Giải SBT Toán 10 Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai có đáp án

a) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 3$^{2}$ – 4.( –2).( –4) = –23 < 0 nên f(x) vô nghiệm và f (x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

Ta lại có: a = 0 – 2 < 0 nên tại x = – 2 thì f(– 2) < 0.

Vì vậy f(x) âm tại x = –2.

b) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 8$^{2}$ – 4.2.8 = 0 nên g (x) = 0 có nghiệm kép là:

x$_{0}$ = $\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2.2}$ = – 2. Do đó g (– 2) = 0.

Vì vậy g(x) không âm cũng không dương tại x = –2.

c) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 7$^{2}$ – 4.3.( – 10 ) = 169 > 0 nên h(x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x$_{1}$ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{Δ}}{\text{2a}}=\frac{-7+\sqrt{169}}{2.3}$= 1

x$_{2}$ = $\frac{-\text{b}-\sqrt{Δ}}{\text{2a}}=\frac{-7-\sqrt{169}}{2.3}=\frac{-10}{3}$

h(– 2) = 3.(– 2)$^{2}$ + 7.(– 2) – 10 = – 12 < 0.

Vì vậy h(x) âm tại x = – 2.

b) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m + 3 ≠ 0 hay m ≠ $\frac{-3}{2}$ .

Tam thức có x = 3 là một nghiệm khi và chỉ khi f (3) = (2m + 3) . 3$^{2}$ + 3.3 – 4m$^{2}$ = 0

Suy ra – 4m$^{2}$+ 18m + 36 = 0 hay – 2m$^{2}$+ 9m + 18 = 0

Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 9$^{2}$ – 4.( –2 ).18 = 225 > 0 nên phương trình ẩn m có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

m$_{1}$ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{Δ}}{\text{2a}}=\frac{-9+\sqrt{225}}{2.(-2)}=\frac{-3}{2}$ ( loại vì m ≠ $\frac{-3}{2}$ )

m$_{2}$ = $\frac{-\text{b}-\sqrt{Δ}}{\text{2a}}=\frac{-9-\sqrt{225}}{2.(-2)}$= 6.

Vậy m = 6 thỏa mãn f(x) là tam thức bậc hai có x = 3 là một nghiệm.

c) dương tại x = 2 khi và chỉ khi f (2) = 2.2$^{2}$ + 2m – 3 > 0

Suy ra 2m + 5 > 0 ⟺ m >$\frac{-5}{2}$ .

Vậy m > $\frac{-5}{2}$ thì f(x) dương tại x = 2.

a) là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m$^{2}$ + 9 ≠ 0, mà m$^{2}$ + 9 > 0, đúng với mọi m ∈ R.

có một nghiệm duy nhất khi ∆ = b$^{2}$ – 4ac = (m + 6)$^{2}$ – 4.(m$^{2}$ + 9).1 = 0

⇔ –3m$^{2}$ + 12m = 0

⇔ 3m.(4 – m) = 0

⇔ m = 0 hoặc m = 4

Vậy m = 0 hoặc m = 4 là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất.

b) là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1.

có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 3$^{2}$ – 4. (m – 1 ).1 > 0

⇔ 13 – 4m > 0

⇔ m < $\frac{13}{4}$ .

Vậy m < $\frac{13}{4}$ thì f(x) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

c) f(x) là một tam thức bậc hai khi a = m ≠ 0.

Ta có: ∆ = (m + 2)$^{2}$ – 4m = m$^{2}$ + 4 > 0

Để f(x) vô nghiệm thì ∆ < 0 ⇔ m$^{2}$ + 4 < 0

Mà m$^{2}$ + 4 > 0 với mọi m nên không tồn tại giá trị của m thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu.

a) Quan sát hình vẽ a), ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi x < – 2,5 hoặc x > 3 hay f(x) > 0 khi x ∈ ( – ∞; – 2,5) ∪ (3; + ∞).

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm x = – 2,5 và x = 3 hay f(x) = 0 khi x = – 2,5 và x = 3.

Đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành khi – 2,5 < x < 3 hay f(x) < 0 khi x ∈ (– 2,5; 3).

b) Quan sát hình vẽ b) ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi x ≠ –1 hay g(x) > 0 khi x ≠ –1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm x = –1 hay fgx) = 0 khi x = – 1.

c) Đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với mọi x ∈ ℝ hay f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.

a) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = (– 5)$^{2}$ – 4.1.4 = 9 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x$_{1}$ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{5+\sqrt{9}}{2}$= 4.

x$_{2}$ = $\frac{-\text{b}-\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{5-\sqrt{9}}{2}$ = 1.

Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x$_{1}$ = 1, x$_{2}$ = 4 nên áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai, ta có:

f (x) âm trong khoảng (1; 4).

f (x) dương trong khoảng (–∞; 1) và (4; +∞).

b) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 2$^{2}$ – 4.$(\frac{-1}{3})$ .( –3) = 0 nên f (x) có nghiệm kép x$_{0}$ = $\frac{-\text{b}}{\text{2a}}$ = 3.

Như vậy, f (x) có a = $\frac{-1}{3}$ < 0, ∆ = 0 nên f (x) âm với mọi x ≠ 3.

d) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 3$^{2}$ – 4.(–2).5 = 49 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x$_{1}$ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{-3+\sqrt{49}}{-2.2}$= –1 .

x$_{2}$ =$\frac{-\text{b}-\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{-3-\sqrt{49}}{-2.2}=\frac{5}{2}$.

