Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Gia Lai (có đáp án)

1. $T = 3\sqrt 2 + 3 - 3\sqrt 2 = 3$.

2. Giải phương trình:

$2x - 1 = 9$

$2x = 10$

$x = 5$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 5$.

3. Giải bất phương trình:

$2x - 3 \le 0$

$2x \le 3$

$x \le \frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \le \frac{3}{2}$.

a) Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x - \sqrt x + 2\sqrt x + 2 - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$.

Vậy với $x \ge 0,x \ne 1$ thì $M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$.

b) Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$M < \frac{1}{2}$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} < \frac{1}{2}$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{2} < 0$

$\frac{{2\sqrt x - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}} < 0$

$\frac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}} < 0$.

Xét thấy $x \ge 0$ do đó $\sqrt x + 1 > 0$ suy ra $\frac{{\sqrt x + 1}}{{2(\sqrt x - 1)}} < 0$ khi và chỉ khi $\sqrt x - 1 < 0$ hay $\sqrt x < 1$ suy ra $x < 1$.

Kết hợp điều kiện $x \ge 0,\,\,x \ne 1$ suy ra $0 \le x < 1$.

Vậy $0 \le x < 1$ thì $M < \frac{1}{2}$.

Vì phương trình có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ nên theo định lí Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = - 6}\end{array}} \right.$.

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình nên ta được: $x_1^2 - 3{x_1} - 6 = 0$ hay $x_1^2 = 3{x_1} + 6$.

Từ đây, ta có bất phương trình như sau:

$2x_1^2 - {x_1}x_2^2 + 7k \ge 0$

$2x_1^2 - \left( {{x_1}{x_2}} \right){x_2} + 7k \ge 0$

$2\left( {3{x_1} + 6} \right) + 6{x_2} + 7k \ge 0$

$6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 12 + 7k \ge 0$

$30 + 7k \ge 0$

$k \ge \frac{{ - 30}}{7}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ cho nên giá trị nhỏ nhất của $k$ là $- 4$.

Vậy $k$ bằng $- 4$ thỏa mãn bài toán.

Gọi $x$ (tấn) là số tấn lương thực mỗi ngày đội xe phải chở theo kế hoạch nên số tấn lương thực mỗi ngày đội xe phải chở theo thực tế là: $x + 10$ (tấn). Điều kiện: $x > 0$.

Thời gian hoàn thành nhiệm vụ theo kế hoạch là: $\frac{{120}}{x}$ (ngày) và theo thực tế là: $\frac{{120}}{{x + 10}}$ (ngày).

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 10}} = 2$.

Giải phương trình:

$\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 10}} = 2$

$\frac{{120\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{120x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = 2$

$120\left( {x + 10} \right) - 120x = 2x\left( {x + 10} \right)$

$120x + 1200 - 120x = 2{x^2} + 20x$

$2{x^2} + 20x - 1200 = 0$

Suy ra $x = 20$ (thỏa mãn) và $x = - 30$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội xe phải chở 20 tấn lương thực.

Thể tích của hình nón là: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot {r^2} \cdot h = \frac{1}{3}\pi \cdot {5^2} \cdot 12 = 100\pi$ (cm$^{3}$).

Độ dài đường sinh của hình nón là: $l=\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{12}^{2}}=13$ (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ (cm$^{2}$).

a) Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega = \left\{ {11;\,\,12;\,\,13;\,\,14;\,\,15;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19;\,\,20;\,\,21;\,\,22;\,\,23;\,\,24;\,\,25;\,\,26} \right\}$.

Do chọn ngẫu nhiên nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

b) Ta có số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 16$.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $\left\{ {11;\,\,13;\,\,17;\,\,19;\,\,23} \right\}$ suy ra $n\left( A \right) = 5$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{16}}$.

1. Do $MA$ và $MB$ lần lượt là tuyến với đường tròn $\left( {O;\,\,R} \right)$ tại $A$ và $B$ nên $\widehat {MAO} = 90^\circ$ và $\widehat {MBO} = 90^\circ$.

Vì $\widehat {MAO} = 90^\circ$ suy ra $\Delta MAO$ vuông tại $A$ do đó 3 điểm $M,\,\,A,\,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Lại có, $\widehat {MBO} = 90^\circ$ suy ra $\Delta MBO$ vuông tại $B$ do đó 3 điểm $M,\,\,B,\,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Do đó 4 điểm $M,\,\,A,\,\,O,\,\,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$ suy ra tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn.

2. *Chứng minh tam giác $MBD$ cân tại $M$

Do $M$ là giao của hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ suy ra $MA = MB$ hay $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ (1).

Lại có $OA = OB$ $\left( { = R} \right)$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $MO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ hay $MO \bot AB$.

