Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THCS Đống Đa (Hà Nội) Tháng 1 có đáp án

a) Bảng thống kê:

b) Tổng số công nhân xếp loại Tốt trong quý III là: $50 + 48 + 12 + 18 = 128$ (người)

Tổng số công nhân xếp loại Tốt trong quý IV là: $30 + 18 + 25 + 52 = 125$ (người)

Số công nhân xếp loại Tốt bị giảm trong quý IV so với quý III là: $128 - 125 = 3$ (người)

Số công nhân xếp loại tốt bị giảm trong quý IV so với quý III chiếm: $\frac{3}{{128}}.100\% \approx 2{,}34\%$

Xét phép thử: “Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 1 chữ số” có $10$ kết quả có thể xảy ra là: $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$. Các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Xét biến cố: “ Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 3 ” có $4$ kết quả thuận lợi là $0;3;6;9$

Xác xuất của biến cố trên là: $\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$

1) Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{16 + 3\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} }} = 7$

Vậy $A = 7$ khi $x = 16$.

2) Với $x > 0$; $x \ne 4$, ta có:

$$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{x - 2\sqrt x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.$

Vậy với $x > 0$; $x \ne 4$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

3) Ta có: $P = A.B = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Để $P \le 3$ thì $\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \le 3$

$\frac{{x + 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 3 \le 0$

$\frac{{x + 3\sqrt x - 3\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$

$\frac{{x + 6}}{{\sqrt x - 2}} \le 0$

TH1: $\frac{{x + 6}}{{\sqrt x - 2}} = 0$ thì $x + 6 = 0$ nên $x = - 6$ (không thỏa mãn)

TH2: $\frac{{x + 6}}{{\sqrt x - 2}} < 0$

Mà $x > 0$;$x \ne 4$ nên $x + 6 > 0$ suy ra $\sqrt x - 2 < 0$

Do đó $\sqrt x < 2$ nên $x < 4$

Kết hợp ĐK: $x > 0$;$x \ne 4$ suy ra $0 < x < 4$.

Vậy để $P \le 3$ thì $0 < x < 4$.

1) Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là $x$ (nghìn đồng, $x > 0$)

Số áo bạn Bình đã mua được là: $\frac{{600}}{x}$ (chiếc)

Giá tiền của mỗi chiếc áo dự định bạn Bình mua là $x + 30$ (đồng)

Số áo bạn Bình dự định mua là: $\frac{{600}}{{x + 30}}$ (chiếc)

Theo bài ra, bạn Bình đã mua được số lượng áo gấp $1{,}25$ lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: $\frac{{600}}{x} = 1{,}25.\frac{{600}}{{x + 30}}$

$\frac{{600}}{x} = \frac{{750}}{{x + 30}}$

$750x = 600\left( {x + 30} \right)$

$750x = 600x + 18000$

$150x = 18000$

$x = 120$ (TMĐK)

Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Bình đã mua là $120$ nghìn đồng.

$h = 62{,}5.\sqrt[3]{t} + 75{,}8$ (1)

a) Thay $t = 8$ vào (1), ta được: $h = 62{,}5.\sqrt[3]{8} + 75{,}8 = 200{,}8{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Vậy một con voi đực $8$ tuổi ở châu Phi sẽ có chiều cao ngang vai là $200{,}8{\rm{ cm}}$.

b) Thay $h = 230$ vào (1), ta được:

$230 = 62{,}5.\sqrt[3]{t} + 75{,}8$

$62{,}5.\sqrt[3]{t} = 154{,}2$

$\sqrt[3]{t} = 2{,}4672$

$t \approx 15$ (tuổi)

Vậy nếu một con voi đực ở châu Phi có chiều ngang vai là $230{\rm{ cm}}$ thì con voi đó khoảng $15$ tuổi.

Xác định $a$ và $b$ để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A\left( {2;8} \right)$ và $B\left( { - 4;5} \right)$.

Để đồ thị hàm số điểm $A\left( {2;8} \right)$ thì $8 = 2a + b$ hay $2a + b = 8{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Để đồ thị hàm số điểm $B\left( { - 4;5} \right)$ thì $5 = - 4a + b$ hay $- 4a + b = 5{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 8\\ - 4a + b = 5\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}6a = 3\\2a + b = 8\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\2.\frac{1}{2} + b = 8\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 7\end{array} \right.$

Vậy để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A\left( {2;8} \right)$ và $B\left( { - 4;5} \right)$ thì $a = \frac{1}{2};b = 7$ .

