Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Trường THPT Chuyên KHXHNV (có đáp án)

Đáp án đúng là: A

Theo hệ thức Viète, tích hai nghiệm của phương trình là ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 5$.

Thay nghiệm đã biết ${x_1} = - 5$ vào, ta có $- 5 \cdot {x_2} = 5$, do đó ${x_2} = - 1$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua $A\left( { - 1;2} \right)$ nên ta có phương trình $- a + b = 2$.

Đường thẳng đi qua $B\left( { - 2;3} \right)$ nên ta có phương trình $- 2a + b = 3$.

Trừ vế theo vế hai phương trình, ta được $a = - 1$.

Thay $a = - 1$ vào phương trình $- a + b = 2$, ta tính được $b = a + 2 = 1$.

Tổng cần tìm là $S = a + b = - 1 + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) = \frac{{\sqrt x - 1 + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$.

Khi $x = \frac{9}{4}$, ta có $\sqrt x = \frac{3}{2} = 1{,}5$.

Thay vào biểu thức rút gọn, ta được $A = \frac{{2 \cdot 1{,}5}}{{1{,}5 - 1}} = \frac{3}{{0{,}5}} = 6$.

Đáp án đúng là: D

Diện tích mặt cầu được tính bằng công thức $S = 4\pi {R^2} = \pi {\left( {2R} \right)^2} = \pi {d^2}$ với $d$ là đường kính mặt cầu.

Thay số liệu vào, ta có $S = 3{,}14 \cdot {\left( {6{,}68} \right)^2} \approx 140{,}114$ (cm$^{2}$).

Làm tròn đến hàng phần mười, diện tích bề mặt là 140,1 cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Tổng số hộ gia đình được thống kê là $n = 6 + 6 + 4 + 1 + 3 = 20$.

Nhóm $\left[ {11;{\rm{ }}12{,}5} \right)$ có tần số là 3. Tần số tương đối của nhóm này là $\frac{3}{{20}} \cdot 100\% = 15\%$.

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng $\left( d \right)$ song song với $\left( {d\prime } \right)$ nên hệ số góc $a = 2$ và $b \ne 1$.

Khi đó đường thẳng $\left( d \right)$ có dạng $y = 2x + b$ ($b \ne 1$).

Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;1} \right)$, ta thay tọa độ vào hàm số, ta được:

$1 = 2 \cdot 1 + b$, từ đó tính được $b = - 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Tổng cần tìm là $a + b = 2 + \left( { - 1} \right) = 1$.

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của tập hợp $X$ là 100.

Các số chia hết cho 5 trong tập $X$ là 5, 10, 15,., 100. Dãy này có tất cả 20 số.

Xác suất để chọn được số chia hết cho 5 là $\frac{{20}}{{100}} = \frac{1}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Theo hệ thức Viète, ta có ${x_1} + {x_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và ${x_1}{x_2} = - \frac{3}{2}$.

Từ tích của hai nghiệm, ta nhận thấy $- \frac{3}{2} = {x_1}{x_2}$, hay $- 3 = 2{x_1}{x_2}$.

Thay số $- 3$ bằng $2{x_1}{x_2}$ vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{2{x_1}{x_2}}}{{2x_1^2}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}$.

Ta tính $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - 2\left( { - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$.

Thay vào biểu thức $A$, ta được $A = \frac{{\frac{7}{2}}}{{ - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 7}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Tam giác $OAM$ có $OA = OM$ (cùng là bán kính) nên là tam giác cân tại $O$.

Lại có $\widehat {OAM} = 60^\circ$, do đó tam giác $OAM$ là tam giác đều.

Góc ở tâm $\widehat {AOM}$ bằng $60^\circ$.

Diện tích hình quạt $AOM$ là $S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot {8^2} \cdot 60}}{{360}} = \frac{{64\pi }}{6} = \frac{{32\pi }}{3}$ (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Vì $AB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B$ nên góc $\widehat {OBA} = 90^\circ$.

Xét tam giác vuông $OBA$, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16$.

Suy ra $AB = 4$ cm.

Đáp án đúng là: C

Số tiền cho 1 km đầu tiên là 20 000 đồng.

Số tiền cho 19 km tiếp theo (từ km số 1 đến km số 20) là $19 \cdot 15\,\,000 = 285\,\,000$ (đồng).

Tổng số tiền đi 20 km đầu tiên là $20\,\,000 + 285\,\,000 = 305\,\,000$ (đồng).

