(Đúng sai) 37 bài tập Xác suất có điều kiện (có lời giải) - Phần 2

b) Gọi $A$ là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8” $\Rightarrow A = \left\{ {\left( {2;6} \right),\left( {6;2} \right),\left( {5;3} \right),\left( {3;5} \right),\left( {4;4} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{{36}}$

Gọi $B$ là biến cố: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm” $\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}$

Khi đó: Biến cố $AB$ là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 và ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm” $\Rightarrow AB = \left\{ {\left( {3;5} \right),\left( {5;3} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( {AB} \right) = 2$

$$\Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}$$

Biến cố $A|B$ là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.

Có: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{18}}.\frac{{36}}{{11}} = \frac{2}{{11}}$

Suy ra Đúng.

c) Biến cố $B|A$ là: “Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8”.

Suy ra Sai.

d) Gọi $C$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau”

Biến cố $CA$ là: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau và tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8” $\Rightarrow CA = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( {CA} \right) = \frac{1}{{36}}$

Biến cố $C|A$ là: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc giống nhau nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8”.

Khi đó: $P\left( {C|A} \right) = \frac{{P\left( {CA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{1}{{36}}.\frac{{36}}{5} = \frac{1}{5}$

Suy ra Sai.

c) Sai

Có: $AB$ là biến cố: “Lấy ra quả thứ nhất màu đỏ và lần thứ 2 lấy ra quả màu đen” $\Rightarrow n\left( {AB} \right) = 3.7 = 21$

d) Đúng

Có: $\overline B$ là biến cố: “Lấy ra quả thứ hai màu đỏ” $\Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 3.2 + 7.3 = 27 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{{27}}{{10.9}} = \frac{3}{{10}}$

Có: $n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90$

Có: $A\overline B$ là biến cố: “Lấy ra 2 quả cầu đều màu đỏ” $\Rightarrow n\left( {A\overline B } \right) = 3.2 = 6 \Rightarrow P\left( {A\overline B } \right) = \frac{6}{{90}} = \frac{1}{{15}}$

Có: $A|\overline B$ là biến cố: “Lấy ra quả thứ nhất màu đỏ biết rằng quả thứ hai lấy ra là màu đỏ”

Khi đó: $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{15}}.\frac{{10}}{3} = \frac{2}{9}$

b) Gọi $C$ là biến cố: “Thắng thầu đúng 1 dự án” $\Rightarrow C = \overline A B \cup A\overline B$ mà $\overline A B$ và $A\overline B$ là các biến cố xung khắc $\Rightarrow P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right)$
Có: $P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$

$$P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}1$$

Vậy: $P\left( C \right) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$
Suy ra Sai

d) Gọi $E$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1” $\Rightarrow E = B|\overline A$

Khi đó: $P\left( E \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}5 - 0{,}3}}{{1 - 0{,}4}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}6}} = \frac{1}{3}$

Suy ra Sai

a) Có: $A\overline B$ là biến cố “Mặt hàng $A$ có lãi và mặt hàng $B$ không có lãi” hay “Chỉ có mặt hàng $A$ có lãi”.

$$\Rightarrow P\left( {A\overline B } \right) = 0{,}2$$

Suy ra Đúng

b) Có: $AB$ là biến cố “Cả 2 mặt hàng có lãi”.

Khi đó: $P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A\overline B } \right) = 0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4$

Suy ra Đúng

c) Gọi $C$ là biến cố “Có đúng một mặt hàng có lãi” $\Rightarrow C = \overline A B \cup A\overline B$ mà $\overline A B$ và $A\overline B$ là các biến cố xung khắc $\Rightarrow P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right)$

Có: $P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3$ và $P\left( {A\overline B } \right) = 0{,}2$

Vậy: $P\left( C \right) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5$

Suy ra Sai

d) Gọi $D$ là biến cố: “Mặt hàng $B$ có lãi biết mặt hàng $A$ không có lãi” $\Rightarrow D = B|\overline A$

Khi đó: $P\left( D \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}7 - 0{,}4}}{{1 - 0{,}6}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}4}} = 0{,}75$

Suy ra Sai

a) Có: ${A_2}|{A_1}$ là biến cố “Bài tập thứ hai làm đúng khi biết bài tập thứ 2 làm đúng”.

$$\Rightarrow P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0{,}8$$

Suy ra Đúng

b) Có: ${A_1}$ là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất” $\Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = 0{,}7$

Có: ${A_1}{A_2}$ là biến cố “Bạn An làm đúng cả 2 bài tập”.

