(Đúng sai) 16 bài tập Nguyên hàm (có lời giải) - Đề 1

a- Sai

Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.

b- Đúng

Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.

c- Sai

Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.

d- Đúng

Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.

Vì $s(t)$, $v(t)$ lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian $t$ (giây) nên ta có $s'(t) = v(t)$ và $\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C$.

a) $\int s (t){\rm{dt}} = v(t) + C$ . Suy ra Sai.

Vì $s(t)$, $v(t)$ lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian $t$ (giây) nên ta có $s'(t) = v(t)$ và $\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C$.

b) $\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C$. Suy ra Đúng.

Vì $s(t)$, $v(t)$ lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian $t$ (giây) nên ta có $s'(t) = v(t)$ và $\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C$.

c) $\int {s'} (t){\rm{dt}} = v(t) + C$. Suy ra Sai.

Vì $s(t)$, $v(t)$ lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian $t$ (giây) nên ta có $s'(t) = v(t)$ và $\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C$.

d) $\int {s'} (t){\rm{dt}} = s(t) + C$. Suy ra Đúng.

a) Vì $G(x)$là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$trên $\mathbb{R}$nên $G(x) = F(x) + C$, với $C$1à một hằng số. Mà $G( - 1) = 3$nên ta có $G( - 1) = F( - 1) + C \Leftrightarrow 3 = 2 + C \Leftrightarrow C = 1$. Vậy $G\left( x \right) = F\left( x \right) + 1$,$x \in \mathbb{R}$.

Suy ra Sai.

b) Vì $H(x)$là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$trên $\mathbb{R}$nên $H(x) = F(x) + C$, với $C$1à một hằng số. Mà $H(1) = - 3$nên ta có $H(1) = F(1) + C \Leftrightarrow - 3 = 0 + C \Leftrightarrow C = - 3$. Vậy $H\left( x \right) = F\left( x \right) - 3$,$x \in \mathbb{R}$.

Suy ra đúng.

c) Vì $K(x)$là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$trên $\mathbb{R}$nên $K(x) = F(x) + C$, với $C$1à một hằng số. Mà $K(0) = 0$nên ta có $K(0) = F(0) + C \Leftrightarrow 0 = 1 + C \Leftrightarrow C = - 1$. Vậy $K\left( x \right) = F\left( x \right) - 1$,$x \in \mathbb{R}$.

Suy ra Sai.

d) Vì $M(x)$là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$trên $\mathbb{R}$nên $M(x) = F(x) + C$, với $C$1à một hằng số. Mà $M(2) = 4$nên ta có $M(2) = F(2) + C \Leftrightarrow 4 = 5 + C \Leftrightarrow C = - 1$. Vậy $M\left( x \right) = F\left( x \right) - 1$,$x \in \mathbb{R}$.

Suy ra Đúng.

a- Đúng

$$\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x - \cot x + C$$

b- Đúng

$$\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{2023}}\int {{x^{ - 2024}}dx} = \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$$

c- sai

$$\int {{{\left( {2x - 2024} \right)}^2}dx} = \frac{{{{\left( {2x - 2024} \right)}^3}}}{3} + C$$

d- Đúng

$\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$

a- Đúng

$$\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x - \cot x + C$$

b- sai

$$\int {\left( {1 - {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\left( {x - \sin x} \right) + C$$

C- Sai

$$\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)} dx = x - \cos x + C$$

d- sai

$$\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx = x + \cos x + C$$

a- Sai

$\int {\frac{1}{x}} \,{\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + C$.

b- Đúng

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = \tan x + C$.

c- Đúng

$\int {\sin x} \,{\rm{d}}x = - \cos x + C$.

d- Đúng

$\int {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + C$.

d- Sai

Ta có:$\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C}$ sai vì $\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + C}$.