Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Khánh Hòa năm học 2025-2026 có đáp án

a) Tính giá trị biểu thức $A = \sqrt 4 + \sqrt {64} - \sqrt {81}$.

Ta có:$A = \sqrt 4 + \sqrt {64} - \sqrt {81}$

$\, = 2 + 8 - 9 = 1$

Vậy $A = 1$.

b) Giải bất phương trình $5x - 12 \le 2x + 3$.

Ta có: $5x - 12 \le 2x + 3$

$\begin{array}{l}3x \le 15\\x \le 5\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \le 5$.

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{4}{x^2}$.

Bảng giá trị

Đồ thị

b) Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 3x - 5 = 0$. Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức $B = x_1^2 + x_2^2$ và $C = x_1^2 + {x_2}\left( {{x_1} + 3} \right) - 4$.

Xét phương trinh ${x^2} - 3x - 5 = 0$ có $a = 1;b = - 3;c = - 5$

Vì $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 29 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng dịnh lý Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1},{x_2} = - 5}\end{array}} \right.$

Khi đó ta có:

$B = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot \left( { - 5} \right) = 19$

$C = x_1^2 + {x_2}\left( {{x_1} + 3} \right) - 4$

$C = x_1^2 + {x_2}\left( {{x_1} + {x_1} + {x_2}} \right) - 4 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 4 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4 = {3^2} - 4 = 5$

Gọi $x,y$ (triệu đồng) lần lượt là doanh thu của mỗi hãng taxi A và B trong ngày thứ nhất.

(ĐK: $0 < x,y < 90$)

Vì tổng doanh thu của hai hãng trong ngày thứ nhất là $90$(triệu đồng) nên ta có phương

trình: $x + y = 90$ (1).

Trong ngày thứ hai:

• Doanh thu của hãng A tăng $20\%$ nên doanh thu của hãng A là: $x + 0{,}2x = 1{,}2x$ (triệu đồng)

• Doanh thu của hãng B giảm $10\%$ nên doanh thu của hãng B là: $y - 0{,}1y = 0{,}9y$ (triệu đồng)

Vì tổng doanh thu của hai hãng trong ngày thứ hai là $93$(triệu đồng) nên ta có phương trình: $1{,}2x + 0{,}9y = 93$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\1{,}2x + 0{,}9y = 93\end{array} \right.$

Nhân $2$ vế của phương trình thứ nhất cho $1{,}2$ta được hệ: $\left\{ \begin{array}{l}1{,}2x + 1{,}2y = 108\\1{,}2x + 0{,}9y = 93\end{array} \right.$

Trừ từng vế của hai phương trình ta được: $0{,}3y = 15$, suy ra $y = 50$.

Thế $y = 50$ vào phương trình $x + y = 90$, ta được: $x + 50 = 90$, suy ra $x = 40$

Hệ phương trình có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 50\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy doanh thu của mỗi hãng trong ngày thứ nhất là:

Hãng A: $40$ triệu đồng; Hãng B: $50$ triệu đồng.

Gọi $A$ là biến cố “viên bi nằm trong ô vuông màu đen”.

Từ hình vẽ ta đếm được có 31 ô vuông màu đen.

Do đó có 31 kết quả thuận lợi của biến cố $A$ hay $n\left( A \right) = 31$.

Có tất cả $13.9 = 117$ ô vuông. Do đó có $117$ kết quả có thể xảy ra hay $n\left( \Omega \right) = 117$.

Vậy xác suất để viên bi nằm trong ô vuông màu đen là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{31}}{{117}}$.

Bán kính của đường tròn đáy ly là: $r = 6{,}8:2 = 3{,}4$ (cm).

Thể tích chiếc ly là: $V = \pi .{r^2}.h \approx 3{,}14.{(3{,}4)^2}.11{,}2 \approx 406{,}54$ ($c{m^3}$)

Lượng nước trung bình bạn Bình uống mỗi ngày là:

$70\% .V.\,8\; \approx 0{,}7.\,406{,}54.\,8\; \approx 2276{,}62$($c{m^3}$) = $2{,}27662\,\,\left( l \right)$

Vì $2{,}27662 > 2$ nên bạn Bình uống đủ nước theo khuyến cáo.

a) Chứng minh bốn điểm $B,C,E,F$cùng thuộc một đường tròn.

Vì $BE,\,CF$là hai đường cao của $\Delta ABC$nên $BE \bot AC,\,\,\,CF \bot AB$.

Do$\Delta BEC$ vuông tại $E$ nên 3 điểm $B,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Do$\Delta BFC$ vuông tại $F$ nên 3 điểm $B,F,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Vậy 4 điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Đường kính $AM$của đường tròn $\left( O \right)$cắt đường thẳng

$CF$tại điểm $P$. Chứng minh $\widehat {BAD} = \widehat {CAM}$ và $AP.BH = AH.CP$.

