{1}$. Vậy d$_{1}$ song song với d$_{2}$.

c) Ta có d$_{1}$: $\{\begin{matrix}x=1-t \\ y=8-5t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}t=\frac{x-1}{-1} \\ t=\frac{y-8}{-5}\end{matrix}\Rightarrow \frac{x-1}{-1}=\frac{y-8}{-5}\Leftrightarrow 5x-y+3=0$ suy ra phương trình tổng quát của d$_{1}$ là: 5x – y + 3 = 0.

Khi đó d$_{1}$ và d$_{2}$ đều có phương trình tổng quát là 5x – y + 3 = 0

Vậy d$_{1}$ trùng với d$_{2}$.

Ta có d: $\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=2+2t\end{matrix}$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x – y = 0

Tạo độ giao điểm của d với đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x+y-2=0 \\ 2x-y=0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{2}{3} \\ y=\frac{4}{3}\end{matrix}$

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng ∆ là: $M(\frac{2}{3};\frac{4}{3})$.

a) d$_{1}$ và d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_{1}$ (5; – 3) và ${\overrightarrow{n}}_{2}$(10; – 6).

Ta có $cos({d}_{1},{d}_{2})=\frac{|5.10+(-3).(-6)|}{\sqrt{{5}^{2}+{(-3)}^{2}}.\sqrt{{10}^{2}+{(-6)}^{2}}}=1$.

Suy ra (d$_{1}$, d$_{2}$) = 0$^{o}$

b) d$_{1}$ và d$_{2}$ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ (7; – 3) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$(3; 7)

Ta có a$_{1.}$a$_{2}$ +b$_{1}$.b$_{2}$ = 7.3 + (– 3).7 = 0, suy ra (d$_{1}$, d$_{2}$) = 90$^{o}$.

c) d$_{1}$ và d$_{2}$ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ (2; – 4) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$(6; – 2)

Ta có $cos({d}_{1},{d}_{2})=\frac{|2.6+(-4).(-2)|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-4)}^{2}}.\sqrt{{6}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra (d$_{1}$, d$_{2}$) = 45$^{o}$.

a) Ta có ${d}_{(M,Δ)}=\frac{|8.2-6.3+7|}{\sqrt{{8}^{2}+{(-6)}^{2}}}=\frac{1}{2}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{1}{2}$.

b) Ta có ${d}_{(M,Δ)}=\frac{|4.0+9.1-20|}{\sqrt{{4}^{2}+{9}^{2}}}=\frac{11\sqrt{97}}{97}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(0;1) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{11\sqrt{97}}{97}$.

c) Ta có ${d}_{(M,Δ)}=\frac{|3.1-5|}{\sqrt{{3}^{2}}}=\frac{2}{3}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(1; 1) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{2}{3}$.

d) Ta có ${d}_{(M,Δ)}=\frac{|4-25|}{\sqrt{{1}^{2}}}=21$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(4; 9) đến đường thẳng ∆ là: 21.

Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) nên ta có ${d}_{(J,Δ)}=R$

$\Leftrightarrow \frac{|4.1-3.2+c|}{\sqrt{{4}^{2}+{(-3)}^{2}}}=3$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}-2+c=15(1) \\ -2+c=-15(2)\end{matrix}$

Xét phương trình (1) ta có – 2 + c = 15 $\Leftrightarrow$ c = 17

Xét phương trình (2) ta có – 2 + c = – 15 $\Leftrightarrow$ c = – 13

Vậy c = 17 hoặc c = – 13 thoả mãn bài toán.

Ta có ∆ và ∆’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{n}_{1}}$ (6; 8) và $\overrightarrow{{n}_{2}}$ (6; 8) hai vectơ này cùng phương. Do đó ∆ và ∆’ song song hoặc trùng nhau.

Dễ dàng nhận thấy ∆ và ∆’ song song với nhau, thật vậy:

Ta lấy $M(0;\frac{11}{8})$ thuộc ∆, thay tọa độ điểm $M(0;\frac{11}{8})$ vào phương trình ∆’ ta được:

6.0 + 8.$\frac{11}{8}$ – 1 = 10 ≠ 0 nên M ∉ ∆’.

Khi đó, ta có: ${d}_{(Δ,Δ')}={d}_{(M,Δ')}=\frac{|6.0+8.\frac{11}{8}-1|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}=1$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng 1.

Giả sử người ngồi trên xe khách là điểm M đang di chuyển trên đường cao tốc có dạng là đường thẳng ∆ như hình vẽ. Ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S khi người đó di chuyển đến điểm C và SC $\perp$ ∆. Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S bằng đoạn SC = d$_{(S, ∆)}$.

Ta có ${d}_{(S,Δ)}=\frac{|12.5+5.1-20|}{\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}}=\frac{45}{13}$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S bằng $\frac{45}{13}$ km.