Số tiền còn lại khách hàng phải trả cho phần quãng đường trên 20 km là

$359\,\,000 - 305\,\,000 = 54\,\,000$ (đồng).

Phần quãng đường đi thêm với giá 12 000 đồng/km là $54\,\,000:12\,\,000 = 4{,}5$ (km).

Tổng quãng đường khách hàng đã đi là $20 + 4{,}5 = 24{,}5$ km.

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là:

$\frac{1}{2}{x^2} = 2$ suy ra ${x^2} = 4$ nên $x = - 2$ và $x = 2$.

Tọa độ hai giao điểm là $A\left( { - 2;2} \right)$ và $B\left( {2;2} \right)$.

Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ (nằm trên đường ngang $y = 2$) là độ dài đáy của tam giác: $AB = 4$.

Chiều cao hạ từ gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ xuống đường thẳng $y = 2$ là $h = 2$.

Diện tích tam giác $OAB$ là $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ (đvdt).

Đáp án đúng là: B

Theo hệ thức Viète, tổng hai nghiệm ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{2}$ và tích hai nghiệm ${x_1}{x_2} = - 5$.

Bình phương hai vế hệ thức $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{9}{2}$, ta có ${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = \frac{{81}}{4}$.

Suy ra ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = \frac{{81}}{4}$.

Thay các biểu thức Viète vào, ta được:

${\left( { - \frac{b}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 5} \right) = \frac{{81}}{4}$.

$\frac{{{b^2}}}{4} + 20 = \frac{{81}}{4}$

$\frac{{{b^2}}}{4} = \frac{1}{4}$.

${b^2} = 1$

$b = 1$ hoặc $b = - 1$.

Vậy có 2 giá trị của tham số $b$.

Đáp án đúng là: B

Đặt $t = {x^2}$ ($t \ge 0$), phương trình trở thành ${t^2} - 2mt + m + 2 = 0$ (1).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thực phân biệt, phương trình (1) phải có duy nhất 1 nghiệm dương. Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi tích hai nghiệm âm, tức là $P = m + 2 < 0$, dẫn đến $m < - 2$.

Vì $m$ nguyên dương nên trường hợp này không có giá trị nào.

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép dương.

Điều kiện là $\Delta \prime = {m^2} - \left( {m + 2} \right) = 0$ và nghiệm kép $t = m > 0$.

Giải phương trình:

$\Delta \prime = {m^2} - \left( {m + 2} \right) = 0$

${m^2} - m - 2 = 0$

$\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0$

$m = 2$ hoặc $m = - 1$.

Vì yêu cầu $m$ nguyên dương nên ta nhận $m = 2$. (Khi đó $t = 2 > 0$, cho ta đúng hai nghiệm $x = \sqrt 2$ và $x = - \sqrt 2$).

Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Gọi khối lượng quặng A là $x$ (tấn) và khối lượng quặng B là $y$ (tấn) $\left( {x,\,y > 0} \right)$.

Tổng khối lượng là 25 tấn, ta có phương trình $x + y = 25$.

Khối lượng sắt trong hỗn hợp là $75\% x + 50\% y = 0{,}75x + 0{,}5y = 0{,}66 \cdot 25 = 16{,}5$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0{,}75x + 0{,}5y = 16{,}5\end{array} \right.$.

Nhân phương trình đầu với 0,5 ta được hệ phương trình mới là $\left\{ \begin{array}{l}0{,}5x + 0{,}5y = 12{,}5\\0{,}75x + 0{,}5y = 16{,}5\end{array} \right.$.

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất của hệ mới, ta được $0{,}25x = 4$, từ đó tính ra $x = 16$.

Khối lượng quặng A đem trộn là 16 tấn.

Lượng sắt nguyên chất có trong phần quặng A này là $16 \cdot 75\% = 12$ (tấn).

Đáp án đúng là: A

Giải bất phương trình

$3x\left( {x - 2} \right) + 6x \le 46$

$3{x^2} - 6x + 6x \le 46$.

$3{x^2} \le 46$

${x^2} \le \frac{{46}}{3}$ (khoảng 15,33).

Vì $x$ là số nguyên nên ${x^2} \le 15$.