Ta có: $BD \bot AB$ (do $\widehat {ABC} = 90^\circ$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $MO \bot AB$ (chứng minh trên nên $MO\,{\rm{//}}\,BD$.

Suy ra $\widehat {MDB} = \widehat {AMO}$ mà $\widehat {AMO} = \widehat {OMB}$ (do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau nên $MO$ là phân giác $\widehat {AMB}$) nên $\widehat {MDB} = \widehat {OMB}$.

Tuy nhiên do $MO\,{\rm{//}}\,BD$ nên $\widehat {OMB} = \widehat {MBD}$ (hai góc ở vị trí so le trong).

Suy ra $\widehat {MDB} = \widehat {MBD}$. Do đó, $\Delta \,MBD$ cân tại $M$.

*Chứng minh $K$ là trung điểm của $BH$

Vì $\Delta \,MBD$ cân tại $M$ nên $DM = MB$ mà $MB = MA$ do đó $DM = MA$.

Ta có: $DM \bot AC$ và $BH \bot AC$ suy ra $DM\,{\rm{//}}\,BH$, nên theo định lí Thales ta được: $\frac{{KH}}{{MA}} = \frac{{CK}}{{CM}} = \frac{{BK}}{{DM}}$ mà $MA = DM$ nên $KH = BK$ hay $K$ là trung điểm của $BH$.

3.

Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $MO$ và $J$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MAB$.

Vì $\Delta MAB$ cân tại $M$ nên $MI$ là phân giác $\widehat {AMB}$ do đó $J$ thuộc $MI$ hay 4 điểm $M,J,I,O$ thẳng hàng. Mặc khác, vì $MAOB$ nội tiếp nên $\widehat {AOJ} = \widehat {MBI}$ mà $\widehat {MBI} = 2\widehat {JBA}$ do đó $\widehat {AOJ} = 2\widehat {JBA}$ nên theo định lí góc nội tiếp thì $J$ phải thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ hay $J$ thuộc $\left( O \right)$.

Ta có các độ dài như sau:

Ta có: $OI = OA - IJ = R - r$, với $r = IJ \le R$.

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta AIO$ vuông tại $I$ ta được:

$AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} = \sqrt {2R \cdot r - {r^2}}$.

Do $\Delta MAO$ vuông tại $A$, dễ chứng minh được

$\frac{1}{{M{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{A{I^2}}}$

${\left( {AO \cdot AI} \right)^2} + M{A^2} \cdot A{I^2} = M{A^2} \cdot A{O^2}$

$M{A^2}\left( {A{O^2} - A{I^2}} \right) = {\left( {AO \cdot AI} \right)^2}$

$MA = \sqrt {\frac{{{{\left( {AO \cdot AI} \right)}^2}}}{{A{O^2} - A{I^2}}}} = \frac{{AO \cdot AI}}{{OI}} = \frac{{R \cdot \sqrt {2R \cdot r - {r^2}} }}{{R - r}}$

$MO = \sqrt {M{A^2} + O{A^2}} = \sqrt {\frac{{{R^2} \cdot \left( {2R \cdot r - {r^2}} \right)}}{{{{\left( {R - r} \right)}^2}}} + {R^2}} = \sqrt {\frac{{{R^2}\left( {2R \cdot r - {r^2} + {R^2} - 2R \cdot r + {r^2}} \right)}}{{{{\left( {R - r} \right)}^2}}}} = \frac{{{R^2}}}{{R - r}}.$

Xét $\Delta OAB$ có $OI$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với $AB$ suy ra $I$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta ABC$ có $I$ là trung điểm của $AB$ và $O$ là trung điểm của $AC$. Suy ra $OI$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $IO = \frac{1}{2}BC$ hay $BC = 2IO$ (3).

Chứng minh tương tự ta được $DB = 2MI$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $BC + BD = 2\left( {IO + MI} \right)$ hay $CD = 2MO = \frac{{2{R^2}}}{{R - r}}$ và $BC = 2OI = 2(R - r)$.

Vì $BH\,{\rm{//}}\,AD$ nên theo định lí Thalès ta được: $\frac{{BH}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{CD}}$.

Mà $AD = 2MA = 2 \cdot \frac{{R \cdot \sqrt {2R \cdot r - {r^2}} }}{{R - r}}$

Suy ra $BH = \frac{{AD \cdot BC}}{{CD}} = \frac{{\frac{{2 \cdot R \cdot \sqrt {2R \cdot r - {r^2}} }}{{R - r}} \cdot 2\left( {R - r} \right)}}{{\frac{{2{R^2}}}{{R - r}}}} = \frac{{2\sqrt {2R \cdot r - {r^2}} \left( {R - r} \right)}}{R}.$

Vậy $BH = \frac{{2\sqrt {2R \cdot r - {r^2}} \left( {R - r} \right)}}{R}$.