Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 UBND phường Ba Đình (Hà Nội) lần 3 có đáp án

Tần số ghép nhóm của nhóm $\left[ {158\,;\,\,161} \right)$ là 8.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {158\,;\,\,161} \right)$ là $\frac{8}{{40}} \cdot 100\% = 20\% .$

Vì đĩa được chia thành 12 phần bằng nhau ghi số từ 1 đến 12 nên số kết quả có thể là 12 và các kết quả là đồng khả năng.

Các số từ 1 đến 12 chia hết cho 4 là $\left\{ {4\,;\,\,8\,;\,\,12} \right\}$ nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3.

Xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}.$

Vậy xác suất của biến cố A là $\frac{1}{4}$.

a) Thay $x = 4$ (TMĐK) vào biểu thức ta được: $A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4 - 3}} = \frac{2}{{2 - 3}} = - 2$.

Vậy $x = 4$ thì $A = - 2$.

b) Ta có $B = \frac{{2x}}{{x - 9}} + \frac{{\sqrt x }}{{3 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0;x \ne 9$

$B = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$= \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{2x - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

c) Để $P$ xác định thì $B \ne 0$ suy ra $\sqrt x \ne 0$ nên $x \ne 0$

Kết hợp ĐKXĐ suy ra: $x > 0;x \ne 9$.

Ta có : $P = \frac{A}{B}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$

Xét ${P^3} - 27 = 0$ nên ${P^3} = 27 = {3^3}$

Suy ra: $P = 3$

$\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 3$

$$3\left( {\sqrt x - 3} \right) = \sqrt x + 3$$

$$3\sqrt x - 9 = \sqrt x + 3$$

$$2\sqrt x = 12$$

$$\sqrt x = 6$$

$x = 36$ (thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy $x = 36$ thì ${P^3} - 27 = 0$.

Gọi $x,\,\,y$ (đồng) lần lượt là tiền điện, tiền nước của nhà bác Mai trong tháng 5 $\left( {x,\,\,y > 0} \right).$

Trong tháng 5, tiền điện và tiền nước là $1\,\,890\,\,000$ đồng nên ta có phương trình:

$x + y = 1\,\,890\,\,000$ (1)

Vì tháng 6 tiền điện tăng $30\%$, tiền nước tăng $20\%$ so với tháng 5 và tổng số tiền điện và tiền nước tháng 6 là $2\,\,433\,\,000$ đồng nên ta có phương trình:

$130\% x + 120\% y = 2\,\,433\,\,000$

$1{,}3x + 1{,}2y = 2\,\,433\,\,000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,890\,\,000\\1{,}3x + 1{,}2y = 2\,\,433\,\,000\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất, ta có $y = 1\,\,890\,\,000 - x$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có

$1{,}3x + 1{,}2\left( {1\,\,890\,\,000 - x} \right) = 2\,\,433\,\,000$

$1{,}3x + 2\,\,268\,\,000 - 1{,}2x = 2\,\,433\,\,000$

$0{,}1x = 165\,\,000$

$x = 1\,\,650\,\,000$ (thỏa mãn)

Suy ra $y = 1\,\,890\,\,000 - 1\,\,650\,\,000 = 240\,\,000$ (thỏa mãn).

Vây tháng 5 tiền điện là $1\,\,650\,\,000$ đồng, tiền nước là $240\,\,000$ đồng.

Gọi $x$ là số sản phẩm công nhân phải làm trong một ngày theo kế hoạch $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Số ngày dự định làm xong 480 sản phẩm là $\frac{{480}}{x}$ (ngày).

Mỗi ngày làm được $x + 4$(sản phẩm).

Số ngày thực tế làm xong 480 sản phẩm là: $\frac{{480}}{{x + 4}}$ (ngày).

Vì thực tế xong trước 6 ngày so với kế hoạch, ta có phương trình:

$\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 4}} = 6$

$\frac{{80}}{x} - \frac{{80}}{{x + 4}} = 1$

$80\left( {x + 4} \right) - 80x = x\left( {x + 4} \right)$

$80x + 320 - 80x = {x^2} + 4x$

${x^2} + 4x - 320 = 0$

$x = 16$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 20$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày công nhân phải làm 16 sản phẩm.

Phương trình ${x^2} - 5x - 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 33 > 0$ nên có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$ và ${x_2}.$

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right.$

Ta có ${\left( {{x_1} - m} \right)^2} - 2m{x_2} \ge {m^2} - x_2^2$

$x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2} - 2m{x_2} \ge {m^2} - x_2^2$

$x_1^2 + x_2^2 - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \ge 0$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \ge 0$ (vì $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$)

Suy ra ${5^2} - 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 2m \cdot 5 \ge 0$

$25 + 4 - 10m \ge 0$

$29 - 10m \ge 0$

$10m \le 29$

$m \le \frac{{29}}{{10}}$

Vậy $m \le \frac{{29}}{{10}}$.

a) Thể tích của thùng đựng đồ là: $V = \pi {R^2}h \approx {3{,}14.25^2}.80 = 157\,000\left( {c{m^3}} \right)$

b) Diện tích cần sơn của thùng đựng đồ là:

$S = \pi Rh + \pi {R^2} \approx 3{,}14.25.80 + {3{,}14.25^2} = 14\,522{,}5\left( {c{m^2}} \right)$

Đổi:$14\,522{,}5\,\,c{m^2} = 1{,}45225\,\,{m^2}$

Vậy cần ít nhất 2 hộp sơn.

a) Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp.