Các giá trị nguyên của $x$ có bình phương không vượt quá 15 là: $- 3;{\rm{ }} - 2;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3.$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Gọi lãi suất của ngân hàng BIDV là $x$ ($x > 0$), thì lãi suất của VP là $x + 0{,}5\% = x + 0{,}005.$

Tổng số tiền gốc ông Bình đã gửi là $100 + 150 = 250$ (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi ông nhận được sau 1 năm là $264{,}5 - 250 = 14{,}5$ (triệu đồng).

Phương trình tiền lãi: $100x + 150\left( {x + 0{,}005} \right) = 14{,}5$.

Giải phương trình:

$100x + 150\left( {x + 0{,}005} \right) = 14{,}5$

$250x + 0{,}75 = 14{,}5$

$250x = 13{,}75$.

$x = \frac{{13{,}75}}{{250}} = 0{,}055 = 5{,}5\%$.

Vậy lãi suất của ngân hàng BIDV tại thời điểm ông Bình gửi là 5,5%.

Đáp án đúng là: B

Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$A = \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19 - \left( {3\sqrt x - 3 - x + \sqrt x } \right) - \left( {2x + 6\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19 - \left( {3\sqrt x - 3 - x + \sqrt x } \right) - \left( {2x + 6\sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19 + x - 4\sqrt x + 3 - 2x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x\sqrt x - x + 16\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x\left( {\sqrt x - 1} \right) + 16\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x + 16} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}}.$

Vậy với $x \ge 0,x \ne 1$ thì $A = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}}.$

Đáp án đúng là: B

Gọi $\left( {i;\,\,j} \right)$ là kết quả thu được khi tung một con xúc xắc hai lần, với $i;\,\,j$ lần lượt là số chấm xuất hiện của lần tung thứ nhất và thứ hai.

Không gian mẫu khi tung xúc xắc hai lần có $6 \cdot 6 = 36$ phần tử.

Các kết quả thuận lợi để tổng số chấm bằng 6 là các cặp:

$$\left( {1;{\rm{ }}5} \right),{\rm{ }}\left( {2;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}\left( {3;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}\left( {4;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}\left( {5;{\rm{ }}1} \right).$$

Có tất cả 5 kết quả thuận lợi. Xác suất cần tìm là $\frac{5}{{36}}$.

Đáp án đúng là: C

Với $x \ge 0,$ ta có $P = \frac{{6\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {2\sqrt x + 1} \right) - 2}}{{2\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{2}{{2\sqrt x + 1}}$.

Vì điều kiện $x \ge 0$ nên $2\sqrt x + 1 \ge 1$.

Khi đó $0 < \frac{2}{{2\sqrt x + 1}} \le 2$ nên $1 \le 3 - \frac{2}{{2\sqrt x + 1}} < 3$ hay $1 \le P < 3$

Vì $P$ có giá trị nguyên nên $P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.$

Nếu $P = 1$, ta có $\frac{2}{{2\sqrt x + 1}} = 2$ suy ra $2\sqrt x + 1 = 1$, dẫn đến $2\sqrt x = 0$ nên $x = 0$ (thỏa mãn).

Nếu $P = 2$, ta có $\frac{2}{{2\sqrt x + 1}} = 1$ suy ra $2\sqrt x + 1 = 2$, dẫn đến $2\sqrt x = 1$, vậy $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy có đúng 2 giá trị thực của $x$ để biểu thức $P$ đạt giá trị nguyên.

Đáp án đúng là: D

Ta nhân cả hai vế của biểu thức với 2 thì được:

$2P = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \ldots + \frac{2}{{99.101}}$.

Áp dụng quy tắc phân tách $\frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}$, ta có:

$2P = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{101}}} \right)$$= 1 - \frac{1}{{101}}$$= \frac{{100}}{{101}}$.

Từ đó tính được $P = \frac{{50}}{{101}}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $H$ là trung điểm của dây $MN$, ta có $MH = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta OMN$ cân tại $O$ (vì $OM = ON = R)$ có $OH$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác và đường cao, đo dó tam giác $OMH$ vuông tại $H$.

Khi đó $\sin \widehat {MOH} = \frac{{MH}}{{OM}} = \frac{{\frac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\widehat {MOH} = 60^\circ$. Do đó $\widehat {MON} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Số đo cung nhỏ $MN$ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó, tức là $120^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Giải phương trình thứ nhất:

${x^2} - 4{y^2} = 0$

$\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 0$

Suy ra $x = 2y$ hoặc $x = - 2y$.

