(Đúng sai) 20 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

A-Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^a {2024f\left( x \right){\rm{d}}x = 0} .$$

B.Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^a {2024f\left( x \right){\rm{d}}x = 0} .$$

C-Đúng

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^a {2024f\left( x \right){\rm{d}}x = 0} .$$

D-Đúng

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^a {2024f\left( x \right){\rm{d}}x = 0} .$$

A-Đúng

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }$$

B-Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }$$

C-Đúng

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }$$

D-Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x}$$

$$\int\limits_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x = k\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} }$$

A-Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

B-Đúng

Lý thuyết

$$\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

C-Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

D-Sai

Lý thuyết

$$\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$

A-Đúng

Lý thuyết

$\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} }$

$\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .$

B-Đúng

Lý thuyết

$\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} }$

$\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .$

C-Sai

Lý thuyết

$\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} }$

$\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .$

D-Sai

Lý thuyết

$\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f(y){\rm{d}}y} }$

$\int\limits_a^b {\left( {f(x) + g(x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_a^b {g(x){\rm{d}}x} } .$

a) $I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$= \left. {F\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2$ $= F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)$$= 4 - 1 = 3$.

Suy ra ĐÚNG

b) $K = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]{\rm{d}}x}$$= \left. {F\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 + \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^2$ $= F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) + \left( {4 - 1} \right)$$= 4 - 1 + 3 = 6$.

Suy ra SAI.

c) Ta có$K = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{{\rm{e}}^{1 + \ln \left( {f\left( x \right)} \right)}} + 4} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {{{\rm{e}}^{1 + \ln \left( {f\left( x \right)} \right)}}{\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 1}^2 {4{\rm{d}}x} = {\rm{e}}.\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 1}^2 {4{\rm{d}}x} = 3{\rm{e}} + 4x\mathop |\nolimits_{ - 1}^2 = 3{\rm{e}} + 12$

Suy ra ĐÚNG.

d) Ta có $\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow 3 + \int\limits_2^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 1} \Leftrightarrow 9\int\limits_3^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x = - 9}$

Suy ra SAI.

a) Đặt $a = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, $b = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 4\\2a - b = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.$

Vậy $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$.

Suy ra a, b ĐÚNG

Đặt $a = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, $b = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 4\\2a - b = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.$

Vậy $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$.

Suy ra a, b ĐÚNG

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$, $\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 6$và $\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 1$

c) Ta có: $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow 2 + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 6 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$

Suy ra SAI.

d) $I = \int\limits_2^3 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_2^3 {xdx} + 2\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_2^3 {g\left( x \right)dx = \frac{5}{2}} + 2.4 - 3.4 = - \frac{3}{2}$

Suy ra ĐÚNG.

a) Phương trình chuyển động của vật theo đường parabol $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Parabol có đỉnh $I\left( {2;5} \right)$ và đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$có phương trình $y = - {x^2} + 4x + 1$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\4a + 2b + c = 5\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b = 3\\a = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow v\left( t \right) = - {t^2} + 4t + 1$.

$s(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {\left( { - {t^2} + 4t + 1} \right)\,{\rm{d}}t} = - \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + t + \,C\,\,\,(\;k{\rm{m}})$

Suy ra ĐÚNG.

b) Quãng đường vật đi được trong $1$ giờ đầu là:

${S_1} = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 4x + 1} \right)dx = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{8}{3}}$

Suy ra SAI.

c) Quãng đường vật đi được trong $2$ giờ sau là ${S_2} = 2.4 = 8$

Suy ra SAI.

d) Trong ba giờ vật đi được quãng đường là $S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{{32}}{3}\,$$\left( {km} \right)$

Suy ra ĐÚNG.

d) Trong ba giờ vật đi được quãng đường là $S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{{32}}{3}\,$$\left( {km} \right)$

Suy ra ĐÚNG.

a) Ta có $v(t) = \int a (t){\rm{d}}t = \int 2 \cos t\;{\rm{d}}t = 2\sin t + C$.

Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có $v(0) = 0$ hay $C = 0$. Vậy $v(t) = 2\sin t$.

Suy ra ĐÚNG.

b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$ là $v\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \frac{\pi }{2} = 2(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})$.

Suy ra SAI.

c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 0\,\,(\;{\rm{s}})$ đến thời điểm $t = \pi \,({\rm{s}})$ là

$\int_0^\pi v (t){\rm{d}}t = \int_0^\pi 2 \sin t\;{\rm{d}}t = - \left. {2\cos t} \right|_0^\pi = - 2\cos \pi - ( - 2\cos 0) = 4\,(\;{\rm{m}}).$

Suy ra ĐÚNG.

d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$ (s) đến thời điểm $t = \frac{{3\pi }}{4}$ (s) là

\[\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {v(t){\rm{d}}t} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {{\rm{2}}\sin t{\rm{d}}t} = - \left. {2\cos t} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = - 2\cos \frac{{3\pi }}{4} - \left( { -

a) Vận tốc của vật khi thay đổi là $v\left( t \right) = \int {\left( { - 4 + 2t} \right){\rm{d}}t} = {t^2} - 4t + C$.

Suy ra SAI.

b) Tại thời điểm $t = 0$ (khi vật bắt đầu thay đổi vận tốc) có ${v_0} = 20$$\Rightarrow C = 20$

Suy ra $v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20$.

Suy ra ĐÚNG.

c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian $3$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là

$S = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^3 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^3 = 51$ $\left( {\rm{m}} \right)$

Suy ra SAI.

d) Có $v\left( t \right) = {\left( {t - 2} \right)^2} + 16 \ge 16$, suy ra vận tốc của vật đạt bé nhất khi $t = 2$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó là $S = \int\limits_0^2 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^2 = \frac{{104}}{3}$ $\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra ĐÚNG.

a) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số${s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right)dt} = \int {\left( {6 - 3t} \right)} \,dt = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,(\;{\rm{m}})$

Suy ra ĐÚNG.