Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Lâm Đồng năm học 2025-2026 có đáp án

Điều kiện

$\begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x \ge - 2\end{array}$

a) Không gian mẫu của phép thử là:

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Thể tích của bồn là

$V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {0{,}6} \right)^2}.(1{,}08) = 0{,}648\pi \approx 2{,}03{m^3}$

Gọi hai kích thước của vườn là a, b (m; x, y>0)

Ta có $a + b = \frac{{200}}{2} = 100$ và $a.b = 2400$

Theo ứng dụng của định lý Viète suy ra a, b là nghiệm của phương trình

${x^2} - 100x + 2400 = 0$

Giải phương trình ta có ${x_1} = 60$; ${x_2} = 40$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy các kích thước của mảnh vườn là 60m và 40m

$AC = AB.\cot C = 120.\cot {30^0} = 120\sqrt 3 \,(cm)$

$AD = AB.\cot BDA = 120.\cot {60^0} = 120\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 40\,\sqrt 3 \,(cm)$ $CD = AC - AD = 120\sqrt 3 - 40\,\sqrt 3 = 80\,\sqrt 3 \,(cm)$

Vận tốc của người đi bộ trên quãng đường CD là

$v = \frac{S}{t} = \frac{{80\sqrt 3 \,(m)}}{{2\,(ph)}} = \frac{{80\sqrt 3 \,(km)}}{{1000}}:\frac{{2\,(ph)}}{{60\,}} = \frac{{12\sqrt 3 \,}}{{5\,}}(km/h) \approx 4{,}16(km/h)$

Xét phương trình ${x^2} + 2\left( {a - b} \right)x + {c^2} = 0$

Ta có: $\Delta ' = {\left( {a - b} \right)^2} - 1.{c^2} = \left( {a - b + c} \right)\left( {a - b - c} \right)$

Theo bất đẳng thức tam giác ta luôn có

$a + c > b$ và $a < b - c$nên $a + c - b > 0$ và $a - b - c < 0$

Do đó $\left( {a - b + c} \right)\left( {a - b - c} \right) < 0$ hay $\Delta < 0$

Vậy phương trình ${x^2} + 2\left( {a - b} \right)x + {c^2} = 0$ vô nghiệm.

Đặt $BC = x$

Khi đó $AB = 2\sqrt {25 - {x^2}}$

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

$S = CD.AB = x.2\sqrt {25 - {x^2}} = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \,(c{m^2})$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

${x^2} + \left( {25 - {x^2}} \right) \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)}$ hay $25 \ge 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)}$

Hay $S = 2\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le 25$

Dấu bằng xảy ra khi ${x^2} = 25 - {x^2}$ suy ra ${x^2} = \frac{{25}}{2}$hay $x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$

Vậy diện tích lớn nhát của hình chữ nhật là $25\,c{m^2}$ khi $x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$