⦁ Trường hợp 1: $x = 2y$. Thay vào phương trình thứ hai:

${\left( {2y} \right)^2} - 2y + {y^2} + y + 1 = 0$, hay $5{y^2} - y + 1 = 0$.

Tính biệt thức $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = - 19 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

⦁ Trường hợp 2: $x = - 2y$. Thay vào phương trình thứ hai:

${\left( { - 2y} \right)^2} - \left( { - 2y} \right) + {y^2} + y + 1 = 0$, hay $5{y^2} + 3y + 1 = 0$.

Tính biệt thức $\Delta = {3^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = - 11 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

Do cả hai trường hợp đều vô nghiệm nên hệ phương trình không có nghiệm nào.

Đáp án đúng là: B

Đường chéo của hình chữ nhật nội tiếp chính là đường kính của đường tròn.

Theo định lí Pythagore, đường kính $d = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = \sqrt {52}$ cm.

Bán kính $R = \frac{{\sqrt {52} }}{2} = \sqrt {13}$ cm.

Diện tích hình tròn là ${S_1} = \pi {R^2} = 3{,}14 \cdot {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} = 40{,}82$ (cm$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật là ${S_2} = 6 \cdot 4 = 24$ (cm$^{2}$).

Diện tích phần gạch chéo là ${S_1} - {S_2} = 40{,}82 - 24 = 16{,}82$ (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: D

Gọi giá niêm yết một đôi tất là $x$ và giá niêm yết một đôi găng tay là $y$ ($x,\,\,y > 0;$ đơn vị: đồng).

Số tiền khách A phải trả là: $6x + 4y = 620\,\,000$ hay $3x + 2y = 310\,\,000$. (1)

Hóa đơn khách B sau khi giảm 10% là 657 000 đồng, giá trị thực tế trước khi giảm là $657\,\,000:0{,}9 = 730\,\,000$ đồng.

Số tiền khách B phải trả là: $5x + 6y = 730\,\,000$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 310\,\,000\\5x + 6y = 730\,\,000\end{array} \right.$

Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ phương trình mới là $\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 930\,\,000\\5x + 6y = 730\,\,000\end{array} \right.$.

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

$\left( {9x + 6y} \right) - \left( {5x + 6y} \right) = 930\,\,000 - 730\,\,000$ hay $4x = 200\,\,000$, do đó $x = 50\,\,000$ (tm).

Thay $x = 50.000$ vào phương trình $3x + 2y = 310\,\,000$, ta có:

$150\,\,000 + 2y = 310\,\,000$ suy ra $2y = 160\,\,000$ nên $y = 80\,\,000$ (tm).

Vậy giá một đôi găng tay khách A phải trả là 80 000 đồng.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $HEC$, có hai đường cao là $EA$ (do $BA \bot CA$ tại $A$ nên $EA \bot CH$) và $HD$ (do $BH \bot CE$ tại $D$). Hai đường cao cắt nhau tại $B$, vậy $B$ chính là trực tâm của tam giác $HEC$.

Đường cao thứ ba hạ từ $C$ tới đoạn $HE$ phải đi qua trực tâm $B$. Do đó $CB \bot HE$.

Ta có $\widehat {CAB} = \widehat {CDB} = 90^\circ$ nên hai điểm $A,D$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC,$ do đó 4 điểm $A,C,D,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $CB$ hay tứ giác $ACDB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $CB$.

Suy ra $\widehat {CDA} = \widehat {CBA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CA$)

Lại có $\widehat {HDC} = 90^\circ$ nên $\widehat {ADH} = 90^\circ - \widehat {CDA} = 90^\circ - \widehat {CBA}$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $90^\circ - \widehat {CBA} = \widehat {ACB}$.

Vậy $\widehat {ADH} = \widehat {ACB} = 34^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $x$ là số lần ban tổ chức giảm 10 nghìn đồng ($x \ge 0$).

Giá vé lúc này là $a = 200 - 10x$ (nghìn đồng; $0 \le x < 20$).

Số khán giả đến xem là $28\,\,000 + 2\,\,000x = \left( {28 + 2x} \right) \cdot 1\,\,000$.

Doanh thu là $R = \left( {200 - 10x} \right)\left( {28 + 2x} \right) \cdot 1\,\,000$ (nghìn đồng).

$= - 20\,\,000\left( {{x^2} - 6x - 280} \right)$

$= - 20\,\,000\left( {{x^2} - 6x + 9 - 289} \right)$

$= - 20\,\,000{\left( {x - 3} \right)^2} + 5\,\,780\,\,000$.

