Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Thái Thịnh (Hà Nội) có đáp án

a) Tần số của nhóm $\left[ {20\,;\,\,30} \right)$ là: $40 \cdot 25\% = 10$ (học sinh).

b) Thời gian “dưới 20 phút” bao gồm hai nhóm: $\left[ {0\,;\,\,10} \right)$ và $\left[ {10\,;\,\,20} \right)$.

Tổng tần số tương đối của hai nhóm “dưới 20 phút” là: $30\% \; + \;45\% \; = \;75\%$

Số học sinh đi dưới 20 phút là: $40 \cdot 75\% = 30$ (học sinh).

Các cặp số có thể xảy ra khi lấy 2 viên bi từ bộ $1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5$ là:

$\left( {1\,,\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,5} \right)\,;\,\,\;\left( {3\,,\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {3\,,\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {4\,,\,\,5} \right)$.

Do đó, có tất cả 10 kết quả có thể xảy ra.

Để tích hai số không nhỏ hơn 10 (hay tích lớn hơn hoặc bằng 10) thì các kết quả thuận lợi là: $\left( {2\,,\,\,5} \right)\,;\,\,\;\left( {3\,,\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {3\,,\,\,5} \right)\,;\,\,\left( {4\,,\,\,5} \right)$. Do đó, có 4 kết quả thuận lợi.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = 0{,}4$.

Vậy xác suất của biến cố $A:$ “Tích của hai số ghi trên hai viên bi không nhỏ hơn 10” là $0{,}4.$

1) Thay $x = 9$ (tmđk) vào biểu thức $A$ ta được:

$A = \frac{{9 - 3}}{{\sqrt 9 }} = \frac{6}{3} = 2$

2) $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}$

$B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2\sqrt x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

c) Ta có: $P = A \cdot P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Để $P \le 6$ thì $P - 6 \le 0$ hay $\frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - 6 \le 0$

$\frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{6\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$

$\frac{{x - 6\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$

$\frac{{{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$

Mà ${\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra ${\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} = 0$ hoặc $\sqrt x - 2 < 0$

Xét ${\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} = 0$ suy ra $x = 9$

Xét $\sqrt x - 2 < 0$ suy ra $\sqrt x < 2$ suy ra $x < 4$.

Kết hợp với điều kiện xác định ta được $x \in \left\{ {1;2;3;9} \right\}$.

Vậy với $x \in \left\{ {1;2;3;9} \right\}$ thì $P \le 6$.

Gọi $x$ là số áo xưởng phải may theo kế hoạch $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Thời gian dự định hoàn thành là $\frac{x}{{30}}$ (ngày).

Thực tế, mỗi ngày xưởng may được: $30\; + \;10\; = \;40$ (chiếc áo).

Số áo thực tế xưởng đã may là $x\; + \;20$ (chiếc áo).

Thời gian thực tế hoàn thành là $\frac{{x + 20}}{{40}}$ (ngày).

Vì xưởng hoàn thành sớm hơn 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{30}} - \frac{{x + 20}}{{40}} = 2$

$\frac{{4x - 3\left( {x + 20} \right)}}{{120}} = 2$

$4x\; - \;3x\; - \;60\; = \;240$

$x = 300\;$(TMĐK)

Vậy theo kế hoạch xưởng phải may 300 chiếc áo.

Gọi $x,\;y$ lần lượt là số tờ tiền loại $10\,\,000$ đồng và $20\,\,000$ đồng lúc đầu $\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,\,\,y < 20} \right).$

Tổng số tờ tiền là 20 nên $x\; + \;y\; = \;20$ (1)

Tổng số tiền Thái có là: $10\,\,000x\; + \;20\,\,000y$ (đồng).

Sau khi thanh toán đơn hàng $300\,\,000$ đồng, Thái còn lại một tờ $20\,\,000$ đồng. Khi đó tổng số tiền ban đầu là: $300\;\;000\; + \;20\;\;000\; = \;320\;\;000$ (đồng).

Ta có phương trình: $10\;\;000x\; + \;20\;\;000y\; = \;320\;\;000$ hay $x\; + \;2y\; = \;32$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 20}\\{x + 2y = 32}\end{array}} \right.$.

Trừ vế theo vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được $y = 12$ (TMĐK).

Thay $y = 12$ vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x + 12 = 20$ suy ra $x = 8$ (TMĐK).

Vậy lúc đầu Thái có 8 tờ $10\,\,000$ đồng và 12 tờ $20\,\,000$ đồng.

Ta có ${\rm{\Delta }} = {3^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - {m^2} + 2} \right) = 9 + 4{m^2} - 8 = 4{m^2} + 1$.

Vì ${\rm{\Delta }} = 4{m^2} + 1 > 0$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - 3}\\{{x_1}{x_2} = - {m^2} + 2}\end{array}} \right.$.

Ta có ${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} + 3} \right) = 3$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - 3{x_1} = 3$.

Vì ${x_1}$ là nghiệm nên $x_1^2 + 3{x_1} - {m^2} + 2 = 0$ hay $x_1^2 + 3{x_1} = {m^2} - 2$. Thay vào ta có:

${\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 2} \right) - \left( {{m^2} - 2} \right) = 3$

$9 + 4{m^2} - 8 - {m^2} + 2 = 3$

$3{m^2} + 3 = 3$

$3{m^2} = 0$

$m = 0$.

