Lời giải Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2025-2026 có đáp án

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Lớp $9A$ có bao nhiêu học sinh đã dành thời gian tự học mỗi ngày từ $40$ phút đến dưới $120$ phút là: $12 + 10 + 6 + 4 = 32$
b) Tính tần số tương đối của nhóm $\left[ {60;\;80} \right)$ .
Tần số tương đối của nhóm $\left[ {60;\;80} \right)$ là: $f = \frac{{10}}{{40}} \cdot 100\%$ .
$f = 25\%$
Bạn Hải viết ngẫu nhiên một số trong tập hợp $\left\{ {1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12} \right\}$ . Tính xác suất để bạn Hải viết được một số không chia hết cho $5$ .	Bạn Hải viết ngẫu nhiên một số trong tập hợp $\left\{ {1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8;\;9;\;10;\;11;\;12} \right\}$ . Tính xác suất để bạn Hải viết được một số không chia hết cho $5$ .
Số phần tử của không gian mẫu là: $12$

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi biến cố $A$ : “bạn Hải lấy được thẻ ghi số không chia hết cho $5$ ”.

Có $10$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $1;\;2;\;3;\;4;\;6;\;7;\;8;\;9;\;11;\;12$ .

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}$

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Từ phương trình ta có $2x + 6 = 0$ hoặc $5 - x = 0$
Do đó nghiệm của phương trình là $x = - 3$ hoặc $x = 5$

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

$A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}} \right)$
$A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}} \right)$ $A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{x - 2 - \left( {\sqrt x - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{x - 2 - \left( {x + \sqrt x - 2} \right) + \left( {x + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$
$A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{x} = \sqrt x - 3$

A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}} \right)

A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}} \right)

A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{x - 2 - \left( {\sqrt x - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}

A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{x - 2 - \left( {x + \sqrt x - 2} \right) + \left( {x + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}

A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}

A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 2}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{x} = \sqrt x - 3

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét phương trình $2{x^2} - 10x + 3 = 0$ có $\Delta ' = 25 - 6 = 19 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\;{x_2}$ . Theo định lý Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.$ . Suy ra phương trình có hai nghiệm dương.
Ta có: $\sqrt {24{x_1} - 5} = \sqrt {2\left( {10{x_1} - 3} \right) + 4{x_1} + 1} = \sqrt {4x_1^2 + 4{x_1} + 1}$ $= \sqrt {{{\left( {2{x_1} + 1} \right)}^2}} = \left\vert {2{x_1} + 1} \right\vert = 2{x_1} + 1$ Suy ra $\sqrt {24{x_1} - 5} + 2{x_2} + 2025 = 2{x_1} + 1 + 2{x_2} + 2026$ $= 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2027 = 2037$
Ta có: $25 - 2{x_1} - 8{x_2} = 25 - \left[ {5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right] = 25 - \left( {25 - 3\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} } \right)$ $= 3\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} = 3\sqrt {25 - 6} = 3\sqrt {19}$ Vậy $T = \frac{{2037}}{{3\sqrt {19} }} = \frac{{679\sqrt {19} }}{{19}}$

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi $x,\;y$ lần lượt là số áo sơ mi mà tổ $A$ và tổ $B$ sản xuất được trong tháng thứ nhất $\left( {x,\;y \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ .
Ta có: $x + y = 900$
Số áo sơ mi hai tổ sản xuất được trong tháng thứ hai nhiều hơn tháng đầu là: $1\;100 - 900 = 200$ nên $0{,}25.x + 0{,}2.y = 200$ ,
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\0{,}25.x + 0{,}2.y = 200\end{array} \right.$ . Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 400\\y = 500\end{array} \right.$ Vậy tháng thứ nhất tổ $A$ sản xuất được $400$ (áo sơ mi) và tổ $B$ sản xuất được $500$ (áo sơ mi)

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi $x$ là số xe ban đầu của đội ( $x > 5;\;x \in \mathbb{N}$ )
Số tấn hàng ban đầu mỗi xe phải chở là $\frac{{360}}{x}$
Số tấn hàng mỗi xe phải chở sau khi $5$ xe được điều chuyển là $\frac{{360}}{{x - 5}}$
Theo bài ra ta có phương trình $\frac{{360}}{x} = \frac{{360}}{{x - 5}} - 6$ Suy ra ${x^2} - 5x - 300 = 0$ . Giải phương trình ta được $x = 20$ hoặc $x = - 15$ . Vậy đội ban đầu có $20$ xe.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Bán kính đáy cốc nước là $R = 4\;cm$
Diện tích xung quanh của cốc nước $S = 2.\pi .R.h = 2.\pi .4.25 \approx 628\;\left( {c{m^2}} \right)$

b) Thể tích của cốc nước là $V = \pi {.4^2}.25 = 400\pi \left( {c{m^3}} \right)$ Thể tích của nước trong cốc là ${V_1} = \pi {.4^2}.22 = 352\pi \left( {c{m^3}} \right)$ Thể tích của mỗi viên bi là ${V_2} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$
Giả sử cần thả vào cốc nước số viên bi là $n\;\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ . Khi đó $V < {V_1} + n{V_2}$ suy ra $400\pi < 352\pi + n \cdot \frac{{32}}{3}\pi$ do đó $n > 4{,}5$ . Vậy cần thả vào cốc ít nhất $5$ viên bi