Hàm bậc hai này đạt giá trị lớn nhất khi ${\left( {x - 3} \right)^2} = 0$ tức là $x = 3$.

Khi đó, giá vé tối ưu là $a = 200 - 10 \cdot 3 = 170$ (nghìn đồng).

Với giá vé này, số khán giả là $28\,\,000 + 6\,\,000 = 34\,\,000$, thỏa mãn sức chứa tối đa của sân vận động là 50 000.

Vì $a = 170$, giá trị này thỏa mãn bất đẳng thức $a > 165$.

Đáp án đúng là: C

Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương, ta có:

$Q = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2}} = \left| {a - 1} \right| + \left| {a + 1} \right|$.

Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối $\left| x \right| = \left| { - x} \right|$, ta viết lại $Q = \left| {1 - a} \right| + \left| {a + 1} \right|$.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác $\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|$, ta có:

$Q \ge \left| {1 - a + a + 1} \right| = \left| 2 \right| = 2$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left( {1 - a} \right)\left( {a + 1} \right) \ge 0$, tức là $- 1 \le a \le 1$.

Giá trị nhỏ nhất của $Q$ bằng 2.

Đáp án đúng là: A

Đặt độ dài đoạn $HB$ là $x$ (cm) ($x > 0$). Cạnh huyền $BC$ có độ dài là $x + 9$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta HBA$ vuông tại $H$ có $\widehat B$ là góc chung

Do đó $ΔABC∽ΔHBA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{AB}}$ nên $A{B^2} = HB \cdot BC$.

Thay số vào, ta có ${20^2} = x\left( {x + 9} \right)$, hay ${x^2} + 9x - 400 = 0$.

Giải phương trình bậc hai này, ta nhận được nghiệm dương $x = 16$.

Tương tự, ta có (g.g) nên suy ra được $A{H^2} = HB \cdot HC = 16 \cdot 9 = 144$.

Do đó $AH = 12$ cm.

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây cung: dây cung nào gần tâm hơn thì có độ dài lớn hơn.

Với giả thiết $OH < OK < OM$, ta có sự sắp xếp các khoảng cách tới các dây tương ứng. Khoảng cách ngắn nhất tương ứng với dây dài nhất, do đó $CA > BC > AB$.

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì có số đo lớn hơn.

Góc đối diện cạnh $CA$ là $\widehat B$, đối diện $BC$ là $\widehat A$, đối diện $AB$ là $\widehat C$.

Từ thứ tự $CA > BC > AB$, ta suy ra thứ tự các góc là $\widehat B > \widehat A > \widehat C$, hay $\widehat C < \widehat A < \widehat B$.

Đáp án đúng là: D

Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn $\left( O \right)$. Tam giác $ACD$ nội tiếp chắn nửa đường tròn nên vuông tại $C$.

Xét $\Delta ABH$ (vuông tại $H$) và $\Delta ADC$ (vuông tại $C$) có $\widehat {ABH} = \widehat {ADC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Do đó $ΔABH∽ΔADC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}$.

Thay số liệu vào, ta có $\frac{{12}}{{AD}} = \frac{6}{{15}}$.

Tính được đường kính $AD = \frac{{12 \cdot 15}}{6} = 30$ cm.

Đáp án đúng là: C

Đỉnh parabol đặt tại gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$.

Khoảng cách hai chân cổng là 8, chiều cao là 6,4 nên điểm chân cổng bên phải có tọa độ $\left( {4; - 6{,}4} \right)$.

Thay vào hàm số $y = a{x^2}$ ta được:

$- 6{,}4 = a \cdot {4^2}$, ta tính được $a = - 0{,}4$.

Parabol có phương trình $y = - 0{,}4{x^2}$.

Gọi $D$ là điểm nằm ở góc phải phía trên của khung thép, tọa độ $D$ là $\left( {x;\,\, - 0{,}4{x^2}} \right)$ với $0 < x < 4$.

Khung thép hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng là $2x$ và chiều cao là phần chênh lệch từ mặt đất lên đỉnh vòm: $- 0{,}4{x^2} - \left( { - 6{,}4} \right) = 6{,}4 - 0{,}4{x^2}$.

