(Đúng sai) 16 bài tập Nguyên hàm (có lời giải) - Đề 2

a- Sai

$\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

b- Đúng

$\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C$

c- Sai

$$\int {{e^x}\left( {{e^x}-{\rm{ }}1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + C$$

d- Đúng

$\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$

Ta có $Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right).dt} = {t^4} - 24{t^3} + 144t + C \Rightarrow Q\left( 2 \right) = 500 \Rightarrow C = 100.$

Suy ra $Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144t + 100 \Rightarrow$ a) sai.

d) Đúng vì:

$$\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = \left( {F(x) + C} \right)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$$

b) Sai vì $\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$. Mà $F(\ln 2) = 1 \Rightarrow C = - 1$.

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - 1$

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.

Ta có $h(t)$ là một nguyên hàm của hàm số ${h^\prime }(t) = 1{,}5t + 5$.

Do $\int {(1{,}5t + 5)} {\rm{d}}t = \int 1 ,5t\;{\rm{d}}t + \int 5 \;{\rm{d}}t = \frac{3}{4}\int 2 t\;{\rm{d}}t + 5\int {\rm{d}} t = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + C$ nên $h(t) = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + C$.

Vi cây con khi được trồng cao 12 cm nên $h(0) = 12$, suy ra $C = 12$. Vâyy $h(t) = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + 12$.

Sau 6 năm, chiều cao của cây đó là: $h(6) = \frac{3}{4} \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69(\;{\rm{cm}})$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) ${\bf{S}}$.

Vi ${M^\prime }(t) = m(t)$ nên ta có $M(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $m(t) = 800 - 2t$.

Do $\int {(800 - 2t)} {\rm{d}}t = 800\int {\rm{d}} t - \int 2 t\;{\rm{d}}t = 800t - {t^2} + C$

nên $M(t) = 800t - {t^2} + C$ với $0 \le t \le 400$. Vì $M(0) = 0$ nên $C = 0$.

Vây $M(t) = 800t - {t^2}$.

Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là:

$M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000.$

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là:

$400000 \cdot 160000 = 64000000000.{\rm{ }}$(đồng)