Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Trị năm học 2025-2026 có đáp án

1. Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn biểu thức $A = \sqrt {12} - \sqrt 3$.

$A = \sqrt {12} - \sqrt 3$ $A = \sqrt {4.3} - \sqrt 3$ $A = 2\sqrt 3 - \sqrt 3$ $A = \sqrt 3$

Vậy $A = \sqrt 3$

2. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình ${x^2} + 3x - 4 = 0$.

Ta có $a + b + c = 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x = 1$ và $x = - 4$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$ và $x = - 4$

a) Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2} \right)$ vào $\left( {\rm{P}} \right)$, ta được: $2 = a{.1^2}$suy ra: $a = 2$

Vậy $a = 2$.

b) Vì $A$ và $B$ thuộc $\left( {\rm{P}} \right)$ nên ${y_1} = 2x_1^2;{y_2} = 2x_2^2$.

Mà ${y_1} + {y_2} = 10$ nên ta có: $2x_1^2 + 2x_2^2 = 10$.

$2x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 2x_2^2 - 4{x_1}{x_2} = 10$

$2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 10$

Thay ${x_1} + {x_2} = 1$ vào, ta được:

${2.1^2} - 4{x_1}{x_2} = 10$

$4{x_1}{x_2} = 2 - 10$

$4{x_1}{x_2} = - 8$

${x_1}{x_2} = - 2$

Vì ${x_1} + {x_2} = 1$ và ${x_1}{x_2} = - 2$ có ${1^2} > 4$.(-2) nên ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - x - 2 = 0$.

Ta có $a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0$ nên phương trình ${x^2} - x - 2 = 0$ có hai nghiệm $x = - 1$ và $x = 2$

Vì ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_1} = - 1;{x_2} = 2$

Suy ra ${y_1} = 2 \cdot {( - 1)^2} = 2;{y_2} = 2 \cdot {2^2} = 8$

Vậy $A\left( { - 1;2} \right),B\left( {2;8} \right)$.

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là $x\,\,(m,x > 0)$

Khi đó chiều dài ban đầu của mảnh đất đó là: $\frac{{140}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)$

Chiều rộng khi tăng thêm 3 m là: $x + 3\left( {{\rm{\;m}}} \right)$

Chiều dài khi giảm đi 6 m là: $\frac{{140}}{x} - 6\left( {{\rm{\;m}}} \right)$

Vì nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 6 m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

$\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140}}{x} - 6} \right) = 140$

$\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140 - 6x}}{x}} \right) = 140$

$\left( {x + 3} \right)\left( {140 - 6x} \right) = 140x$

$140x - 6{x^2} + 420 - 18x = 140x$

$- 6{x^2} - 18x + 420 = 0$

Giải phương trình trên ta được $x = 7\left( {{\rm{tm}}} \right)$ và $x = - 10\left( {{\rm{ktm}}} \right)$

Vậy chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là 7m .

Thể tích của bể hình lập phương là: ${V_1} = {8^3} = 512{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}$

Thể tích của gàu hình trụ là ${V_2} = \pi {r^2}h \approx 3{,}14 \cdot {\left( {\frac{2}{2}} \right)^2} \cdot 3 = 9{,}42{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}$

Số gàu cần để múc nước để đầy bể là $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{512}}{{9{,}42}} \approx 54{,}35$ (gàu)

Vậy phải múc ít nhất 55 gàu nước để đổ đầy bể.

a) Do $HK \bot AB$ nên $\Delta AHK$ vuông tại $K$ nên ${\rm{A}},{\rm{H}},{\rm{K}}$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH.$
$HI \bot AC$ nên $\Delta AHI$ vuông tại I nên $A,\,\,H,\,\,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ Suy ra ${\rm{A}},{\rm{H}},{\rm{K}},{\rm{I}}$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ hay tứ giác $AKHI$ nội tiếp.
b) Xét $\Delta AHI$ và $\Delta ACH$ có $\widehat {HAC}$ chung và $\widehat {AIH} = \widehat {AHC}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)$
Suy ra nên $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AH}}$ hay $A{H^2} = AI \cdot AC$
Tương tự nên $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}}$ hay $A{H^2} = AB \cdot AK$
Suy ra $AI \cdot AC = AK \cdot AB$ hay $\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}$
Kết hợp với $\widehat {BAC}$ chung nên suy ra
Suy ra $\widehat {AIK} = \widehat {ABC}$ (cặp góc tương ứng)
Ta có $\widehat {AIM} + \widehat {IAM} = \widehat {ABC} + \widehat {CAD} = \widehat {ABC} + \widehat {CBD} = \widehat {ABD} = 90^\circ$ (do chắn đường kính AD)
Suy ra $\Delta AMI$ vuông tại $M$.
Xét $\Delta AMK$ và $\Delta ABD$ có $\widehat {DAB}$ chung và $\widehat {AMK} = \widehat {ABD}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)$
Suy ra suy ra $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AD}}$ hay $AM \cdot AD = AK \cdot AB$
Mà $A{H^2} = AB \cdot AK$ nên $AM \cdot AD = A{H^2}$ hay $\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AD}}$
Kết hợp $\widehat {HAD}$ chung suy ra
Vậy $\widehat {AHM} = \widehat {ADH}$ (hai góc tương ứng) (đpcm)

Chọn 1 số nguyên dương không lớn hơn 400 tức là chọn 1 số trong các số $1{,}2{,}3, \ldots ,400$

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 400$

Gọi $A$ là biến cố chọn được 1 số là bội của 2 hoặc 3 . Khi đó ta có thể chọn được 1 số hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả 2 và 3

TH1: Các số chia hết cho 2 gồm $2{,}4{,}6, \ldots ,400$ có $\frac{{400 - 2}}{2} + 1 = 200$ (số)

TH2: Các số chia hết cho 3 gồm $3{,}6{,}9, \ldots ,399$ có $\frac{{399 - 3}}{3} + 1 = 133$ (số)

TH3: Các số chia hết cho cả 2 và 3 gồm $6{,}12{,}18, \ldots ,396$ có $\frac{{396 - 6}}{6} + 1 = 66$ (số)

Vậy tập các số hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả 2 và 3 có tất cả $200 + 133 - 66 = 267$ số hay $n\left( A \right) = 267$

Vậy xác suất để chọn được 1 số là bội của 2 hoặc 3 là $P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{267}}{{400}}$.