Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Thành Công (Hà Nội) Tháng 1 có đáp án

1) Với $x = 36$ (TMĐK), thay $x = 36$ vào biểu thức $A$, ta được: $A = \frac{{2\sqrt {36} + 5}}{{\sqrt {36} }} = \frac{{2 \cdot 6 + 5}}{6} = \frac{{17}}{6}.$

Vậy khi $x = 36$ thì $A = \frac{{17}}{6}.$

2) Với $x > 0,\,\,x \ne 1,$ ta có:

$B = \frac{{x - 4\sqrt x + 1}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}$$= \frac{{x - 4\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{x - 4\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x - 4\sqrt x + 1 + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.$$

Vậy với $x > 0,\,\,x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.$

3) Ta có $M = A \cdot B = \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x + 2 + 3}}{{\sqrt x + 1}} = 2 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}}.$

Vì $x > 0$ nên $\sqrt x > 0$ suy ra $\sqrt x + 1 > 1$.

Khi đó $0 < \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 1$ hay $0 < \frac{3}{{\sqrt x + 1}} < 3$ nên $2 < M < 5.$

Để $M$ nhận giá trị nguyên thì $M \in \left\{ {3\,;\,\,4} \right\}.$

• Với $M = 3$ thì $2 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3$

$$\frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 1$$

$$\sqrt x + 1 = 3$$

$$\sqrt x = 2$$

$x = 4$ (thỏa mãn).

• Với $M = 4$ thì $2 + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 4$

$$\frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 2$$

$$2\left( {\sqrt x + 1} \right) = 3$$

$$\sqrt x + 1 = \frac{3}{2}$$

$$\sqrt x = \frac{1}{2}$$

$x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy các giá trị của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ {\frac{1}{4};\,\,4} \right\}.$

Gọi $x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ là vận tốc của ô tô thứ nhất $\left( {x > 15\,,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right).$

Khi đó vận tốc của ô tô thứ hai là $x - 15\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Đổi 30 phút $= \frac{1}{2}$ giờ.

Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là $\frac{{150}}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là $\frac{{150}}{{x - 15}}$ (giờ).

Theo đề bài, ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai 30 phút nên ta có phương trình

$\frac{{150}}{{x - 15}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}$

$\frac{{2 \cdot 150x}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} - \frac{{2 \cdot 150\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 15} \right)}}{{2x\left( {x - 15} \right)}}$

$300x - 300\left( {x - 15} \right) = x\left( {x - 15} \right)$

$$300x - 300x + 4500 = {x^2} - 15x$$

$${x^2} - 15x - 4500 = 0$$

$$\left( {x - 75} \right)\left( {x + 60} \right) = 0$$

$x - 75 = 0$ hoặc $x + 60 = 0$

$x = 75$ (TMĐK) hoặc $x = - 60$ (loại).

Khi đó, vận tốc của ô tô thứ hai là $75 - 15 = 60\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right).$

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là $75\,\,{\rm{km/h}}\,{\rm{;}}$ vận tốc của ô tô thứ hai là $60\,\,{\rm{km/h}}\,.$

Gọi số xe lúc đầu của đội là $x$ (xe) $\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).$

Dự định số hàng mỗi xe phải chở là: $\frac{{120}}{x}$ (tấn).

Thực tế số xe mỗi đội là: $x + 5$ (xe).

Thực tế số hàng mỗi xe phải chở là: $\frac{{120}}{{x + 5}}$ (tấn).

Vì so với ban đầu, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{{120}}{x} - 2 = \frac{{120}}{{x + 5}}$

$\frac{{120\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{120x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}$

$$120\left( {x + 5} \right) - 2x\left( {x + 5} \right) = 120x$$

$$120x + 600 - 2{x^2} - 10x = 120x$$

$$110x + 600 - 2{x^2} = 120x$$

$$2{x^2} + 10x - 600 = 0$$

$${x^2} + 5x - 300 = 0$$

$$\left( {x - 15} \right)\left( {x + 20} \right) = 0$$

$x - 15 = 0$ hoặc $x + 20 = 0$

$x = 15$ (TMĐK) hoặc $x = - 20$ (loại).