Do $AM$ là đường kính nên $\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có $\widehat {BAD} + \widehat {ABD} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABD$vuông tại $D$) và $\widehat {CAM} + \widehat {AMC} = 90^\circ$ (vì $\Delta ACM$vuông tại $C$) Mà $\widehat {ABD} = \widehat {AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$) nên suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {CAM}$

Xét $\Delta APC$và $\Delta AHB$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\,\,\,(cmt)$

$\widehat {ABH} = \widehat {ACP}\,\,\,$(góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$)

Suy ra

Nên $\frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{PC}}{{HB}}$ hay $AP.HB = AH.PC$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, đường thẳng$AI$cắt $EF$tại $K$. Gọi $N$là hình chiếu vuông góc

của $K$ trên $BC$. Chứng minh $AN$đi qua trung điểm của $EF$.

Gọi $G$ là trung điểm của $EF$, $J$ là giao điểm của $AM$và $EF$, $AG$ cắt $BC$ tại $N'$.

Ta sẽ chứng minh $KN' \bot BC$.

Ta có: $\widehat {AEJ} + \widehat {EAJ} = \,\,\,\widehat {ABC} + \widehat {CBM} = \widehat {ABM} = 90^\circ$ nên $\Delta AJE$vuông tại $J$.

Do nên $\frac{{A\,E}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2GF}}{{2IC}} = \frac{{GF}}{{IC}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Kết hợp với $\widehat {AFG} = \widehat {ACI}$(cùng cộng $\widehat {BFE}$ bằng $180^\circ \,).$

Suy ra

Khí đó $\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\,\,\,$và $\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Tương tự ta có (do $\widehat {BAG} = \widehat {KAE}$và $\widehat {AEK} = \widehat {ABI}$)

Nên $\frac{{AK}}{{AN'}} = \frac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AK}}{{AN'}}\,\,\,\,$

Mà $\widehat {N'AI}$ chung nên suy ra $\widehat {AN'K} = \widehat {AIG}\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

$\Delta IEF$cân tại $I$ (do $IE = IF$) có $IG$là đường trung tuyến nên cũng đồng thời là đường cao.

Suy ra $IG$//$AO$(vì cùng vuông góc với $EF$). Do đó $\widehat {GIA} = \widehat {IAO}\,$(so le trong)

Lại có $\widehat {BAG} = \widehat {KAE}\,\,\left( {cmt} \right)$ và $\widehat {FAH} = \widehat {JAE}\,\,\left( {cmt} \right)$nên $\widehat {IAO}\, = \widehat {GAH}$

Suy ra $\widehat {GIA} = \widehat {GAH}\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$

Từ (4) và (5) suy ra $\widehat {AN'K} = \widehat {GAH}\,$nên $KN'$//$AD$ (so le trong)

Mà $AD \bot BC$nên$KN' \bot BC$. Ta lại có $KN \bot BC\,\,\left( {gt} \right)$

Suy ra $N' \equiv N$hay $AN$đi qua trung điểm $G$của $EF$. (đpcm)

Gọi số lần tăng giá một chiếc áo là $x$ (nghìn đồng), $x \ge 0$.

Vì mỗi lần tăng 20 nghìn đồng nên giá bán mới cho mỗi chiếc áo là $P = 330 + 20x$ (nghìn đồng)

Số lượng áo bán được khi tăng giá là $13\,\,500 - 900x$ (cái).

Lợi nhuận khi bán một chiếc áo là $330 + 20x - 190 = 140 + 20x$ (nghìn đồng)

Tổng lợi nhụn thu được khi täng giá là: $\left( {13500 - 900x} \right) \cdot \left( {140 + 20x} \right)$ (nghìn đồng)

Ta có

$\begin{array}{l}\left( {13\,\,500 - 900x} \right).\left( {140 + 20x} \right)\\ = - 18\,\,000{x^2} + 144\,\,000x + 1\,\,890\,\,000\\ = - 18\,\,000\left( {{x^2} - 8x} \right) + 1\,\,890\,\,000\\ = - 18\,\,000\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 10} \right] + 1\,\,890\,\,000\end{array}$

$= - 18\,\,000.{\left( {x - 4} \right)^2} + 2\,\,178\,\,000 \le 2\,\,178\,\,000$ vì $- 18\,\,000{(x - 4)^2} \le 0,x \in \mathbb{R}$.

Suy ra tổng lợi nhuận thu được lớn nhất bằng $1\,\,278\,\,000$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = 4$ (lần)

Vậy số lần tăng giá một chiếc áo là 4 lần và giá bán mỗi chiếc áo là $P = 330 + 20.4 = 410$ (nghìn đồng).