Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Tây Mỗ 3 (Hà Nội) lần 3 có đáp án

a) Có 5 giá trị khác nhau là: 9; 10; 11; 12; 15.

b) Số học sinh đến trường nhiều hơn 10 phút: $20 - \left( {5 + 5} \right) = 10$ (học sinh).

Các kết quả có thể xảy ra là: $1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,\, \ldots \,;\,\,29\,;\,\,30$.

Có 30 kết quả có thể xảy ra.

Vì các cây đều có chiều cao, tán lá và độ tuổi giống nhau nên các phương án xảy ra là đồng khả năng.

Có 7 kết quả thuận lợi của biến cố: “Bạn An chọn được một cây có số thứ tự chia 4 dư 1” là $\left\{ {5\,;\,\,9\,;\,\,13\,;\,\,17\,;\,\,21\,;\,\,25\,;\,\,29} \right\}.$

Xác suất của biến cố “Bạn An chọn được một cây có số thứ tự chia 4 dư 1” là $\frac{7}{{30}}$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$.

Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{3\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{12 + 2}}{{4 - 2}} = 7.$

Vậy $A = 7$ khi $x = 16$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

Rút gọn: $B = \frac{{x + 12}}{{x - 4}} + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0,\,x \ne 4$.

$$B = \frac{{x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$= \frac{{x + 12 + 4\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$ (đpcm).

Vậy với $x \ge 0,\,x \ne 4$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.$

3) Xét biểu thức $P = A - B$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P \ge 0$.

Với $x \ge 0,\,x \ne 4$. Ta có: $P = A - B$

$P = \frac{{3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$$= \frac{{3\sqrt x + 2 - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}}$$= \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

• Xét $P = 0$ thì $\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 0$ nên $2\sqrt x = 0$ suy ra $x = 0$ (thoả mãn)

• Xét $P > 0$ thì $\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} > 0$

$\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x > 0\\\sqrt x - 2 > 0\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x < 0\\\sqrt x - 2 < 0\end{array} \right.$ (vô lí)

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 4\end{array} \right.$ do đó $x > 4$ (thoả mãn)

Vậy $x = 0$ hoặc $x > 4$ thì $P \ge 0$.

Gọi $x,y$ lần lượt là số kg táo và số kg cam mà bác Mai nhập $\left( {x \in {\mathbb{N}^ * },\,y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$

Theo đề bài ta có phương trình: $x + y = 100$ $\left( 1 \right)$

Vì sau khi bán hết hai loại quả trên với giá $50\,\,000$ đồng/kg táo và $30\,\,000$ đồng/kg cam thì thu được số tiền là $42\,\,000\,\,000$ đồng ta có phương trình:

$50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\50\,\,000x + 30\,\,000y = 42\,\,000\,\,000\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\5x + 3y = 420\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 100 - y\\5\left( {100 - y} \right) + 3y = 420\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Từ $\,\left( 3 \right)$ ta có: $500 - 5y + 3y = 420$ hay $2y = 80$ suy ra $y = 40$ (TMĐK).

Khi đó $x = 60$(TMĐK)

Vậy bác Mai nhập $60\,\,{\rm{kg}}$ táo và $40\,\,{\rm{kg}}$ cam.

Gọi số sản phẩm người công nhân phải làm trong một giờ theo kế hoạch là $x\,$(sản phẩm;$x \in {\mathbb{N}^ * }$).

Thời gian người công nhân hoàn thành $60$ sản phẩm theo kế hoạch là $\frac{{60}}{x}$ (giờ).

Số sản phẩm người công nhân phải làm trong một giờ thực tế là là $x\, + 2$ (sản phẩm).

Tổng số sản phẩm người công nhân làm được thực tế là: $60 + 3 = 63$ (sản phẩm).

Thời gian người công nhân làm thực tế là $\frac{{63}}{{x + 2}}$ (giờ).

Đổi: $30$ phút = $\frac{1}{2}$giờ.

Vì người công nhân đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định $30$ phút nên ta có phương trình:

$\frac{{60}}{x} - \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$

$\frac{{60x + 120 - 63x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}$

$\frac{{120 - 3x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}$

${x^2} + 2x + 6x - 240 = 0$

${x^2} + 8x - 240 = 0$

$\left( {x - 12} \right)\left( {x + 20} \right) = 0$

$x = 12$ (TMĐK)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm $12$ sản phẩm.