Như vậy, f (x) có a = –2 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x$_{1}$ = –1, x$_{2}$ = $\frac{5}{2}$ nên:

f (x) dương trong khoảng ( –1; $\frac{5}{2}$ ).

f (x) âm trong khoảng (–$\infty$ ; –1) và ( $\frac{5}{2}$; + ).

g) Ta có: ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 12$^{2}$ – 4.4.9 = 0 nên f (x) có nghiệm kép x$_{0}$ =$\frac{-\text{b}}{\text{2a}}$ = $\frac{-3}{2}$ .

Như vậy, f (x) có a = 4 > 0, ∆ = 0 nên f (x) dương với mọi x ≠ $\frac{-3}{2}$ .

a) f (x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 hay m ≠ –1

f (x) không đổi dấu trên ℝ khi và chỉ khi ∆ = b$^{2}$ – 4ac = 5$^{2}$ – 4.( m + 1 ). 2 < 0

⇔ 17 – 8m < 0

⇔ m >$\frac{17}{8}$ .

Vậy m >$\frac{17}{8}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi m < 0 và

∆ = b$^{2}$ – 4ac = 49 – 16m < 0 ⇔ m > $\frac{49}{16}$

Do đó m thỏa mãn đồng thời m < 0 và m > $\frac{49}{16}$ (vô lí).

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Do f (x) có a = 3 > 0 nên f (x) là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi ∆’ = 4 – 3.(3m – 1 ) < 0

⇔ 7 – 9m < 0

⇔ m >$\frac{7}{9}$

Vậy m > $\frac{7}{9}$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

d) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi a = m$^{2}$ + 1 < 0 và ∆ < 0.

Ta có m$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

⇒ a = m$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Như vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a) Theo đề bài:

Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (– 1; – 4) nên –4 = a – b + c (1)

Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (0; 3) nên 3 = c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (1; – 14) nên –14 = a + b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có:

$\{\begin{matrix}\text{a}-\text{b}=-7 \\ \text{a}+\text{b}=-17\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2a=-24 \\ \text{a}+\text{b}=-17\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-12 \\ -12+\text{b}=-17\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-12 \\ \text{b}=-5\end{matrix}$

Vậy f (x) = –12x$^{2}$ – 5x + 3.

Xét f ( x ) = –12x$^{2}$ – 5x + 3 có ∆ = (– 5)$^{2}$ – 4.(–12).3 = 169 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x$_{1}$ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{5+\sqrt{169}}{-12.2}=\frac{-3}{4}$

x$_{2}$ =$\frac{-\text{b}-\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{5-\sqrt{169}}{-12.2}=\frac{1}{3}$.

Như vậy, f (x) có a = –12 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x$_{1}$ = –$\frac{3}{4}$ , x$_{2}$ = $\frac{1}{3}$ nên:

f (x) dương trong khoảng ( –$\frac{3}{4}$ ; $\frac{1}{3}$).

f (x) âm trong khoảng (–$\infty$ ; – $\frac{3}{4}$) và ($\frac{1}{3}$ ; + $\infty$).

b) Ta có:

Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (0; – 2) nên –2 = c (1)

Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (2; 6) nên 6 = 4a + 2b + c (2)

Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (3; 13) nên 13 = 9a + 3b + c (3).

Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có:

$\{\begin{matrix}\text{4a +}2\text{b}=8 \\ \text{9a}+3\text{b}=15\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\text{2a + b}=4 \\ \text{3a}+\text{b}=5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\text{a}=1 \\ \text{3.1}+\text{b}=5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\text{a}=1 \\ \text{b}=2\end{matrix}$

Do đó f (x) = x$^{2}$ + 2x – 2.

Xét f ( x ) = x$^{2}$ + 2x – 2 có ∆ = 2$^{2}$ – 4.( –2 ).1 = 12 nên f ( x ) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x$_{1}$ =$\frac{-\text{b}+\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{-2+\sqrt{12}}{2}=-1+\sqrt{3}$.

x$_{2}$ = $\frac{-\text{b}-\sqrt{Δ}}{2\text{a}}=\frac{-2-\sqrt{12}}{2}=-1-\sqrt{3}$

Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x$_{1}$ = –1 + $\sqrt{3}$ , x$_{2}$ = –1 – $\sqrt{3}$ nên:

f (x) âm trong khoảng ( –1 – $\sqrt{3}$ ; –1 +$\sqrt{3}$ ).

f (x) dương trong khoảng (– $\infty$; –1 –$\sqrt{3}$ ) và ( –1 +$\sqrt{3}$ ; + $\infty$).

c) Ta có:

f(– 5) = 33 nên 33 = 25a – 5b + c (1)

f (0) = 3 nên 3 = c (2)

f(2) = 19 nên 19 = 4a + 2b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có $\{\begin{matrix}25a-5b=30 \\ \text{4a}+2\text{b}=16\end{matrix}$ . Giải hệ phương trình ta được a = 2 và b = 4.

Vậy f (x) = 2x$^{2}$ + 4x + 3.

Xét f (x) = 2x$^{2}$ + 4x +3 có ∆ = 4$^{2}$ – 4.2.3 = –8 < 0, a = 2 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.