Khi đó: $P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0{,}7.0{,}8 = 0{,}56$

Suy ra Đúng

c) Theo giả thiết: Nếu bài thứ nhất làm sai thì sác suất làm đúng bài thứ 2 là $0{,}2$.

$$\Rightarrow P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0{,}2 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) = 1 - P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$$

Gọi $A$ là biến cố “Bạn An làm đúng ít nhất một bài tập” $\Rightarrow \overline A$ là biến cố “Bạn An làm sai cả hai bài tập” $\Rightarrow \overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}}$

Có: $P\left( A \right) = P\left( {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} |\overline {{A_1}} } \right) = 0{,}3.0{,}8 = 0{,}24$.

Vậy: $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}24 = 0{,}76$

Suy ra Sai.

d) Gọi $D$ là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ nhất biết rằng bạn An làm đúng bài thứ hai” $\Rightarrow D = {A_1}|{A_2}$

Có: ${A_2}$ là biến cố: “Bạn An làm đúng bài thứ hai”. Khi đó, xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1: Bạn An làm đúng bài tập 1 và đúng bài tập 2

Khả năng 2: Bạn An làm sai bài tập 1 và làm đúng bài tập 2

Khi đó: ${A_2} = {A_1}{A_2} \cup {A_2}\overline {{A_1}} \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}{A_2} \cup {A_2}\overline {{A_1}} } \right) = P\left( {{A_1}{A_2}} \right) + P\left( {{A_2}\overline {{A_1}} } \right)$ vì ${A_1}{A_2}$ và ${A_2}\overline {{A_1}}$ là các biến cố xung khắc.

Có: $P\left( {{A_2}\overline {{A_1}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) = 0{,}3.0{,}2 = 0.06$

và $P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = 0{,}7.0{,}8 = 0{,}56$

$$\Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = 0{,}56 + 0{,}06 = 0{,}62$$

Khi đó: $P\left( D \right) = P\left( {{A_1}|{A_2}} \right) = \frac{{P\left( {{A_1}{A_2}} \right)}}{{P\left( {{A_2}} \right)}} = \frac{{0{,}56}}{{0{,}62}} = \frac{{28}}{{31}}$

Suy ra Đúng.

b) Sai

Có: $AB$ là biến cố: “Học sinh học tốt cả Văn và Toán” $\Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0{,}35$

c) Sai

Biến cố $B|A$ là biến cố: “Học sinh học tốt Toán biết học sinh đó học tốt Văn”

d) Đúng

$$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}35}}{{0{,}65}} = \frac{7}{{13}}$$

a) Sai

Có $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

d) Sai

$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)$ hoặc $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)$

c) Đúng.

Có: $E,F$ là các biến cố độc lập $\Rightarrow P\left( F \right) = \frac{{P\left( {EF} \right)}}{{P\left( E \right)}} = 0{,}5$

Khi đó: $P\left( {F|E} \right) = P\left( F \right) = 0{,}5$

d) Sai

$$P\left( F \right) = \frac{{P\left( {EF} \right)}}{{P\left( {E|F} \right)}} = \frac{{0{,}04}}{{0{,}1}} = 0{,}4$$

a) $P\left( A \right) = 0{,}7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

$P\left( {\bar B} \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Do $A$ và $B$ độc lập nên $A$ và $\overline B$ độc lập, $B$ và $\overline A$ độc lập, $\overline B$ và $\overline A$ độc lập.

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) = 0{,}7 \ne 0{,}6$. Suy ra Sai

b) $P\left( A \right) = 0{,}7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

$P\left( {\bar B} \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Do $A$ và $B$ độc lập nên $A$ và $\overline B$ độc lập, $B$ và $\overline A$ độc lập, $\overline B$ và $\overline A$ độc lập.

$\bar A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( {B|\bar A} \right) = P\left( B \right) = 0{,}4$. Suy ra Đúng.

c) $P\left( A \right) = 0{,}7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

$P\left( {\bar B} \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Do $A$ và $B$ độc lập nên $A$ và $\overline B$ độc lập, $B$ và $\overline A$ độc lập, $\overline B$ và $\overline A$ độc lập.

$\bar A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( {\bar A|B} \right) = P\left( {\bar A} \right) = 0{,}3$. Suy ra Đúng

d) $P\left( A \right) = 0{,}7 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

$P\left( {\bar B} \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Do $A$ và $B$ độc lập nên $A$ và $\overline B$ độc lập, $B$ và $\overline A$ độc lập, $\overline B$ và $\overline A$ độc lập.

$\bar A$ và $\bar B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( {\bar B|\bar A} \right) = P\left( {\bar B} \right) = 0{,}6$. Suy ra Đúng.