Do $CE$ là đường cao nên của $\Delta ABC$ nên $\widehat {CEA} = 90^\circ$

Vì $\Delta AEC$ vuông tại $E$ (vì $\widehat {CEA} = 90^\circ$) nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEC$ có tâm là trung điểm của $AC$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}AC.$

Do đó ba điểm $A,\,\,E,\,\,C$ thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của $AC$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}AC$ $\left( 1 \right)$

Vì $\Delta AKC$ vuông tại $K$ (vì $\widehat {CKA} = 90^\circ$) nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKC$ có tâm là trung điểm của $AC$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}AC.$

Do đó ba điểm $A,\,\,E,\,\,C$ thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của $AC$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}AC\,$ (2)

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra bốn điểm $A,\,\,E,\,\,K,\,\,C$ cùng thuộc đường tròn.

Vậy tứ giác $AEKC$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\widehat {KAC} = \widehat {KEC}$ (góc nội tiếp chắn ).

b) Chứng minh: $\widehat {MBC} = \widehat {KEC}$ và $BM.KC = CM.KE$.

Xét $\left( O \right)$, có $AM$ là đường kính nên $\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $MB \bot AB$

Lại có $CE \bot AB$ suy ra $MB\,{\rm{//}}\,CE$.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {MBC} = \widehat {MAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

Lại có $\widehat {KAC} = \widehat {KEC}$ (cmt) suy ra $\widehat {MBC} = \widehat {KEC}$ (đpcm).

Ta có $\widehat {MCK} = \widehat {MAC}$ (cùng phụ $\widehat {ACK}$).

$\widehat {MBC} = \widehat {MAC}$ (góc nội tiếp chắn ).

Suy ra $\widehat {MCK} = \widehat {MBC}$.

Mà $\widehat {MBC} = \widehat {ECB}$ (so le trong) nên $\widehat {MCK} = \widehat {HCB}$.

Suy ra $\widehat {MCK} + \widehat {KCB} = \widehat {HCB} + \widehat {KCB}$ do đó $\widehat {MCB} = \widehat {HCK}$.

Xét $\Delta BMC$ và $\Delta EKC$ có: $\widehat {BCM} = \widehat {ECK}$ (cmt); $\widehat {CBM} = \widehat {MEK}$ (cmt)

Do đó $ΔBMC∽ΔEKC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{BM}}{{KE}} = \frac{{CM}}{{KC}}$ (cặp cạnh tương ứng) nên $BM.KC = CM.KE$ (đpcm).

c) Gọi $I$ là giao điểm của $EK$ và $BC$ . Đường cao $BF$ của $\Delta ABC$ cắt $CE$ tại $H$. Chứng minh $AH = 2OI$ .

Ta có: $\widehat {IEC} = \widehat {ICE}$ (cùng bằng $\widehat {IBM}$) suy ra $\Delta IEC$ cân tại $I,$ suy ra $IE = IC$.

Mà $\widehat {IBE} = \widehat {IEB}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau là $\widehat {IBM}$ và $\widehat {IEC}$).

Suy ra $\Delta IEB$ cân tại $I$ nên $IE = IB$, do đó $IC = IB$.

Xét tứ giác$BHCM$ có:

$BH\,{\rm{//}}\,MC$ (cùng vuông góc với $AC$)

$CH\,{\rm{//}}\,MB$ (cùng vuông góc với $AB$)Suy ra tứ giác $BHCM$ là hình bình hành.

Mà $IC = IB$ (cmt) suy ra $IM = IH$.

Xét $\Delta AHM$ có: $IM = IH$ (cmt) và $OM = OA = R$.

Suy ra $OI$ là đường trung bình ( tc).

Suy ra $AH = 2OI$ ( đpcm).

Gọi $x\,\,{\rm{(m)}}$ là chiều dài khu đất $\left( {x > 0} \right).$

Chiều rộng khu đất là $\frac{{400}}{x}\,\,{\rm{(m)}}$.

Diện tích trồng rau là : $S = \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{400}}{x} - 2} \right)\,\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Ta xét: $S = \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{400}}{x} - 2} \right) = 400 - 2x - \frac{{800}}{x} + 4$

$= 404 - 2\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) \le 404 - 2.2\sqrt {x.\frac{{400}}{x}} = 404 - 80 = 324$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{{400}}{x}$ suy ra $x = 20$ (TMĐK).

Với $x = 20$ thì chiều dài khu đất là $20\,\,{\rm{m}}$ và chiều rộng khu đất là $400:20 = 20\,\,{\rm{(m)}}.$

Vậy bác nên chọn chiều dài và chiều rộng của khu đất đều là $20\,\,{\rm{m}}$ để diện tích phần đất trồng rau là lớn nhất. Khi đó, diện tích trồng rau lớn nhất là $324\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.$