Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2026 Trường THCS Yên Hòa (Hà Nội) lần 3 có đáp án

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $\left[ {600\,;\,750} \right)$ với tần số $40$.

Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là $\frac{{40.100}}{{150}}\% = 26{,}7\%$.

Kí hiệu các quả bóng đỏ trắng xanh là .

Không gian mẫu: $Ω=\{{Đ}_{1}{Đ}_{2}\ ;\ {X}_{1}{X}_{2}\ ;\ {T}_{1}{T}_{2}\ ;\ {Đ}_{1}{X}_{1}\ ;\ {Đ}_{1}{X}_{2}\ ;\ {Đ}_{2}{X}_{1}\ ;\ {Đ}_{2}{X}_{2}\ ;\ {Đ}_{1}{T}_{1}\ ;\ {Đ}_{1}{T}_{2}\ ;\ {Đ}_{2}{T}_{1}\ ;\ {Đ}_{2}{T}_{2}\ ;\ {X}_{1}{T}_{1}\ ;\ {X}_{1}{T}_{2}\ ;\ {X}_{2}{T}_{1}\ ;\ {X}_{2}{T}_{2}\}$

Có $9$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:

${Đ}_{1}{Đ}_{2}\ ;\ {Đ}_{1}{X}_{1}\ ;\ {Đ}_{1}{X}_{2}\ ;\ {Đ}_{2}{X}_{1}\ ;\ {Đ}_{2}{X}_{2}\ ;\ {Đ}_{1}{T}_{1}\ ;\ {Đ}_{1}{T}_{2}\ ;\ {Đ}_{2}{T}_{1}\ ;\ {Đ}_{2}{T}_{2}$

$P\left( A \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}$.

a) Thay $x = 9$ (TMĐK) vào biểu thức $A$, ta có: $A = \frac{{\sqrt 9 + 1}}{{9 + \sqrt 9 + 1}} = \frac{4}{{13}}$.

Vậy $A = \frac{4}{{13}}$khi $x = 9$.

b) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có $B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}$.

Do đó $P = B - A = \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{ - \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$Q = \frac{2}{P} + \sqrt x = \frac{{2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{ - \sqrt x }} + \sqrt x = \frac{{ - 2{\rm{x}} - 2\sqrt x - 2 + x}}{{\sqrt x }}$

$= \frac{{ - x - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - \left( {\sqrt x + 2 + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)$

Với $a \ge 0;b \ge 0$ ta có: ${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$

$a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0$

$a + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$.

Với $x > 0;x \ne 1$ thì $\sqrt x > 0$và $\frac{2}{{\sqrt x }} > 0$

Ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}}$

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2$

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2$

$- \left( {\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} + 2} \right) \le - 2\sqrt 2 - 2$

$Q \le - 2\sqrt 2 - 2$

Vậy giá trị lớn nhất của $Q = - 2\sqrt 2 - 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ suy ra $x = 2$ (TMĐK).

Giả sử trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được $x$ chiếc áo sơ mi $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau $12$ tháng là:

$12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)$ (đồng)

Do đó để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ý nhât là $1{,}38$tỉ đồng thì$12\left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000$

$$350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000 \ge 115\,\,000\,\,000$$

Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất $1\,500$ chiếc áo sơ mi để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ít nhất là $1{,}38$tỉ đồng sau $1$ năm.

Gọi $x$ là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (sản phẩm, $x \in \mathbb{N}*$)

Số sản phẩm làm trong một ngày theo thực tế là: $x + 10$ (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo kế hoạch là: $\frac{{600}}{x}$ (ngày)

Số sản phẩm làm được trong thực tế là: $600 + 100 = 700$ (sản phẩm)

Thời gian làm xong sản phẩm theo thực tế là: $\frac{{700}}{{x + 10}}$ (ngày)

Do thực tế hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

$$\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1$$

$$\frac{{600\left( {x + 10} \right) - 700x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}$$

Suy ra $600x + 6000 - 700x = {x^2} + 10x$

$${x^2} + 110x - 6000 = 0$$

Tính được $x = - 150\,\,\left( {ktm} \right)\,\,,\,\,\,x = 40\left( {tm} \right)$

Vậy số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là $40$ sản phẩm.

Xét phương trình ${x^2} - 4x + 2m + 1 = 0$ có:

$\Delta ' = {( - 2)^2} - 1(2m + 1) = 3 - 2m$.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1}{\rm{, }}{x_2}$thì:

$\Delta ' > 0$ hay $3 - 2m > 0$ suy ra $m < \frac{3}{2}$.

Khi đó, áp dụng hệ thức Viète có: ${x_1} + {x_2} = 4$ và ${x_1}.{x_2} = 2m + 1$.

