Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Yên Hòa (Hà Nội) lần 3 có đáp án

a) Số học sinh tham gia khảo sát là: $3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16$ (học sinh)

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {11;12} \right)$ là: $\frac{3}{{16}}.100\% = 18{,}75\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {12;13} \right)$ là: $\frac{6}{{16}}.100\% = 37{,}5\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {13;14} \right)$ là: $\frac{4}{{16}}.100\% = 25\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {14;15} \right)$ là: $\frac{2}{{16}}.100\% = 12{,}5\%$

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {15;16} \right)$ là: $\frac{1}{{16}}.100\% = 6{,}25\%$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

b) Tần số tương đối của số học sinh tham gia chạy có thành tích chạy dưới $13$ giây là:

$18{,}75\% + 37{,}5\% = 56{,}25\% > 50\%$

Vậy nhận định trên là đúng.

Các kết quả có thể xảy ra là: $1;2;3;4;...;20$ có $20$ kết quả

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là: $1;3;5;7;9;11$ có $6$ kết quả

Xác suất của biến cố $M$ là: $\frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$

1)Thay $x = \frac{1}{4}$ (TM ĐKXĐ) vào biểu thức $A$ ta có:

$$A = \frac{{\frac{1}{2} - 2}}{{\frac{1}{2} - 3}} = \frac{{ - 3}}{2}:\frac{{ - 5}}{2} = \frac{3}{5}$$

2)$B = \frac{1}{{\sqrt x + 3}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 9}}$

$$B = \frac{1}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x - 3 - \sqrt x - 3 + x + \sqrt x }}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$

$$B = \frac{{x + \sqrt x - 6}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$

$$B = \frac{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 2)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}}$$

Vậy $A = B$ (đpcm)

3)$B + \sqrt x \ge 2$

Suy ra $B + \sqrt x - 2 \ge 0$

Xét $B + \sqrt x - 2$

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} + \sqrt x - 2$$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x - 3)}}{{\sqrt x - 3}}$$= \frac{{\sqrt x - 2 + x - 5\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}}$$= \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 3}}$$= \frac{{{{(\sqrt x - 2)}^2}}}{{\sqrt x - 3}}$

$B + \sqrt x - 2 \ge 0$ hay $\frac{{{{(\sqrt x - 2)}^2}}}{{\sqrt x - 3}} \ge 0$ khi ${(\sqrt x - 2)^2}$ và $\sqrt x - 3$ cùng dấu

Mà ${(\sqrt x - 2)^2} \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra $\sqrt x - 3 \ge 0$

Suy ra $\sqrt x \ge 3$

Suy ra $x \ge 9$

Kết hợp ĐKXĐ $B + \sqrt x \ge 2$ khi $x > 9$

Vì số nguyên $x$ nhỏ nhất và $x > 9$ nên $x = 10$

Gọi số trận thắng của đội là $x$ ($0 < x < 30;x \in \mathbb{N}$; trận)

Số trận hoà của đội là: $30 - x$ (trận)

Số điểm mà đội đạt được là: $2x + 1.(30 - x)$ (điểm)

Vì đội đó đạt được $58$ điểm nên ta có phương trình:

$2x + 1.(30 - x) = 58$

$2x + 30 - x = 58$

$x + 30 = 58$

$x = 28$ (thoả mãn)

Vậy đội bóng rổ đã thắng $28$ trận và số trận hoà là $30 - 28 = 2$(trận).

Gọi số nón lá cơ sở đó làm mỗi ngày theo dự kiến là $x$ ($x \in \mathbb{N}*$, chiếc)

Số ngày dự kiến hoàn thành là $\frac{{300}}{x}$ (ngày)

Số nón là làm mỗi ngày theo thực tế là $x + 5$ (chiếc)

Số ngày hoàn thành thực tế là $\frac{{300}}{{x + 5}}$ (ngày)

Vì cơ sở hoàn thành sớm hơn $3$ ngày so với thời gian đã định nên ta có phương trình:

$\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 5}} = 3$

$\frac{{300\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{300x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = 3$

$\frac{{1500}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = 3$

$3{x^2} + 15x - 1500 = 0$

$\left( {x + 25} \right)\left( {x - 20} \right) = 0$

Suy ra $x = - 25$ (loại) và $x = 20$ (thoả mãn)

Vậy số nón lá cơ sở đó làm mỗi ngày theo dự kiến là $20$ chiếc.

