Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Nam năm học 2025-2026 có đáp án

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 7\\x + 2y = 4\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = - 14\\x + 2y = 4\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}5x = - 10\\x + 2y = 4\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\x + 2y = 4\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3\end{array} \right.$$

Vậy hệ phương trình đã có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;3} \right)$.

Gọi điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{1}{4}{x^2}$ và có tung độ bằng 4

Thay $y = 4$ vào công thức hàm số $y = \frac{1}{4}{x^2}$ ta được $4 = \frac{1}{4}{x^2}$ hay ${x^2} = 16$ do đó $x = \pm 4$.

Vậy toạ độ các điểm cần tìm là: ${M_1}\left( {4;4} \right)$ hoặc ${M_2}\left( { - 4;4} \right)$.

Xét phương trình ${x^2} - 7x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2 = 41 > 0$ nên phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7 > 0\\{x_1}.{x_2} = 2 > 0\end{array} \right.$ nên ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm dương phân biệt.

Vì ${x_2}$ là nghiệm phương trình ${x^2} - 7x + 2 = 0$ nên ta có: $x_2^2 - 7{x_2} + 2 = 0$ hay $x_2^2 = 7{x_2} - 2$

Suy ra: $2x_2^2 - {x_2} + 11 = x_2^2 - {x_2} + 11 + x_2^2 = x_2^2 - {x_2} + 11 + 7{x_2} - 2$$= x_2^2 + 6{x_2} + 9 = {\left( {{x_2} + 3} \right)^2}$

Khi đó: $T = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 3} \right)}^2}} = \left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 3} \right|$$= {x_1} + 1 + {x_2} + 3$ ( vì ${x_1},{x_2} > 0 \Rightarrow {x_1} + 1 > 0,{x_2} + 3 > 0$) hay $T = {x_1} + {x_2} + 4 = 11$.

Vậy $T = 11$.

1) Ta có: $P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{8}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}$$= \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} - \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} - \frac{8}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 1 - x + 2\sqrt x - 1 - 8}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{4\sqrt x - 8}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{4\sqrt x - 8}}{{\sqrt x }}$

Vậy $P = \frac{{4\sqrt x - 8}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$ và $x \ne 1$.

2) Để $\left| P \right| + P = 0$ thì $\left| P \right| = - P$ nên $P \le 0$ do đó $\frac{{4\sqrt x - 8}}{{\sqrt x }} \le 0$ mà $x > 0$ nên $\sqrt x > 0$ hay $4\sqrt x - 8 < 0$

Do đó $\sqrt x < 2 \Rightarrow x < 4$. Kết hợp điểu kiện $x \in \mathbb{Z},x > 0,x \ne 1$ nên $x \in \left\{ {2;3} \right\}$ (thử lại thoả mãn).

Vậy $x \in \left\{ {2;3} \right\}$ thì $\left| P \right| + P = 0$.

Gọi số xe công ty Y dự định sử dụng lúc đầu là $x$ (xe), điều kiện: $x \in N$.

Khi đó số tấn hàng theo dự định mỗi xe phải chở là: $\frac{{80}}{x}$ (tấn).

Vì trước khi khởi hành, do phát sinh công ty Y phải chở thêm $4$ tấn hàng nữa, vì thế công ty đã điều thêm $2$ xe cùng tham gia vận chuyển nên số tấn hàng mỗi xe phải chở lúc này là: $\frac{{80 + 4}}{{x + 2}} = \frac{{84}}{{x + 2}}$ (tấn).

Theo bài ra,ta có: $\frac{{80}}{x} - \frac{{84}}{{x + 2}} = 1$

$$80\left( {x + 2} \right) - 84x = x\left( {x + 2} \right)$$

$$160 - 4x = {x^2} + 2x$$

$${x^2} + 6x - 160 = 0$$

$$\left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {t/m} \right)\\x = - 16\left( l \right)\end{array} \right.$$

Vậy ban đầu, công ty Y dự định sử dụng $10$ xe.

a) Bảng tần số tương đối của bảng tần số trên là:

b) Số học sinh có thời gian tự học ít nhất $3$ giờ trong một ngày là: $6 + 3 + 2 = 11$ (học sinh).

Tỉ lệ phần trăm số học sinh có thời gian tự học ít nhất $3$ giờ trong một ngày là: $\frac{{11}}{{20}}.100\% = 55\%$

a) Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên $\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^{\rm{o}}}$

Suy ra hai tam giác $\Delta MAO,\Delta MBO$ lần lượt vuông góc tại $A,B$

Do đó $M,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$ và $M,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Vậy $4$ điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {CBF} = \widehat {CDF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CF$)

Xét $\Delta EBC$ và $\Delta EDF$ có:

$\widehat {CBE} = \widehat {FDE}$ (cmt), $\widehat {CEB} = \widehat {FED}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó (g.g).

c) Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $OC = OD = R$ nên tam giác $OCD$ cân tại $O$ do đó đường trung tuyến $OE$ đồng thời là đường cao nên $OE \bot CD$.

Khi đó $\Delta MOE$ vuông tại $E$ nên $E$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ hay $5$ điểm $M,A,E,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

Do đó $\widehat {AEM} = \widehat {AOM}$, $\widehat {MEB} = \widehat {MOB}$.

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$ hay $\widehat {AOM} = \widehat {BOM}$ suy ra: $\widehat {AEM} = \widehat {BEM}$ nên $EM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AEB}$.

d)

Ta có $\widehat {BEM} = \widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOA} = \widehat {AFB}$ nên $CD{\rm{//}}AF$ do đó ${S_{MFD}} = {S_{MAD}}$

Mà: ${S_{MAD}} = \frac{1}{2}DH.AM \le \frac{1}{2}AM.AD \le \frac{1}{2}.AM.2R = AM.R$ không đổi do $AM,R$ không đổi

Do đó ${S_{MFD}}$ đạt giá trị lớn nhất là $AM.R$ khi $AD$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$.

Hạ $AH \bot BC$, gọi $AH$ cắt $PQ$ tại $K$.

Ta có $PQ{\rm{//}}BC$ nên $QK{\rm{//}}BH$ và $PK{\rm{//C}}H$ do đó $\frac{{QK}}{{BH}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{PK}}{{CH}} = \frac{{QK + PK}}{{BH + CH}} = \frac{{PQ}}{{BC}}$ (1)

Kí hiệu $MQ = x,PQ = y$ thì $KH = MQ = x$ (đk: $x,y > 0$)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100$ (định lý pytago) nên $BC = 10$.

Khi đó: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC$ nên $AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = \frac{{24}}{5}$

Từ (1), ta có: $\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{PQ}}{{BC}}$ nên $1 - \frac{{KH}}{{AH}} = \frac{{PQ}}{{BC}}$$\Rightarrow 1 - \frac{x}{{\frac{{24}}{5}}} = \frac{y}{{10}}$

Hay $1 = \frac{{5x}}{{24}} + \frac{y}{{10}} \ge 2\sqrt {\frac{{5x}}{{24}}.\frac{y}{{10}}}$$\Rightarrow \frac{1}{4} \ge \frac{{xy}}{{48}}$ hay $xy \le 12$$\Rightarrow {S_{MNPQ}} = xy \le 12$

Do đó, diện tích mảnh vườn thực nghiệm lớn nhất là: $12\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Số tiền để nhà trường làm mảnh vườn có diện tích lớn nhất là: $12.1{,}2 = 14{,}4$ (triệu đồng).