Ta có: $x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3$

$x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3$

${\left( 4 \right)^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4{m^2} + 3$

$$4{m^2} + 2m - 12 = 0$$

$$2{m^2} + m - 6 = 0$$

$\left( {2m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0$

$m = \frac{3}{2}$ hoặc $m = - 2$.

Kết hợp điều kiện ta được $m = - 2$ là giá trị cần tìm.

Bán kính hình cầu là : $r = 1{,}8:2 = 0{,}9\left( m \right)$

Thể tích hình trụ là : ${V_1} = \pi .0,{9^2}.3{,}62 = 2{,}9322\pi \left( {{m^3}} \right)$

Thể tích hai nửa hình cầu là: ${V_2} = \frac{4}{3}\pi .0,{9^3} = 0{,}972\pi \left( {{m^3}} \right)$

Thể tích của xe chở bồn nước là: $V = {V_1} + {V_2} = 2{,}9322\pi + 0{,}972\pi = 3{,}9042\pi \left( {{m^3}} \right)$

Số lít nước mỗi hộ dân sử dụng là: $3{,}9042\pi :200 \approx 0{,}061\left( {{m^3}} \right) = 61$lít

Vậy số nước mỗi hộ dân sử dụng là $61$lít.

a) • $\widehat {AFH} = 90^\circ$ (vì CF là đường cao $\Delta ABC$)

Xét $\Delta AFH$ vuông tại $F$ nên $\Delta AFH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

Suy ra $A;H;F$cùng thuộc một đường tròn đường kính $AH$. (1)

• $\widehat {AEH} = 90^\circ$ (vì BE là đường cao $\Delta ABC$)

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $E$ nên $\Delta AEH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

Suy ra $A;H;E$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AH$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $A,F,H,E$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AH$.

b) Ta có: $\widehat {ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat {ADB} = 90^\circ$ (vì $AD$ là đường cao $\Delta ABC$) nên $\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ$.

$\widehat {ABC} = \widehat {AMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACM$có: $\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ$; $\widehat {ABC} = \widehat {AMC}$

Do đó

$\Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AD.AM = AB.AC$

c) • Xét $\Delta ABC$có $H$ là trực tâm nên $BH \bot AC;CH \bot AB$ và $BM \bot AB;CM \bot AC$

Do $\widehat {ABM} = \widehat {ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $CM\,{\rm{//}}\,BH\,;\,\,BM\,{\rm{//}}\,CH$.

Do đó tứ giác $BHCM$ là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo $HM$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà K là trung điểm của $BC$nên K là trung điểm của $HM$$\Rightarrow H,M,K$ thẳng hàng.

• Ta có $\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ$ (kề bù)

Chứng minh được tứ giác $BFEC$ nội tiếp nên $\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ$ (tính chất)

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ABI}$

Chứng minh: suy ra $\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}$

Chứng minh: suy ra $\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AB}}$

$\Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AM}} \Rightarrow PI\,{\rm{//}}\,HM$ (định lí Thalès đảo)

Vậy $PI\,\,{\rm{//}}\,HM$(đpcm)

Gọi $x,y,z$ lần lượt là số hộp táo, cam , quýt mà cửa hàng nhập về ($x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$)

Vì phải nhập đủ cả ba loại nên $x,y,z \ge 1$.

Số tiền nhập táo, cam quýt không được vượt quá $1\,\,000\,\,000$ đồng nên ta có

$100\,\,000\,x + 200\,\,000\,y + 100\,\,000\,z \le 1\,\,000\,\,000$

$x + 2y + z \le 10$$\left( 1 \right)$

Cửa hàng cần nhập ít nhất $3$ hộp quả táo và cam cộng lại nên $x + y \ge 3$$\left( 2 \right)$

Lợi nhuận thu được là : $200\,\,000\,x + 300\,\,000\,y + 100\,\,000\,z$

Để lợi nhuận cao nhất ta cần ưu tiên nhập táo rồi đến cam, cuối cùng là quýt.

Giả sử, quýt và cam nhập số hộp ít nhất nên $y = z = 1$

Thay $y = z = 1$ vào $\left( 1 \right)$ thì $x + 2.1 + 1 \le 10$ suy ra $x \le 7$

Chọn $x = 7$, ta có: $7 + 1 = 8 > 3$ (thỏa mãn $\left( 2 \right)$)

Vậy số thùng táo cần nhập là $7$, số thùng cam là $1$ và số thùng quýt là $1$.

Khi đó, lợi nhuận thu được tối đa là : $200\,\,000\,.7 + 300\,\,000\,.1 + 100\,\,000\,.1 = 1\,\,800\,\,000$ (đồng).