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý


a) $\widehat {AHC} = 90^\circ$ nên điểm $H$ thuộc đường tròn đường kính $AC$ .
$\widehat {AEC} = 90^\circ$ nên điểm $E$ thuộc đường tròn đường kính $AC$ .
Do đó tứ giác $AHEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$ .
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh $\widehat {CIE} = \widehat {COE}$ và tam giác $HIE$ cân tại $I$ .	Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh $\widehat {CIE} = \widehat {COE}$ và tam giác $HIE$ cân tại $I$ .
* Chứng minh $\widehat {CIE} = \widehat {COE}$ Tam giác $OBC$ cân tại $O$ $\left( {OB = OC = R} \right)$ , có $OI$ là đường trung tuyến ( $I$ là trung điểm của $BC$ ) nên $OI$ cũng là đường cao hay $OI \bot BC$ , syu ra $\widehat {OIC} = 90^\circ$ do đó điểm $I$ thuộc đường tròn đường kính $OC$ .
b) $\widehat {OEC} = 90^\circ$ do đó điểm $E$ thuộc đường tròn đường kính $OC$ . Vậy tứ giác $OIEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$ , suy ra $\widehat {CIE} = \widehat {COE}$ .
* Chứng minh tam giác $HIE$ cân tại $I$ .
Ta có: $\widehat {CIE} = \widehat {IHE} + \widehat {IEH}$ $\widehat {COE} = 2\widehat {CAE} = 2\widehat {CHE}$
Theo chứng minh trên $\widehat {CIE} = \widehat {COE}$ nên $\widehat {IHE} + \widehat {IEH} = 2\widehat {CHE}$ suy ra $\widehat {IEH} = \widehat {IHE}$ do đó tam giác $HIE$ cân tại $I$ .
c) Trong trường hợp $BA < BD$ , trên đoạn thẳng $HM$ lấy điểm $P$ sao cho $\widehat {APB} = 90^\circ$ . Chứng minh ba điểm $O,\;P,\;B$ thẳng hàng.	c) Trong trường hợp $BA < BD$ , trên đoạn thẳng $HM$ lấy điểm $P$ sao cho $\widehat {APB} = 90^\circ$ . Chứng minh ba điểm $O,\;P,\;B$ thẳng hàng.
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $\widehat {OBA} = \widehat {OAB}$ Ta có $\widehat {BOA} = 2\widehat {BCA}$ suy ra $180^\circ - \left( {\widehat {OBA} + \widehat {OAB}} \right) = 2\widehat {BCA}$ Hay $180^\circ - 2\widehat {OBA} = 2\widehat {BCA}$ nên $\widehat {OBA} + \widehat {BCA} = 90^\circ$ $\left( 1 \right)$ Mà $\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \;\left( 2 \right)$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = \widehat {OBA} + \widehat {BCA}$ nên $\widehat {HAC} = \widehat {OBA}\;\left( 3 \right)$
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ , $M$ là trung điểm $AC$ nên $MA = MH$ do đó tam giác $MAH$ cân tại $M$ nên $\widehat {MAH} = \widehat {MHA}\;\left( 4 \right)$ Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta có $\widehat {OBA} = \widehat {MHA}$ $\left( * \right)$
Tứ giác $ABHP$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat {ABP} = \widehat {AHP}$ $\left( {**} \right)$
Từ $\left( * \right),\;\left( {**} \right)$ ta có $\widehat {ABO} = \widehat {ABP}$ nên hai tia $BP,\;BO$ trùng nhau, do đó $3$ điểm $O,\;P,\;B$ thẳng hàng

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền mà trang trại bán tăng thêm cho $1\;kg$ $\left( {x > 0} \right)$ . Khi đó giá bán mới là $20 + x$ (nghìn đồng) Cứ mỗi lần tăng giá bán thêm $1\;000$ đồng cho $1\;kg$ , số rau thừa lại tăng thêm $30\;kg$ nên khi tăng thêm $x$ (nghìn đồng) thì số rau thừa là $30.x\;\left( {kg} \right)$ . Sau khi tăng giá: số sau bán với giá $20 + x$ (nghìn đồng) là $1\;500 - 30x\;\left( {kg} \right)$ ; số ra được bán với giá $6$ (nghìn đồng) là $30.x\;\left( {kg} \right)$ Khi đó tổng số tiền bán rau là: $T\left( x \right) = \left( {20 + x} \right).\left( {1\;500 - 30x} \right) + 6.30x$
$T\left( x \right) = - 30{x^2} + 1080x + 30\;000$ $= - 30\left[ {{{\left( {x - 18} \right)}^2} - 324} \right] + 30\;000 = - 30{\left( {x - 18} \right)^2} + 39720 \le 39720$ Vậy số tiền lớn nhất mà trang trại thu được là $39720$ (nghìn đồng) khi $x = 18$

Gọi

x

(nghìn đồng) là số tiền mà trang trại bán tăng thêm cho

1\;kg

\left( {x > 0} \right)

. Khi đó giá bán mới là

20 + x

(nghìn đồng) Cứ mỗi lần tăng giá bán thêm

1\;000

đồng cho

1\;kg

, số rau thừa lại tăng thêm

30\;kg

nên khi tăng thêm

x

(nghìn đồng) thì số rau thừa là

30.x\;\left( {kg} \right)

. Sau khi tăng giá: số sau bán với giá

20 + x

(nghìn đồng) là

1\;500 - 30x\;\left( {kg} \right)

; số ra được bán với giá

6

(nghìn đồng) là

30.x\;\left( {kg} \right)

Khi đó tổng số tiền bán rau là:

T\left( x \right) = \left( {20 + x} \right).\left( {1\;500 - 30x} \right) + 6.30x

T\left( x \right) = - 30{x^2} + 1080x + 30\;000

= - 30\left[ {{{\left( {x - 18} \right)}^2} - 324} \right] + 30\;000 = - 30{\left( {x - 18} \right)^2} + 39720 \le 39720

Vậy số tiền lớn nhất mà trang trại thu được là

39720

(nghìn đồng) khi

x = 18