Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hòa Bình năm học 2025-2026 có đáp án

$$\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 1\,(1)\\x + y = 3\,(2)\end{array} \right.$$

Từ phương trình $(2)$, ta có $y = 3 - x$$(3)$.

Thế vào phương trình $(1)$, ta được

$$\begin{array}{l}3x - (3 - x) = 1\\3x - 3 + x = 1\\4x = 4\\x = 1\end{array}$$

Thay $x = 1$ vào phương trình $(3)$, ta có

$$y = 3 - 1 = 2$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = (1;2)$.

$$\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) - 3 = 0\\2(x + 1) = 3\\x + 1 = \frac{3}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{2}$

$$2{x^2} - 6x + 1 = 0$$

(với $a = 2;b = - 6;c = 1$)

Có $\Delta = {( - 6)^2} - 4.2.1 = 28 > 0$

Do $\Delta > 0$ nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}.{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $B = x_1^2 + x_2^2 + 2025 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} + 2025 = {3^2} - 2.\frac{1}{2} + 2025 = 2033$.

Gọi ${V_1}$ là thể tích phần hình trụ, khi đó

$${V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.0{,}9^2}.3{,}2 = 2{,}592\pi \,({m^3})$$

Gọi ${V_2}$ là thể tích phần hai bán cầu, do mỗi đầu của bồn chứa nước là nửa hình cầu nên ta ghép lại được thành một hình cầu.

Khi đó ${V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.0{,}9^3} = 0{,}972\pi \,({m^3})$.

Gọi $V$ là thể tích của cả bồn, khi đó

$$V = {V_1} + {V_2} = 2{,}592\pi + 0{,}972\pi = 3{,}564\pi \,({m^3})$$

Thể tích nước của mỗi hộ dân nhận được là

$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{4}{{x - 2}} + \frac{2}{{y + 1}} = 1 - x - 2y\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$$

Điều kiện xác định: $x \ne 2,y \ne - 1$

Từ $(2)$ ta có

$$\begin{array}{l}\frac{4}{{x - 2}} + \frac{2}{{y + 1}} = 1 - x - 2y\\\frac{4}{{x - 2}} + x + \frac{2}{{y + 1}} + 2y = 1\\\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2} + 2y + 2}}{{y + 1}} = 1\\\frac{{{x^2} - 2(x - 2)}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2} + 2(y + 1)}}{{y + 1}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - 2 + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} + 2 = 1\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}$$

Từ $(1)$ và $(3)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = 13\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} = 1\end{array} \right.$

Từ đó ta suy ra được $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = 9\\\frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = - 4\end{array} \right.$

Hay $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9x + 18 = 0\\{y^2} + 4y + 4 = 0\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên ta được các cặp số $(x;y)$ là $(3; - 2)$ và $(6; - 2)$.

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn hệ phương trình và thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $(3; - 2)$ và $(6; - 2)$

Gọi độ dài chiều rộng đáy bể là $x(m)$, chiều cao đáy bể là $y(m)$ $(x > 0,y > 0)$.

Khi đó, chiều dài đáy bể là $2x(m)$.

Do thể tích của bể bằng $45{m^3}$ nên ta có $2{x^2}y = 45$.

Diện tích đáy bể là $2{x^2}$ nên số tiền thuê nhân công là $300\,\,000.2{x^2} = 600\,\,000{x^2}$ (đồng).

Diện tích xung quanh đáy bể là $6xy$ nên số tiền thuê nhân công là $240\,\,000.6xy = 1\,\,400\,\,000xy$(đồng).

Gọi $T$ là tổng số tiền thuê nhân công để xây bể thì $T = 600\,\,000{x^2} + 1\,\,400\,\,000xy$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta có:

$$\begin{array}{l}T = 600\,\,000{x^2} + 1\,\,400\,\,000xy = 120\,\,000\left( {5{x^2} + 12xy} \right) = 120\,\,000(5{x^2} + 6xy + 6xy)\\ \ge 120\,\,000 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{5{x^2} \cdot 6xy \cdot 6xy}} = 3\,\,600\,\,000 \cdot \sqrt[3]{{180{{\left( {{x^2}y} \right)}^2}}} = 3\,\,600\,\,000.\sqrt[3]{{45{{\left( {2{x^2}y} \right)}^2}}}\\ = 3\,\,600\,\,000 \cdot \sqrt[3]{{45 \cdot {{45}^2}}} = 3\,\,600\,\,000 \cdot 45 = 16200\,\,000\end{array}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $5{x^2} = 6xy,2{x^2}y = 45$, suy ra $x = 3,y = 2{,}5$

Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là $16{,}2$ triệu đồng.