Xét $\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.2.a = 16 - 8a$

Để phương trình có hai nghiệm ${x_1}$;${x_2}$ thì $\Delta > 0$

Suy ra $16 - 8a > 0$ suy ra $a < 2$

Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{a}{2}\end{array} \right.$(*)

Vì phương trình có một nghiệm $\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}$

Thay $x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}$ vào phương trình ta được: $2{\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)^2} - 4\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right) + a = 0$

Suy ra $a = - 3$ (thoả mãn)

Khi đó, ${x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}$

Biểu thức tổng nghịch đảo hai nghiệm là: $A = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}$ (1)

Thay (*) vào (1) ta được $A = \frac{2}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = \frac{{ - 4}}{3}$.

Hình trụ có bán kính $r = \frac{d}{2} = 3\,\,{\rm{(cm)}}.$

a) Thể tích của hình trụ là: $V = \pi \cdot {r^2} \cdot h = \pi \cdot {3^2} \cdot 12 \approx 3{,}14 \cdot 108 \approx 339{,}12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right) = 339{,}12\,\,(ml\,).$

Vậy lon nước đó chứa được $339{,}12\,\,ml\,$ nước ngọt.

b) Diện tích toàn phần của lon nước (diện tích nhôm cần dùng) là:

${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} \approx \left( {2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \cdot 12} \right) + \left( {2 \cdot 3{,}14 \cdot {3^2}} \right)$$= 282{,}6{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) = 0{,}02826{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Tổng diện tích cho 1000 chiếc lon: $S = 0{,}02826 \cdot 1000 = 28{,}26{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Chi phí làm vỏ cho 1000 chiếc lon là: $28{,}26 \cdot 50\,\,000 = 1\,\,413\,\,000$ (đồng).

Vậy để làm $1000$ chiếc lon thế này cần $1\,\,413\,\,000$ đồng.

a) Vì $CE,\,\,BF$ là hai đường cao của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ nên $CE \bot AB\,;\,\,BF \bot AC$ hay $\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ .$

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,\,\,E,\,\,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Xét $\Delta AFH$ vuông tại $F$ nên ba điểm $A,\,\,F,\,\,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Do đó, các điểm $A,\,\,E,\,\,H,\,\,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH.$

Vậy $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AH.$

b) Vì tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (câu a) nên $\widehat {HEF} = \widehat {HAF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Mà $\widehat {HAF} = \widehat {KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Suy ra $\widehat {HEF} = \widehat {KIC}\,\,( = \widehat {HAF}\,)$ nên $\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ (đpcm).

Xét $\Delta CIE$ và $\Delta NEC$ có:

$\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ (cmt); $\widehat {ECI}$ chung.

Do đó $ΔCIE∽ΔNEC\ (g.g)$

Suy ra $\frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}}$ nên $C{E^2} = CN \cdot CI.$

Vậy $\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$ và $C{E^2} = CN \cdot CI.$

c) Ta có $PE = PF$ (do $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$) nên $P$ thuộc đường trung trực của $EF.$

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra $ME = MB = MC$.

Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ có $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra $MF = MB = MC$, do đó $ME = MF = MB = MC.$

Khi đó $M$ thuộc đường trung trực của $EF$ nên $PM$ đường trung trực của $EF.$ (*)

Ta cần chứng minh $N$ thuộc đường trung trực của $EF$.

Theo câu b) ta có suy ra $\frac{{NE}}{{IE}} = \frac{{NC}}{{CE}}$ nên $NE = \frac{{IE \cdot NC}}{{CE}}.$

Mặt khác, $AEHF$ là tứ giác nội tiếp (câu a) nên $\widehat {AFE} = \widehat {AHE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Suy ra $180^\circ - \widehat {AFE} = 180^\circ - \widehat {AHE}$ nên $\widehat {CFN} = \widehat {KHE}.$

Xét $\Delta CFN$ và $\Delta KHE$ có

$\widehat {CFN} = \widehat {KHE}$ (cmt); $\widehat {FCN} = \widehat {HKE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Do đó $ΔCFN∽ΔKHE\ (g.g)$.

