Giải SBT Toán 10 Bài 2. Định lí côsin và định lí sin có đáp án

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cos$\widehat {\rm{A}}$

BC$^{2}$ = 10$^{2}$ + 9$^{2}$ – 2.10.9.cos65°

BC$^{2}$ ≈ 104,929

BC ≈ 10,24 (cm).

Vậy BC ≈ 10,24 (cm).

b) $\widehat {\rm{P}}$= 180° – 112° – 34° = 34°.

Ta có: $\widehat {\rm{P}}$ = $\widehat {\rm{M}}$ ⇒ tam giác MNP cân tại N ⇒ MN = NP = 22 (cm)

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{{{\rm{MP}}}}{{{\rm{sinN}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{MN}}}}{{{\rm{sinP}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{sinM}}}} = \frac{{22}}{{\sin 34^\circ }}$.

⇒ MP = $\frac{{22}}{{\sin 34^\circ }}$.sin112° ≈ 36,48 (cm)

Vậy MP ≈ 36,48 cm, MN = 22 cm.

Lời giải

Ta có: $\widehat {\rm{A}}$= 180° – 80° – 40° = 60°.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{sinC}}}}$ = $\frac{{75}}{{\sin 60^\circ }}$

⇒ b = $\frac{{75}}{{\sin 60^\circ }}$. sin80° ≈ 85,29 (cm);

⇒ c = $\frac{{75}}{{\sin 60^\circ }}$. sin40° ≈ 55,67 (cm).

Vậy AC ≈ 85,29 cm; AB ≈ 55,67 cm và $\widehat {\rm{A}}$= 60°.

Lời giải

R = $\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2sinA}}}}$ = $\frac{{75}}{{2.\sin 60^\circ }}$ = 25$\sqrt 3$ (cm).

Vậy R = 25$\sqrt 3$ cm.

Lời giải

Do b là cạnh lớn nhất nên B là góc lớn nhất.

Theo định lí côsin: b$^{2}$ = a$^{2}$ + c$^{2}$ – 2accosB

⇒ cosB = $\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{ac}}}}$ = $\frac{{{8^2} + {6^2} - {{12}^2}}}{{2.8.6}}$

⇒ cosB = $\frac{{ - 11}}{{24}}$.

⇒ $\widehat {\rm{B}}$ = 117°16’46’’.

Vậy góc lớn nhất của tam giác ABC là $\widehat {\rm{B}}$ = 117°16’46’’.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin:

PQ$^{2}$ = OP$^{2}$ + OQ$^{2}$ – 2.OP.OQ.cos$\widehat {\rm{O}}$

PQ$^{2}$ = 1400$^{2}$ + 600$^{2}$ – 2.1400.600.cos76°

PQ = $\sqrt {{{1400}^2} + {{600}^2}--{\rm{ }}2.1400.600.{\rm{cos}}76^\circ }$

PQ ≈ 1383,32 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai điểm PQ là PQ ≈ 1383,32 (m).

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}$

Ta có:

1 + cosA = 1 + $\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}$ = $\frac{{2{\rm{bc}} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{bc}}}}$ = $\frac{{{{({\rm{b}} + {\rm{c}})}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{bc}}}}$ = $\frac{{({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}})( - {\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}})}}{{2{\mathop{\rm bc}\nolimits} }}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải

Ta có: p = $\frac{{{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}}}{2}$ = $\frac{{24 + 26 + 30}}{2}$ = 40

Áp dụng công thức Heron:

S = $\sqrt {{\rm{p}}.({\rm{p}} - {\rm{a}}).({\rm{p}} - {\rm{b}}).({\rm{p}} - {\rm{c}})}$

S = $\sqrt {40.(40 - 24).(40 - 26).(40 - 30)}$

S = 80$\sqrt {14}$(cm$^{2}$).

Vậy diện tích tam giác ABC là 80$\sqrt {14}$(cm$^{2}$).

Lời giải

Ta có: S = p.r = 40r = 80$\sqrt {14}$

⇒ r = 2$\sqrt {14}$(cm).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = 2$\sqrt {14}$cm.

Lời giải

Diện tích tam giác MNP là:

S = $\frac{1}{2}$.MN.MP.sin$\widehat {\rm{M}}$= $\frac{1}{2}$.10.20.sin42° ≈ 67 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác MNP là 67 đvdt.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin:

NP$^{2}$ = MP$^{2}$ + MN$^{2}$ – 2.MN.MP.cos$\widehat {\rm{M}}$

NP$^{2}$ = 10$^{2}$ + 20$^{2}$ – 2.10.20.cos42°

NP = $\sqrt {{{10}^2} + {\rm{ }}{{20}^2}--{\rm{ }}2.10.20.{\rm{cos}}42^\circ }$

NP ≈ 14,24.

Áp dụng định lí sin trong tam giác MNP, ta có: R = ON = OP = $\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{2sin}}\widehat {\rm{M}}}}$ ≈ $\frac{{14{,}24}}{{2\sin 42^\circ }}$ ≈ 10,64

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác MNP:

$\widehat {{\rm{NMP}}}$ là góc nội tiếp chắn cung NP ⇒ $\widehat {{\rm{NMP}}}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat {{\rm{NOP}}}$ ⇒ $\widehat {{\rm{NOP}}}$ = 42°.2 = 84°.

Suy ra S$_{ONP}$= $\frac{1}{2}$.ON.OP.sin$\widehat {{\rm{NOP}}}$ ≈ $\frac{1}{2}$.(10,64)$^{2}$.sin84° ≈ 56,30 (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ONP là 56,30 đvdt.

Lời giải

Vẽ AH và GK vuông góc với BC.

Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = $\frac{1}{3}$AM ( tính chất đường trung tuyến của tam giác).

Xét tam giác GKM và tam giác AHM:

$\widehat {{\rm{AHM}}}$ = $\widehat {{\rm{GKM}}}$ = 90°

$\widehat {{\rm{AMH}}}$ = $\widehat {{\rm{GMK}}}$

⇒ tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g).

⇒ $\frac{{{\rm{GM}}}}{{{\rm{AM}}}} = \frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{1}{3}$

Có $\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{GBC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.GK}}{\rm{.BC}}}}{{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.AH}}{\rm{.BC}}}}$ = $\frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{1}{3}$.

Chứng minh tương tự ta được:

S$_{GBC}$ = S$_{GAB}$ = S$_{GAC}$ = $\frac{1}{3}$S$_{ABC}$. ( ĐPCM).

Lời giải

Ta có:

S$_{ABC}$= $\frac{1}{2}$.AB.AC.sin$\widehat {\rm{A}}$

S$_{AB’C’}$ = $\frac{1}{2}$.AB’.AC’.sin$\widehat {\rm{A}}$

⇒ $\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AB'C'}}}}}}$ =

⇒ $\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AB'C'}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AB}}{\rm{.AC}}}}{{{\rm{AB'}}{\rm{.AC'}}}}$ (ĐPCM).

Lời giải

Diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab là:

S = $\frac{1}{2}$.10.12.sin35° ≈ 34,4 (cm$^{2}$).

Vậy diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab khoảng 34,4 cm$^{2}$.