Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Ngọc Thụy (Hà Nội) lần 2 có đáp án

Chọn ngẫu nhiên một quả ta có $\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}$

$$n\left( \Omega \right) = 12$$

Chọn ngẫu nhiên một quả thì các kết quả là đồng khả năng

Gọi A là biến cố “chọn được quả cầu có số chia cho $3$ dư $2$”

Biến cố A có các kết quả thuận lợi là $2;5;8;11$

$$n\left( A \right) = 4$$

$$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$$

1) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào $B$ ta có:$B = \frac{{9 + 2\sqrt 9 + 8}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{23}}{2}$.

Vậy $B = \frac{{23}}{2}$ khi $x = 9$

2) Với $x \ge 0\;;\;x \ne 1$ ta có:

$A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{3\sqrt x + 1 - 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

c) Ta có: $P = B:A$$= x + 2\sqrt x + 8$

$x \ge 0$

$\sqrt x \ge 0$$\Rightarrow 2\sqrt x \ge 0$

Suy ra $x + 2\sqrt x \ge 0$

$x + 2\sqrt x + 8 \ge 8$

Vậy $P \ge 8$

GTNN $P = 8$. Dấu “=” xảy ra khi $x = 0$ (thỏa mãn)

Gọi số chiếc áo tổ 1 may mỗi ngày là x (chiếc áo) $x \in {N^*}$

Gọi số chiếc ảo tổ 2 may mỗi ngày là y (chiếc áo) $y \in {N^*}$

Nếu tổ $1$ may trong $3$ ngày và tổ $2$ may trong $5$ ngày thì được $1310$ chiếc áo nên ta có phương trình

$3x + 5y = 1310$ (1)

Biết mỗi ngày tổ $1$ may được nhiều hơn tổ $2$ là $10$ chiếc nên ta có phương trình

$x - y = 10$ (2)

Từ (1); (2) ta có hệ phương trình

$$\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1310\\x - y = 10\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1310\\3x - 3y = 30\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\8y = 1280\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 170\\y = 160\end{array} \right.(TM)$$

Vậy số chiếc áo tổ 1 may mỗi ngày là $170$ (chiếc áo)

Gọi số chiếc ảo tổ 2 may mỗi ngày là $160$ (chiếc áo)

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (dãy) $x \in {N^*}$

Số người mỗi dãy ghế là $\frac{{150}}{x}$ người

Số dãy ghế lúc sau là $x + 2$ dãy ghế

Số người mỗi dãy ghế lúc sau là $\frac{{150}}{x} + 3$ người

Theo đề bài ta có phương trình

$$\left( {x + 2} \right)\left( {\frac{{150}}{x} + 3} \right) = 150 + 66$$

$$150 + 3x + \frac{{300}}{x} + 6 = 150 + 66$$

$$3x + \frac{{300}}{x} = 60$$

$$3{x^2} - 60x + 300 = 0$$

$$3{\left( {x - 10} \right)^2} = 0$$

$$x = 10\left( {TM} \right)$$

Gọi số dãy ghế lúc đầu là $3$ (dãy)

Cho parabol $y = a{x^2}$ đi qua điểm $A(1;2)$ nên thay $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$ vào parabol $y = a{x^2}$ có

$$a{.1^2} = 2$$

$$a = 2$$

Suy ra $y = 2{x^2}$

Gọi điểm thuộc parabol có tung độ bằng 8 có dạng $M\left( {x;8} \right)$

Suy ra $2{x^2} = 8$

$${x^2} = 4$$

Suy ra $x = 2$ hoặc $x = - 2$

Suy ra $M\left( {2;8} \right)$ hoặc ${M_1}\left( { - 2;8} \right)$

Bán kính của hình nón là: $r = \frac{{35 - 10.2}}{2} - 7{,}5\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Bán kính của hình vành khuyên là: $R = \frac{{35}}{2} = 17{,}5\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Diện tích xung quanh hình nón là: ${S_1} = \pi rl = \pi .7{,}5.30 = 225\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Diện tích hình vành khuyên là: ${S_2} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \pi \left( {{{17{,}5}^2} - {{7{,}5}^2}} \right) = 250\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Diện tích vải cần làm mũ là:

$S = \left( {1 + 15\% } \right).\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 1{,}15\left( {225\pi + 250\pi } \right) = 546{,}25\pi \approx 546{,}25.3{,}14 \approx 1715{,}225\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Có $D \in$ đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB\;$(giả thiết) nên $\widehat {ADB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $\widehat {EDB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta EDB$ vuông tại $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$ (1)

Có $d \bot AB$ tại $C$, $E \in d$ (giả thiết) nên $\widehat {ECB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta CEB$ vuông tại $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow E,C,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$

b) Có $N \in$ đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB\;$(giả thiết) nên $\widehat {ANB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra$\;AN$ vuông góc với $EB$ tại $N$

Tam giác $AEB$ có:

$EC$ là đường cao (vì $EC$ vuông góc với $AB$ tại $C$)

$AN$ là đường cao (vì $AN$ vuông góc với $EB$ tại $N$)

$BD$ là đường cao (vì $BD$ vuông góc với $AE$ tại $D$)

Suy ra $AN,EC,\;BD$ đồng quy tại một điểm (tính chất)

Mà $AN$ cắt $EC$ tại $F$ (giả thiết)

Suy ra $BD$ đi qua $F$ hay ba điểm $B,\;F,\;D$ thẳng hàng.

Xét tam giác $AFC$ và tam giác $ABN$ có:

$\widehat {ACF\;} = \widehat {ANB\;} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

$\widehat {NAB}$ chung

Suy ra $ΔAFC∽\ ΔABN$ (góc – góc)

Suy ra $\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AN}}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra $AF.AN = AB.AC$ (3)

Xét tam giác $BCF$ và tam giác $BDA$ có:

$\widehat {BCF\;} = \widehat {BDA\;} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

$\widehat {DBA}$ chung

Suy ra $ΔBCF∽\ ΔBDA$ (góc – góc)

Suy ra $\frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BA}}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra $BC.BA = BD.BF$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $AF.AN + BD.BF = AB.AC + BC.BA = AB\left( {AC + BC} \right) = AB.AB = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}$

c)

Gọi $G$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $AB$

Suy ra tứ giác $AEFG$ nội tiếp đường tròn $\left( I \right)$

Suy ra $\widehat {AEF} + \widehat {AGF} = 180^\circ$ (tính chất)

Mà $\widehat {AGF} + \widehat {FGB} = 180^\circ$ (kề bù)

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {FGB}$

Có $E,C,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$

Nên tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $EB$

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {FBG}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$)

Mà $\widehat {AEF} = \widehat {FGB}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat {FGB} = \widehat {FBG}$

Suy ra tam giác $FGB$ cân tại $F$

Mà $FC$ là đường cao

Suy ra $FC$ cũng là đường trung tuyến

Suy ra $C$ là trung điểm $GB$

Mà $A,B,C$ cố định nên $G$ cố định

Tứ giác $AEFG$ nội tiếp đường tròn $\left( I \right)$ suy ra $I$ thuộc trung trực của $AG$

Mà $A,G$ cố định

Vậy điểm $I$ luôn nằm trên đường trung trực của $AG$ cố định khi $N$ thay đổi trên cung nhỏ $MB$($N$ khác $M$ và $B$).

Gọi số xe cần thuê loại $A$, $B$ cần thuê là x, y $(0 \le x \le 10\;,\;x \in N)$, $(0 \le y \le 9\;,\;y \in N)$

Lượng hàng tối đa chở được là: $0{,}6x + 1{,}5y$(tấn).

Suy ra $0{,}6x + 1{,}5y \ge 9$ hay $2x + 5y \ge 30$

Số người tối đa chở được là: $4x + 2y$(người).

Suy ra $4x + 2y \ge 28$ hay $2x + y \ge 14$

Chi phí cần bỏ ra là: $A = 4x + 3y$(triệu đồng).

$4A = (2x + 5y) + 7(2x + y) \ge 30 + 98$

$A \ge 32$

GTNN của $A = 32$ khi $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.$.

Vậy đoàn tình nguyện phải thuê $5$ xe loại $A$ và $4$ xe loại $B$ đề chi phí bỏ ra là ít nhất.