Chu vi của khung thép (tổng chiều dài vật liệu cần dùng) là:

$P = 2 \cdot \left( {2x + 6{,}4 - 0{,}4{x^2}} \right) = 4x + 12{,}8 - 0{,}8{x^2}$

$= - 0{,}8\left( {{x^2} - 5x} \right) + 12{,}8$

$= - 0{,}8{\left( {x - 2{,}5} \right)^2} + 0{,}8 \cdot 6{,}25 + 12{,}8$

$= - 0{,}8{\left( {x - 2{,}5} \right)^2} + 5 + 12{,}8$

$= - 0{,}8{\left( {x - 2{,}5} \right)^2} + 17{,}8$.

Chu vi khung thép đạt giá trị lớn nhất là 17,8 m khi $x = 2{,}5$.\

Số tiền nhiều nhất phải trả là $17{,}8 \cdot 3 = 53{,}4$ triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Gọi khối lượng cà rốt dự định mua là $y$ (kg), số lượng cam dự định là $2y$ (kg). Do bán theo túi 1 kg nên $y$ phải là số nguyên dương.

Số tiền Phúc mang theo là $M = 50\,\,000 \cdot 2y + 30\,\,000 \cdot y = 130\,\,000y$ (đồng).

Giá sau khi giảm: cam còn $50\,\,000\left( {100\% - 10\% } \right) = 45{\rm{ }}000$ đồng/kg, cà rốt còn $30\,\,000\left( {100\% - 20\% } \right) = 24{\rm{ }}000$ đồng/kg.

Thực tế, Phúc mua $2y + 1$ kg cam và $y$ kg cà rốt.

Số tiền đã tiêu là:

$45\,\,000\left( {2y + 1} \right) + 24\,\,000y = 90\,\,000y + 45\,\,000 + 24\,\,000y = 114\,\,000y + 45\,\,000$.

Số tiền dư là $130\,\,000y - \left( {114\,\,000y + 45\,\,000} \right) = 16\,\,000y - 45\,\,000$.

Vì Phúc còn dư tiền và số dư ít hơn 5000 đồng nên ta có:

$0 < 16\,\,000y - 45\,\,000 < 5\,\,000$

$45\,\,000 < 16\,\,000y < 50\,\,000$.

$45 < 16y < 50$

$\frac{{45}}{{16}} < y < \frac{{50}}{{16}}$

Giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn là $y = 3$.

Số tiền Phúc mang theo ban đầu là $M = 130\,\,000 \cdot 3 = 390\,\,000$ đồng.

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta MOA$ vuông tại $A$ và $\Delta OBA$ vuông tại $A$ có $\widehat {AMO} = \widehat {AOB}$ (cùng phụ với $\widehat {AOM}).$

Do đó $ΔMOA∽ΔOBA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{MA}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{BA}}$ nên $O{A^2} = MA \cdot AB$, hay ${R^2} = MA \cdot AB$.

Diện tích tam giác $MOB$ là: $S = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot OA = \frac{1}{2}\left( {MA + AB} \right)R$.

Theo bất đẳng thức AM-GM, tổng hai độ dài $MA + AB \ge 2\sqrt {MA \cdot AB} = 2\sqrt {{R^2}} = 2R$.

Thay vào công thức diện tích, ta có $S \ge \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot R = {R^2}$.

Diện tích tam giác $MOB$ đạt giá trị nhỏ nhất là ${R^2}$ khi $MA = AB = R$.

Đáp án đúng là: B

$2{x^2} + {y^2} + 2xy + 7x + 7y + 6 = 0$

${x^2} + \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 7\left( {x + y} \right) + 6 = 0$.

${x^2} + {\left( {x + y} \right)^2} + 7\left( {x + y} \right) + 6 = 0$.

Đặt $S = x + y$, phương trình trở thành:

${x^2} + {S^2} + 7S + 6 = 0$ hay ${x^2} = - \left( {{S^2} + 7S + 6} \right)$.

Vì bình phương luôn không âm, ta có điều kiện ${x^2} \ge 0$, dẫn đến $- \left( {{S^2} + 7S + 6} \right) \ge 0$.

Suy ra ${S^2} + 7S + 6 \le 0$

$\left( {S + 1} \right)\left( {S + 6} \right) \le 0$.

$- 6 \le S \le - 1$.

Giá trị lớn nhất là $M = - 1$ và giá trị nhỏ nhất là $m = - 6$.

Tổng cần tìm là $M + m = - 1 + \left( { - 6} \right) = - 7$.