TopStudy

Đáp án và lời giải

(Đúng sai) 8 bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Sai vì (cos⁡x)′=f(x)⇔f(x)=−sin⁡x\left( {\cos x} \right)' = f(x) \Leftrightarrow f(x) = - \sin x

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

b) Đúng vì ∫f′(x)dx=f(x)+C=−sin⁡x+C\int {f'(x)dx = f(x) + C = - \sin x + C}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

c) Đúng vì F(x)=cos⁡x+CF(x) = \cos x + C mà F(0)=2⇒C=1F(0) = 2 \Rightarrow C = 1. Vậy F(π2)=1F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

d) Sai vì ∫−2cos⁡x.f(x)dx=∫−2cos⁡x.(−sin⁡x)dx=∫sin⁡2xdx=−12cos⁡2x+C\int { - 2\cos x.f(x)dx = \int { - 2\cos x.( - \sin x)} dx = \int {\sin 2x} dx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C}

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Sai vì F(x)F(x) là một nguyên hàm của f(x)=cos⁡2xf(x) = {\cos ^2}x thì F′(x)=cos⁡2x⇒F′′(x)=−sin⁡2xF'(x) = {\cos ^2}x \Rightarrow F''(x) = - \sin 2x

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

b) Sai vì ∫cos⁡2xdx=∫1+cos⁡2x2dx=x2+sin⁡2x4+C\int {{{\cos }^2}xdx = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } dx = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C. Nên F(x)=x2+sin⁡2x4+CF(x) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

c) Đúng vì F(0)=0⇒C=0.F(0) = 0 \Rightarrow C = 0. Vậy F(π2)=π4F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

d) Sai vì: F(0)=1⇒C=1⇒∫F(x)dx=∫(x2+sin⁡2x4+1)=x24−cos⁡2x8+x+CF(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow \int {F(x)dx = \int {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + 1} \right) = } \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + x + C}

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Đúng (Theo định nghĩa nguyên hàm)

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

b) Sai vì ∫e2xdx=12e2x+C⇒F(x)=12e2x+C\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C. Mà F(ln⁡2)=1⇒C=−1F(\ln 2) = 1 \Rightarrow C = - 1.

Vậy F(x)=12e2x−1F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - 1

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

c) Đúng vì ∫e2x+exf(x)dx=∫e2x+exe2xdx=∫(1+e−x)dx=x−1ex+C\int {\frac{{{e^{2x}} + {e^x}}}{{f(x)}}dx = \int {\frac{{{e^{2x}} + {e^x}}}{{{e^{2x}}}}} dx = \int {\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)dx = x - \frac{1}{{{e^x}}} + C} }

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

d) Sai vì ∫xf(x)dx=∫xe2xdx=12xe2x−∫12e2xdx=12xe2x−14e2x+C\int {xf(x)dx = \int {x{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \int {\frac{1}{2}{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C} }

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Đúng

Vi M′(t)=m(t){M^\prime }(t) = m(t) nên ta có M(t)M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t)=800−2tm(t) = 800 - 2t.

Do ∫(800−2t)dt=800∫dt−∫2t  dt=800t−t2+C\int {(800 - 2t)} {\rm{d}}t = 800\int {\rm{d}} t - \int 2 t\;{\rm{d}}t = 800t - {t^2} + C

nên M(t)=800t−t2+CM(t) = 800t - {t^2} + C với 0≤t≤4000 \le t \le 400. Vì M(0)=0M(0) = 0 nên C=0C = 0.

Vây M(t)=800t−t2M(t) = 800t - {t^2}.

Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là:

M(400)=800.400−4002=160000.M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000.

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là:

400000⋅160000=64000000000.400000 \cdot 160000 = 64000000000.{\rm{ }}(đồng)

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

b) Đúng

Vi M′(t)=m(t){M^\prime }(t) = m(t) nên ta có M(t)M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t)=800−2tm(t) = 800 - 2t.

Do ∫(800−2t)dt=800∫dt−∫2t  dt=800t−t2+C\int {(800 - 2t)} {\rm{d}}t = 800\int {\rm{d}} t - \int 2 t\;{\rm{d}}t = 800t - {t^2} + C

nên M(t)=800t−t2+CM(t) = 800t - {t^2} + C với 0≤t≤4000 \le t \le 400. Vì M(0)=0M(0) = 0 nên C=0C = 0.

Vây M(t)=800t−t2M(t) = 800t - {t^2}.

Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là:

M(400)=800.400−4002=160000.M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000.

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là:

400000⋅160000=64000000000.400000 \cdot 160000 = 64000000000.{\rm{ }}(đồng)

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

c) Đúng

Vi M′(t)=m(t){M^\prime }(t) = m(t) nên ta có M(t)M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t)=800−2tm(t) = 800 - 2t.

Do ∫(800−2t)dt=800∫dt−∫2t  dt=800t−t2+C\int {(800 - 2t)} {\rm{d}}t = 800\int {\rm{d}} t - \int 2 t\;{\rm{d}}t = 800t - {t^2} + C

nên M(t)=800t−t2+CM(t) = 800t - {t^2} + C với 0≤t≤4000 \le t \le 400. Vì M(0)=0M(0) = 0 nên C=0C = 0.

Vây M(t)=800t−t2M(t) = 800t - {t^2}.

Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là:

M(400)=800.400−4002=160000.M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000.

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là:

400000⋅160000=64000000000.400000 \cdot 160000 = 64000000000.{\rm{ }}(đồng)

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

d) Sai

Vi M′(t)=m(t){M^\prime }(t) = m(t) nên ta có M(t)M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t)=800−2tm(t) = 800 - 2t.

Do ∫(800−2t)dt=800∫dt−∫2t  dt=800t−t2+C\int {(800 - 2t)} {\rm{d}}t = 800\int {\rm{d}} t - \int 2 t\;{\rm{d}}t = 800t - {t^2} + C

nên M(t)=800t−t2+CM(t) = 800t - {t^2} + C với 0≤t≤4000 \le t \le 400. Vì M(0)=0M(0) = 0 nên C=0C = 0.

Vây M(t)=800t−t2M(t) = 800t - {t^2}.

Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là:

M(400)=800.400−4002=160000.M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000.

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là:

400000⋅160000=64000000000.400000 \cdot 160000 = 64000000000.{\rm{ }}(đồng)