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình. Giả sử ${x_1} = 1 - \sqrt 2$

Vì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = 1 - \sqrt 2$ nên áp dụng hệ thức Vi-et ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt 2 + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1 + \sqrt 2 \\\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = - m\end{array} \right.$

Suy ra $m = 1$.

Ta có $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

$x_1^2 + x_2^2 = 4 + 2 = 6$.

Vậy tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình $6$.

a) Bán kính của mặt bàn là: $R = \sqrt {\frac{S}{\pi }} = \sqrt {\frac{{2025\pi }}{\pi }} = 45\,\,\left( {cm} \right)$.

b) Bán kính của chiếc khăn trải bàn là: $45 + 25 = 70\,\,\left( {cm} \right)$.

Diện tích chiếc khăn trải bàn là: $S = \pi {R^2} \approx 3{,}14 \cdot {70^2} = 15386\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Vậy diện tích chiếc khăn trải bàn này khoảng $15386\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.$

a) Chứng minh bốn điểm $A,B,O,H$cùng thuộc một đường tròn.

Vì $AB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên $AB \bot OB$. Khi đó:

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

$\Delta AHO$ vuông tại $H$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

Do đó bốn điểm $A,B,O,H$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AO$.

b) Chứng minh: $BD\,{\rm{//}}\,OH$ và $CH \cdot CA = 2{R^2}$.

Xét $\left( O \right)$có: $\widehat {BDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {BDC} = 90^\circ$.

Suy ra $BD \bot AC$.

Lại có $OH \bot AC$ suy ra $BD\,{\rm{//}}\,OH$ (cùng vuông góc AC)

Xét $\Delta CHO$ và $\Delta CBA$ có

$\widehat {ACB}$ chung; $\widehat {CHO} = \widehat {CBA} = 90^\circ$.

Vậy $\Delta CHO$ $\Delta CBA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CO}}{{CA}} \Rightarrow CH.CA = CO.CB = R.2R = 2{R^2}$ (đpcm).

c) Gọi $N$ là giao điểm của $BH$ và $DO$. Kẻ $AK \bot BH$$\left( {K \in BH} \right)$, $AK$cắt $BD$ tại I. Chứng minh các điểm $C,N,I$ thẳng hàng.

Xét $\Delta ABH$có $AK,BD$ là các đường cao nên $I$ là trực tâm.

Suy ra $HI \bot AB$ nên $HI\,{\rm{//}}\,BC$.

$\Delta ODC$cân tại O ($OD = OC = R$) nên $OH$ là đường cao đồng thời là trung tuyến.

Do đó $H$ là trung điểm $DC$.

• Xét $\Delta BDC$có: $H$ là trung điểm $DC$, $HI\,{\rm{//}}\,BC$ nên $I$ là trung điểm của $BD$.

• Xét $\Delta BDC$có $CI,BH,DO$ là ba đường trung tuyến nên $CI,BH,DO$ đồng quy.

Mà $N$ là giao điểm của $BH$ và $DO$

Vậy $C,N,I$thẳng hàng.

Gọi chiều rộng (và chiều sâu) của hầm là $x$ ($m$; $x > 0$)

Gọi chiều dài của hầm là $y$ ($m$; $y > 0$)

Thể tích của hầm là: $V = x.x.y = 27\,$$\left( {{m^3}} \right)$.

Suy ra $y = \frac{{27}}{{{x^2}}}$ $(m)$.

Biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hầm là:

$2x \cdot x + 2x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} + 2 \cdot x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{54}}{x}} \right) = 2 \cdot A$.

Ta có: $A + 9 = {x^2} + \frac{{27}}{x} + \frac{{27}}{x} + 9$

${\left( {\sqrt {{x^2}} - \sqrt {\frac{{27}}{x}} } \right)^2} \ge 0$ nên ${x^2} + \frac{{27}}{x} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}}$

${\left( {\sqrt {\frac{{27}}{x}} - \sqrt 9 } \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{27}}{x} + 9 \ge 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9}$

Suy ra $A + 9 \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}} + 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9}$

$A + 9 \ge 2\sqrt {27x} + 2\sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}}$.

$A + 9 \ge 4\sqrt {\sqrt {27x} \cdot \sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} } = 4 \cdot 9$

$A + 9 \ge 36$

$A \ge 27$

Đẳng thức xảy ra khi ${x^2} = \frac{{27}}{x} = 9$ nên $x = 3$.

Vậy khi chiều rộng là $3\,m$ và chiều dài là $\frac{{27}}{{{3^2}}} = 3\,\,\left( m \right)$ thi công hầm sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất.