Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 THCS Chuyên Hà Nội Amsterdam (Hà Nội) Tháng 5 lần 2 có đáp án

Số học sinh tham gia điều tra là $1 + 5 + 9 + 5 = 20$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm

Các kết quả xảy ra của phép thử là đồng khả năng

Không gian mẫu của phép thử là $\Omega = \left\{ {1;2;3;...;29;30} \right\}$

$\Rightarrow n\left( \Omega \right) = 30$

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $2;3;5;7;11;13;17;19;23;29$

$\Rightarrow n\left( A \right) = 10$

Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}$.

1) Thay $x = 16$ (TMĐK) vào biểu thức A ta có: $A = \frac{{16}}{{\sqrt {16} - 3}} = 16$

Vậy $A = 16$ tại $x = 4$.

2) Với $x > 0,x \ne 9$, ta có:

$B = \frac{{2x - 3}}{{x - 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }}$$= \frac{{2x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{2x - 3 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{2x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}$

3) Với $x > 0,x \ne 9$, ta có: $A - B = \frac{x}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}$$= \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 3}}$

Vì ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x > 0,x \ne 9$ nên $A - B < 0$ khi $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ne 0\\\sqrt x - 3 < 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x < 9\end{array} \right.$

Vậy để $A - B < 0$ thì $0 < x < 9;x \ne 1$.

Số tiền phải trả cho $4$km đầu tiên là: $700000$đồng

Số tiền phải trả từ km thứ $5$ đến km thứ $40$ là: $36.23\,\,000 = 828\,000$ (đồng)

Số tiền phải trả từ km thứ $41$ đến km thứ $42$ là $2.17\,\,000 = 34\,\,000$(đồng)

Vậy số tiền công ty phải trả khi thuê một xe 1,4 tấn để vận chuyển hàng là:

$700\,000 + 828\,\,000 + 34\,\,000 = 1\,\,562\,\,000$(đồng)

Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội sản xuất theo kế hoạch là: $x$(sản phẩm, $x \in \mathbb{N}*$)

Khi đó, số sản phẩm đội sản xuất mỗi ngày trong thực tế là: $x + 5$ (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch để đội sản xuất được $75$ sản phẩm $\frac{{75}}{x}$ (ngày)

Thời gian trong thực tế mà đội sản xuất được $80$sản phẩm là: $\frac{{80}}{{x + 5}}$ (ngày)

Theo đề, ta có phương trình: $\frac{{75}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = 1$

$\frac{{75.\left( {x + 5} \right)}}{{x.\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{80x}}{{x.\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x.\left( {x + 5} \right)}}{{x.\left( {x + 5} \right)}}$

$75x + 375 - 80x = {x^2} + 5x$

${x^2} + 10x - 375 = 0$

${x^2} + 25x - 15x - 375 = 0$

$\left( {x + 25} \right)\left( {x - 15} \right) = 0$

$x + 25 = 0$ hoặc $x - 15 = 0$

$x = - 25$ (ktm) hoặc $x = 15$ (tm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội sản xuất phải làm $15$ sản phẩm.

Xét phương trình: ${x^2} - 5x + 3 = 0$ (*)

Ta có: $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.3 = 13 > 0$ nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.\,{x_2} = 3\end{array} \right.$, vì ${x_1} + {x_2} > 0;\,\,{x_1}.\,{x_2} > 0$ nên ${x_1} > 0;\,\,{x_2} > 0$

Vì ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*) nên $5{x_1} = x_1^2 + 3$; $5{x_2} = x_2^2 + 3$

Ta có: $A = \sqrt {5{x_1} + 4{x_1} + 1} + \sqrt {5{x_2} + 6{x_2} + 6} - 10$

$A = \sqrt {x_1^2 + 3 + 4{x_1} + 1} + \sqrt {x_2^2 + 3 + 6{x_2} + 6} - 10$

$A = \sqrt {x_1^2 + 4{x_1} + 4} + \sqrt {x_2^2 + 6{x_2} + 9} - 10$

$A = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 3} \right)}^2}} - 10$

$A = \left| {{x_1} + 2} \right| + \left| {{x_2} + 3} \right| - 10$

Vì ${x_1} > 0;{x_2} > 0$ nên ${x_1} + 2 > 0;{x_2} + 3 > 0$, do đó:

$A = A = {x_1} + 2 + {x_2} + 3 - 10$=$5 - 5 = 0$

Diện tích xung quanh của cây lăn sơn là $2\pi Rh = 2\pi .5.23 = 230\pi \approx 722{,}2\left( {c{m^2}} \right)$

Với diện tích tường cần sơn là $3100\,c{m^2}$ thì cây lăn sơn đã lăn khoảng: $3100:722{,}2 = 4{,}29$(vòng)

Mà sau khi lăn $1000$ vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Vậy bạn An cần mua ít nhất một cây lăn sơn tường

a) Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB} = {90^o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\widehat {ECF} = {90^o}$ (kề bù với $\widehat {ACB}$) và $\widehat {EDF} = {90^o}$ (kề bù với $\widehat {ADB}$)

Suy ra $\Delta ECF$vuông tại $C$ và $\Delta EDF$vuông tại $D$

Suy ra $\Delta ECF$ nội tiếp đường tròn đường kính $EF$và $\Delta EDF$nội tiếp đường tròn đường kính $EF$

Hay ba điểm $E,C,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EF$và ba điểm $E,D,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính$EF$.

Suy ra bốn điểm $E,C,F,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính$EF$.

Hay tứ giác $ECFD$ nội tiếp.

b) + Xét tam giác $FCB$và tam giác $FDA$có : $\widehat {FCB} = \widehat {FDA} = {90^o}$, $\widehat {AFB}$chung

Suy ra $ΔFCB∽ΔFDA(g.g)\Rightarrow \frac{FC}{FD}=\frac{FB}{FA}\Rightarrow FC.FA=FB.FD$

+ Xét tam giác $FCE$vuông tại $C$ có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $EF$ (gt)

Nên $IF = IC = IE = \frac{1}{2}EF$

Þ $\Delta FIC$cân tại $I$Þ $\widehat {ICF} = \widehat {IFC}$

+ Vì tứ giác $ECFD$ nội tiếp nên $\widehat {CFE} = \widehat {CDE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CE$)

Hay $\widehat {CFI} = \widehat {CDA} = \widehat {ICF}$

Mà $\widehat {CDA} = \widehat {CBA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CA$ trong đường tròn $\left( O \right)$)

Suy ra $\widehat {ICF} = \widehat {CBA}$ hay $\widehat {ICF} = \widehat {CBO}$

Mà $\widehat {CBO} = \widehat {BCO}$ (vì $OC = OB = R$ nên $\Delta OCB$ cân tại $O$)

Nên $\widehat {ICF} = \widehat {BCO}$

Mà $\widehat {ICF} + \widehat {ICB} = \widehat {FCB} = {90^o}$

Nên $\widehat {BCO} + \widehat {ICB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ICO} = {90^o}$ hay $IC \bot CO$mà $CO = R$

Nên $IC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

c) + Chứng minh tương tự có $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ Þ $\widehat {IDO} = {90^o}$

+ Xét tứ giác $ICOD$ có $\widehat {ICO} = \widehat {COD} = \widehat {IDO} = {90^o}$ nên $ICOD$là hình chữ nhật

Mà $OC = OD = R$ nên $ICOD$là hình vuông $\Rightarrow CI = CO$

+ Xét tam giác $ICO$ vuông cân tại $C$ có $I{O^2} = C{I^2} + C{O^2} \Rightarrow I{O^2} = 2{R^2} \Rightarrow IO = R\sqrt 2$

+ Gọi $M$là điểm trên cung $AB$ (không chứa điểm $C$) sao cho $OM \bot AB$

Ta có $E$ là giao điểm của hai đường cao $BC,\,AD$ trong tam giác $FAB$ nên E là trực tâm của tam giác $FAB$. Suy ra $IE \bot AB$

Suy ra $OM//IE$

Mà $IE = IC = CO = R$ hay $OM = IE = R$

Nên tứ giác $OIEM$ là hình bình hành.

Suy ra $ME = OI = R\sqrt 2$

Vậy khi điểm $C$ thay đổi thoả mãn điều kiện bài toán thì điểm $E$ di chuyển trên một đường tròn cố định là đường tròn $\left( {M,R\sqrt 2 } \right)$.

Đặt $AM = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Ta có ${S_{ABCD}} = 100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$ nên $AB = BC = CD = DA = 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Do đó $BM = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Tứ giác $BMHN$ có $\widehat B = \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ$ nên tứ giác $BMHN$ là hình chữ nhật.

Do đó $HM = BN = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$, $MB = HN = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC$ là phân giác $\widehat {BAC}$, $CA$ là phân giác $\widehat {BCD}$

Suy ra $\widehat {MAH} = \widehat {NCD} = 45^\circ$

Do đó $\Delta MAH$ vuông cân tại $M$ và $\Delta NHC$ vuông cân tại $N$

Suy ra $MH = MA = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$, $NH = NC = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Ta có ${S_{DMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMD}} + {S_{BMN}} + {S_{CND}}} \right)$$= 100 - \frac{1}{2}\left( {AM.AD + BM.BN + CN.CD} \right)$

$= 100 - \frac{1}{2}\left[ {10x + \left( {10 - x} \right)x + 10\left( {10 - x} \right)} \right]$$= 100 - \frac{1}{2}\left( {10x + 10x - {x^2} + 100 - 10x} \right)$

$= 100 - \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 10x + 100} \right)$$= \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 50$$= \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 10x + 100} \right)$$= \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right]$

Vì ${\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0$

${\left( {x - 5} \right)^2} + 75 \ge 75$

$\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right] \ge \frac{{75}}{2}$

${S_{DMN}} \ge \frac{{75}}{2}$

Dấu xảy ra khi $x = 5$

Vậy giá trị nhỏ nhất của ${S_{DMN}} = \frac{{75}}{2}$ khi $x = 5$

Hay $AM = 5{\rm{ m}}$

Xét $\Delta AMH$ vuông tại $H$ nên $AH = \sqrt {M{A^2} + M{H^2}} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 {\rm{ m}}$

Vậy điểm $H$ nằm trên $AC$ cách $A$ một đoạn bằng $5\sqrt 2 {\rm{ m}}$ thì diện tích phần trồng hoa $DMN$ là nhỏ nhất và bằng $\frac{{75}}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.