Diện tích mảnh vải đó

$S = {S_1} - {S_2} = \frac{{\pi R_1^2n}}{{360}} - \frac{{\pi R_2^2n}}{{360}} \approx \frac{{3{,}14.\left( {{{5{,}2}^2} - {{3{,}5}^2}} \right).90}}{{360}} = 11{,}56 \approx 11{,}6d{m^2}$

a) Chứng minh: $IA = IB$ và $OK{\rm{//}}AC$.

Xét $\Delta OIB$ và $\Delta OIA$ có: $OI$ chung; $OB = OA = R$; $\widehat {OIB} = \widehat {OIA} = 90^\circ$.

$\Delta OIB = \Delta OIA$ (c.g.c)

$\Rightarrow IB = IA$ (hai cạnh tương ứng); $\widehat {BOI} = \widehat {AOI}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BAC} = 90^\circ$( góc nội tiếp)

Hay $AC \bot AB$ mà $OK \bot AB$( gt) suy ra $OK{\rm{//}}AC$( đpcm)

b) Chứng minh: $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Xét $\Delta OKB$ và $\Delta OKA$ có: $OK$ chung; $OB = OA = R$; $\widehat {BOK} = \widehat {AOK}\left( {cmt} \right)$

Do đó $\Delta OKB = \Delta OKA$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {OBK} = \widehat {OAK} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng) nên $OA \bot AK$ tại $A$.

Vậy $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ (đpcm)

c) Đoạn thẳng $KC$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$, trên tia đối của tia $MB$ lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của $BN$. Từ $N$ vẽ đường thẳng vuông với $Bx$ tại $P$. Chứng minh: $NK = KB$ và $AC$ đi qua trung điểm của $NP$.

Xét $\Delta KMB$ và $\Delta KMN$ có: $KM$ chung; $\widehat {KMB} = \widehat {KMN} = 90^\circ$; $MB = MN$

Do đó $\Delta KMB = \Delta KMN$ (c.g.c)

Suy ra $NK = KB$ (hai cạnh tương ứng)

Gọi $AC \cap PN = \left\{ G \right\};\,BG \cap KO = \left\{ H \right\};\,MH \cap BP = E$

Xét $\Delta BCG$ có $OH{\rm{//}}GC$ ( cmt) và $OB = OC = R$ suy ra $BH = HG$ ( tc)

Xét $\Delta BNG$ có $BH = HG$ ( cmt) và $BM = MN$

suy ra $HM$là đường trung bình của $\Delta BNG$

suy ra $MH{\rm{//}}GN\left( {tc} \right)$ mà $NP{\rm{//}}BP$ suy ra $ME{\rm{//}}BC\left( {tc} \right)$

Xét $\Delta BKO$ có $EH{\rm{//}}BO$ (cmt) suy ra $\frac{EH}{BO}=\frac{KH}{KO}(1)$

Xét $\Delta CKO$ có $MH{\rm{//}}CO$ (cmt) suy ra $\frac{MH}{CO}=\frac{KH}{KO}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{EH}}{{BO}} = \frac{{MH}}{{CO}}\left( {bc} \right)$ mà $BO = CO$ suy ra $EH = HM$.

Xét $\Delta BGP$ có $EH{\rm{//}}PG$ (cmt) suy ra $\frac{EH}{PG}=\frac{BH}{BG}(3)$

Xét $\Delta BGN$ có $MH{\rm{//}}GN$ (cmt) suy ra $\frac{MH}{GN}=\frac{BH}{BG}(4)$

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{EH}}{{PG}} = \frac{{MH}}{{GN}}\left( {bc} \right)$ mà $EH = HM$ suy ra $PG = GN$.

Hay $AC$ đi qua trung điểm của $NP$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $3y$ ta có: $x + 3y \ge 2\sqrt {x.3y} = 2\sqrt 3 .\sqrt {xy}$

Suy ra: $2\sqrt 3 .\sqrt {xy} \le 6$ nên $\sqrt {xy} \le \sqrt 3$ suy ra $xy \le 3$.

Ta có: $A = \frac{{{x^2}{y^2} + 2025}}{{xy}} = xy + \frac{{2025}}{{xy}} = xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $xy$ và $\frac{9}{{xy}}$ ta có:

$xy + \frac{9}{{xy}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{9}{{xy}}} = 6$. Dấu “=” xảy ra khi $xy = \frac{9}{{xy}} \Rightarrow xy = 3$.

Ta có: $xy \le 3$ nên $\frac{{2016}}{{xy}} \ge 672$. Dấu “=” xảy ra khi $xy = 3$.

Từ đó suy ra: $xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}} \ge 3 + 672 = 675$ hay $A \ge 675$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}xy = 3\\{\rm{x}} + 3y = 6\end{array} \right.$. Giải tìm được $x = 3;y = 1$ (TMĐK).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $675$ đạt được khi $x = 3;y = 1$.