Suy ra $\frac{{FN}}{{HE}} = \frac{{CN}}{{KE}}$ nên $FN = \frac{{HE \cdot CN}}{{KE}}$

Khi đó ta có $\frac{{NE}}{{FN}} = \frac{{IE \cdot NC}}{{CE}}:\frac{{HE \cdot NC}}{{KE}} = \frac{{IE \cdot NC \cdot KE}}{{CE \cdot HE \cdot NC}} = \frac{{IE \cdot KE}}{{CE \cdot HE}}$ (1)

Xét $\Delta IEA$ và $\Delta BEK$ có:

$\widehat {IEA} = \widehat {BEK}$ (đối đỉnh); $\widehat {IAE} = \widehat {BKE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Do đó $ΔIEA∽ΔBEK\ (g.g)$.

Suy ra $\frac{{IE}}{{BE}} = \frac{{EA}}{{EK}}$ nên $IE \cdot EK = EA \cdot BE$ (2)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta CEB$ có:

$\widehat {EAH} = \widehat {ECB}$ (cùng phụ $\widehat {ABC}\,)$; $\widehat {AEH} = \widehat {CEB} = 90^\circ$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset{\frown}{BI}\ )$.

Do đó $ΔAEH∽ΔCEB\ (g.g)$.

Suy ra $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{EH}}{{EB}}$ nên $EC \cdot EH = EA \cdot EB$ (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta có $\frac{{NE}}{{FN}} = \frac{{IE \cdot KE}}{{CE \cdot HE}} = \frac{{EA \cdot BE}}{{EA \cdot BE}} = 1$ nên $NE = FN.$

Do đó $N$ thuộc đường trung trực của $EF$. (**)

Từ (*), (**) suy ra ba điểm $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.

Gọi cạnh hình lập phương là $a\,(m)$ $a > 0$

Chiều rộng hình hộp chữ nhật là $x\,(m)$ $x > 0$

Suy ra chiều cao hình hộp chữ nhật là: $x\,(m)$

Chiều dài hình hộp chữ nhật là: $6x\,(m)$

Hình lập phương có 12 cạnh nên tổng độ dài các cạnh là: $12a\,(m)$

Hình hộp chữ nhật có tổng độ dài các cạnh là: $4(6x + x + x) = 32x\,(m)$

Vì tổng chiều dài thành sắt là $10\,m$ nên ta có phương trình:

$12a + 32x = 10$ (1)

Thể tích hình lập phương là: ${a^3}\,({m^3})$

Thể tích hình hộp chữ nhật là: $6x.x.x = 6{x^3}\,({m^3})$

Tổng thể tích hai hình là: $V = {a^3}\, + 6{x^3}\,({m^3})$

Ta chứng minh: ${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$ với $x,y,z > 0$

Ta có: ${(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}$

$$= {x^3} + {y^3} + 3xy(x + y)$$

Suy ra

$${x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y)$$

$${x^3} + {y^3} + {z^3} = {(x + y)^3} + {z^3} - 3xy(x + y)$$

$${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {(x + y)^3} + {z^3} - 3xy(x + y) - 3zyz$$

$${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)$$

$${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx)$$

$${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(x - y)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right]$$

Vì $x,y,z > 0$ nên $x + y + z > 0$

Mà ${(x - y)^2} \ge 0,\,{(x - z)^2} \ge 0,\,{(y - z)^2} \ge 0$

Suy ra $\frac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(x - y)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right] \ge 0$

Suy ra ${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0$

Hay ${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$

$V = {a^3} + 6{x^3}$$= {a^3} + 3{x^3} + 3{x^3}$

${a^3} + 3{x^3} + 3{x^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}.3{x^3}.3{x^3}}}$$= 3.\sqrt[3]{9}$

Dấu “=” xảy ra khi ${a^3} = 3{x^3}$ hay $a = x\sqrt[3]{3}$

$12a + 32x = 10$ (1)

$$12\sqrt[3]{3}x + 32x = 10$$

$$6\sqrt[3]{3}x + 16x = 5$$

$x = \frac{5}{{6.\sqrt[3]{6} + 16}}$$\approx 0.186$

$$V = {a^3} + 6{x^3} = 3{x^3} + 6{x^3}$$

$$= 9{x^3} = 9.{\left( {\frac{5}{{6.\sqrt[3]{6} + 16}}} \right)^3} \approx 0.058\,({m^3})$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $V$ là$0.075\,\,{m^3}$ khi $a \approx 0.034$, $x \approx 0.186$

Cạnh hình lập phương khoảng $0.034\,m$, chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật khoảng $0.186\,m$$0.11\,m$, chiều dài khoảng $1.116\,m$