Vậy lúc đầu đội đó có 15 xe.

a) Độ dài cung tròn là: $\frac{{2 \cdot 3{,}14 \cdot 15}}{{360}} \cdot 120 = 31{,}4\left( m \right)$

Độ dài hàng rào là: $31{,}4 + 15.2 = 61{,}4\left( m \right)$

b) Diện tích phần lát gạch là: $\frac{{{{3{,}14.15}^2}}}{{360}}\left( {360 - 120} \right) = 471\left( {{m^2}} \right)$

a) Chứng minh bốn điểm $B,\,\,C,\,\,E,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BFC$ có $\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ$ ($BE,CF$ là đường cao) nên nội tiếp trong đường tròn đường kính $BC$.

b) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $AB.AC = AD.AM$ và $AH = 2OK$.

* Chứng minh $AB.AC = AD.AM$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {ACM}$($AD \bot BC,\widehat {ACM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{ABD}=\widehat{AMC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{AC}$

Do đó $ΔABD∽ΔAMC$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ do đó $AB \cdot AC = AD \cdot AM$.

* Chứng minh $AH = 2OK$

Xét $\Delta OBC$ có $OB = OC = R$ nên cân tại $O$ $\Rightarrow OK \bot BC$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân)

$\Rightarrow OK//AH$ (cùng vuông góc với $BC$)

Xét $\Delta AHM:OK//AH,OA = OM \Rightarrow OK$ là đường trung bình của $\Delta AHM$

$\Rightarrow AH = 2OK$

c) Chứng minh rằng khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ thì đoạn $EF$ có độ dài không đổi.

Vì $BCEF$ nội tiếp đường tròn nên $\widehat B + \widehat {FEC} = 180^\circ$

Mặt khác $\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat B = \widehat {AEF}$

Ta có $ΔABC∽ΔAEF$ (g.g) $\left( {\widehat {EAF}\,\,{\rm{chung}},\,\,\widehat B = \widehat {AEF}} \right)$

$\Rightarrow \frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}(1)$

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta ABM$ có:

$$\widehat {AEH} = \widehat {ABM} = 90^\circ$$

$\begin{matrix}\widehat{HAE}+\widehat{DCA}=90^{\circ}\ (AD\perp BC) \\ \widehat{DCA}=\widehat{BMA}=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{AB} \\ \widehat{BMA}+\widehat{BAM}=90^{\circ}\end{matrix}\}\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{BAM}$

Suy ra $ΔAEH∽ΔABM$ (g.g) nên $\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AM}(2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AM}}$

Khi $BC$ cố định trong $\left( O \right)$ thì $K$cố định $\Rightarrow 2OK = AH,AM = 2R$ cố định.

$\Rightarrow EF = \frac{{AH}}{{AM}}.BC$ có độ dài không đổi.

Gọi số tiền lớp 6D ủng hộ là $x$(triệu đồng), điều kiện $(x \ge 2).$

Số tiền ủng hộ lớp 6C là: $1{,}1x$.(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ lớp 6B là: $1{,}25 \cdot 1{,}1x = 1{,}375x$(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ lớp 6A là: $1{,}8 \cdot 1{,}375x = 2{,}475x$(triệu đồng)

Số tiền ủng hộ lớp 6E bằng nghịch đảo số tiền lớp 6D nên số tiền ủng hộ lớp 6E là $\frac{1}{x}$(triệu đồng)

Tổng số tiền khối 6 là: $2{,}475x + 1{,}375x + 1{,}1x + x + \frac{1}{x} = 5{,}95x + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 4{,}95x$

Với mọi $x \ge 2$ ta có:$\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} ;\frac{{3x}}{4} \ge \frac{3}{4}.2$

Suy ra $\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right) + \frac{{3x}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} + \frac{3}{4}.2$ hay $x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 2$.

Vậy $x + \frac{1}{x} + 4{,}95x \ge 4{,}95.2 + \frac{5}{2} = 12{,}4$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 2$.

Kết luận vậy khối 6 ủng hộ được ít nhất là $12{,}4$ triệu đồng.