Với $m = 0$, thay vào biểu thức $P$, ta có: $P = \sqrt {2025 + {0^2}} = \sqrt {2025} = 45.$

Vậy $P = 45.$

a) Thể tích nước trong bình bằng thể tích của hình trụ có bán kính $4cm$, chiều cao $10cm$ là:

$$\pi \cdot {R^2}h \approx 3{,}14 \cdot {4^2} \cdot 10 = 502{,}4\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}$$

b) Thể tích cái bát là: $\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .{R^3}$$\approx \frac{1}{2}.\frac{4}{3}{.3{,}14.6^3}$$= 452{,}16\,(c{m^3})$

Vì $502{,}4 > 452{,}16$nên lượng nước trong bình nhiều hơn thể tích của bát, nước sẽ bị tràn ra ngoài.

a) Xét $\Delta ABC$ có $AD,\,BE,CF$ là đường cao

Suy ra $AD \bot BC\,;\,\,CF \bot AB\,;\,\,\,BE \bot AC$

Suy ra $\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ$

Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ nên $B,\,F,\,C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$(1)

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ nên $B,E,C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\,B,F,E,C$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

b) Xét $(O)$ có $AM$ là đường kính.

$\widehat {AMC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra $\widehat {ACM} = 90^\circ$.

$\widehat {ABC},\,\widehat {AMC}$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$

Suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {AMC}$ hay $\widehat {ABD} = \widehat {AMC}$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMC$ có

$\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ$; $\widehat {ABD} = \widehat {AMC}$

Suy ra $ΔABD∽ΔAMC$ (g.g)

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {MAC}$ hay $\widehat {BAH} = \widehat {PAC}$

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$ có $\widehat {FBE},\,\widehat {FCE}$ là góc nội tiếp chắn cung $FE$

Suy ra $\widehat {FBE} = \widehat {FCE}\,$ hay $\widehat {ABH} = \widehat {PCA}\,$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta APC$ có $\widehat {BAH} = \widehat {PAC}$; $\widehat {ABH} = \widehat {PCA}\,$

Suy ra $ΔAHB\ ∽ΔAPC$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AH}}{{AP}} = \frac{{BH}}{{CP}}$ hay $AP.BH = AH.CP$ (đpcm)

c)

Gọi $G$ là trung điểm $EF$.

$\,B,F,E,C$nội tiếp đường tròn đường kính $BC$mà $I\,$ là trung điểm $BC$.

Suy ra $I\,E = IF = IB = IC$ nên $\Delta IEF$ cân tại $I$.

Mà $G$ là trung điểm $EF$ suy ra $IG$ là đường trung tuyến.

Suy ra $IG$ là đường cao nên $IG \bot \,EF$ hay $\widehat {IGK} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $INGK$ có $\widehat {INK} = \widehat {IGK} = 90^\circ$.

Suy ra $INGK$ nội tiếp nên $\widehat {NIK} + \widehat {NGK} = 180^\circ$.

Tứ giác $BFEC$ nội tiếp suy ra $\widehat {FEC} + \widehat {FBC} = 180^\circ$.

Mà $\widehat {FEC} + \widehat {FEA} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {FBC} = \widehat {FEA}$ hay $\widehat {ABC} = \widehat {FEA}$.

Tứ giác $BFEC$ nội tiếp suy ra $\widehat {BFE} + \widehat {BCE} = 180^\circ$.

Mà $\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {BCE} = \widehat {AFE}$ hay $\widehat {BCA} = \widehat {AFE}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta AEF$ có

$\widehat {FAE}$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {FEA}$; $\widehat {BCA} = \widehat {AFE}$.

Suy ra $ΔABC\ ∽ΔAEF$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{2BI}}{{2EG}} = \frac{{BI}}{{EG}}$.

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta AEG$ có $\widehat {ABI} = \widehat {AEG}$; $\,\frac{{IB}}{{EG}} = \frac{{AB}}{{AE}}$.

Suy ra $ΔABI\ ∽ΔAEG$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AIB} = \widehat {AGE}$ hay $\widehat {NIK} = \widehat {NGE}$.

Mà $\widehat {NIK} + \widehat {NGK} = 180^\circ$ (cmt) nên $\widehat {NGE} + \widehat {NGK} = 180^\circ$ hay $\widehat {NGE} + \widehat {AGE} = 180^\circ .$

Suy ra $A,\,G,\,N$thẳng hàng nên $AN$ đi qua trung điểm của $EF$.

Gọi số xe loại $30$ chỗ ngồi và loại xe $45$ chỗ ngồi lần lượt là $x;y$($x;y \in \mathbb{N}*$; xe)

Ta có: $30x + 45y = 330$ suy ra $2x + 3y = 22$ nên $x = \frac{{22 - 3y}}{2}$

Vì $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên $22 - 3y$ là số chẵn suy ra $y$ là số chẵn.

Chi phí thuê xe là: $3x + 4y$ (triệu đồng).

Vì $x \in {\mathbb{N}^*}$; $y$ là số chẵn và $2x + 3y = 22$ nên $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {5;4} \right);\left( {8;2} \right);\left( {11;0} \right)} \right\}$

Lập bảng:

Vậy để chi phí thuê xe là ít nhất thì cần thuê $2$ xe loại $30$ chỗ ngồi và $6$ xe loại $45$ chỗ ngồi.