Đề thi thử TS vào 10 (Lần 2 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Hoằng Thanh_Tỉnh Thanh Hóa

Đáp án đúng là: B

Giải phương trình:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {2x - 6}$ là $2x - 6 \ge 0,$ tức là $2x \ge 6$ hay $x \ge 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 2$ vào hàm số $y = - 2{x^2},$ ta có: $y = - 2 \cdot {2^2} = - 8.$

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình $5x - 3 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng $ax + b < 0$ với $a = 5,\,\,b = - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Độ dài cung $60^\circ$ của đường tròn có bán kính 5 cm là: $l = \frac{{\pi \cdot 5 \cdot 60}}{{180}} = \frac{{5\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: D

Giải bất phương trình:

$- 2x + 1 \le 13$

$- 2x \le 12$

$x \ge - 6.$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \ge - 6.$

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3};\,\,\,\tan C = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}.$

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn $\left( {O;\,\,4{\rm{\;cm}}} \right)$ và $\left( {O;\,\,3{\rm{\;cm}}} \right)$ là:

$S = \pi \left( {{4^2} - {3^2}} \right) = 7\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Phương trình ${x^2} + 2x - 3 = 0$ có $a = 1,\,\,b = 2,\,\,c = - 3$ và $a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: ${x_1} = 1,\,\,{x_2} = - 3.$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 6\\2x + 3y = 9.\end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình của phương trình trên, ta được:

$5x = 15,$ suy ra $x = 3.$

Thay $x = 3$ vào phương trình $2x + 3y = 9,$ ta được:

$2 \cdot 3 + 3y = 9$ suy ra $3y = 3$ nên $y = 1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {3;\,\,1} \right).$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4,$ ta có:

$A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{4\sqrt x - 1}}{{x - 4}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 4\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x + 2}}$$

$$= \frac{{x - 2\sqrt x - x - 2\sqrt x + 4\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x + 2}}$$

$$= \frac{{ - 1}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{1} = - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}.$$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ thì $A = - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}.$

Xét phương trình: ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$ có $a = 1,\,\,b = - m - 1,\,\,c = m.$

Ta có $a + b + c = 1 - m - 1 + m = 0.$ Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 1;\,\,x = m.$

Xét hệ thức $x_1^2 + x_2^2 = \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) + 2$ ta thấy vai trò của ${x_1},\,\,{x_2}$ như nhau.

Khi đó, ta có:

${1^2} + {m^2} = \left( {1 - 1} \right)\left( {m - 1} \right) + 2$

$1 + {m^2} = 0 \cdot \left( {m - 1} \right) + 2$

$1 + {m^2} = 2$

${m^2} = 1$

$m = 1$ hoặc $m = - 1.$

Vậy $m \in \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

Gọi $x,\,\,y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai $\left( {0 < x,\,\,y < 600} \right).$

Tổng số tiền cho hai khoản đầu tư là: $x + y = 600.\,\,\,\left( 1 \right)$

Số tiền lãi cho khoản đầu tư thứ nhất là: $4\% x = 0{,}04x$ (triệu đồng).

Số tiền lãi cho khoản đầu tư thứ hai là: $6\% y = 0{,}06y$ (triệu đồng).

Theo bài, sau một năm số tiền lãi thu được là 28 triệu nên ta có phương trình:

$0{,}04x + 0{,}06y = 28$ hay $2x + 3y = 1\,\,400.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\2x + 3y = 1\,\,400\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 400\\y = 200\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy cô An đã chia khoản đầu tư thứ nhất là 400 triệu đồng, khoản đầu tư thứ hai là 200 triệu đồng.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC = 6{\rm{\;m}},\,\,BC = 8{\rm{\;m}}$ mô hình hóa bài toán trên.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$

Suy ra $\widehat {B\,} \approx 48^\circ 35'.$

Vậy góc tạo bởi thang tre với mặt đất là khoảng $48^\circ 35'.$

Do $ΔAMC$ vuông tại $M$ nên ba điểm $A,\ \ M,\ \ C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AC.$

Do $ΔAHC$ vuông tại $H$ nên ba điểm $A,\ \ H,\ \ C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AC.$

Do đó bốn điểm $A,\ \ M,\ \ C,\ \ H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC.$

⦁ Vì điểm $C$ thuộc nửa đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ .$

Xét $\Delta CHB$ vuông tại $H,$ ta có: $\widehat {HBC} + \widehat {HCB} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra $\widehat {ACH} = \widehat {HBC}.$

Xét $\Delta AHC$ và $\Delta CHB$ có: $\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ$ và $\widehat {ACH} = \widehat {CBH}.$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{AH}}{{CH}}$ hay $C{H^2} = AH \cdot BH.$

⦁ Xét $\Delta OAC$ cân tại $O$ (do $OA = OC)$ nên $\widehat {ACO} = \widehat {CAO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {AOC}$.

Lại có $\widehat {AOC},\,\,\widehat {ABC}$ lần lượt là góc ở tâm, góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ của nửa đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC}$ hay $\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}.$

Do đó $\widehat {ACO} = 90^\circ - \widehat {ABC}$ suy ra $\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACO}.$

Vì $d$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$ nên $OM \bot d$ tại $C$

Suy ra $\widehat {ACM} + \widehat {ACO} = \widehat {MCO} = 90^\circ$ hay $\widehat {ACM} = 90^\circ - \widehat {ACO}.$

Do đó $\widehat {ABC} = \widehat {ACM}.$ Mà $\widehat {ACH} = \widehat {ABC}$ (chứng minh trên) nên $\widehat {ACM} = \widehat {ACH}.$

Xét $\Delta ACM$ và $\Delta ACH$ có: $\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ ,$ $AC$ là cạnh chung và $\widehat {ACM} = \widehat {ACH}.$

Do đó $\Delta ACM = \Delta ACH$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AM = AH$ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có $\Delta BCN = \Delta BCH$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên $BN = BH$ (hai cạnh tương ứng).

Khi đó, $AM \cdot BN = AH \cdot BH = C{H^2}.$

Mà $CH \le CO$ nên $AM \cdot BN \le C{O^2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $CH = CO,$ tức là điểm $H$ trùng điểm $O,$ khi đó ta có $CO \bot AB$ tại $O$ nên điểm $C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn $\left( O \right).$

Vậy khi điểm $C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn $\left( O \right)$ thì $AM \cdot BN$ đạt giá trị lớn nhất.

Số học sinh đạt từ điểm 2 đến điểm 9 là: $43 - 2 = 41$ (học sinh).

Từ điểm 2 đến điểm 9 có 8 loại điểm.

Giả sử trong 41 học sinh đó không có nhiều nhất là 5 bạn có điểm kiểm tra bằng nhau.

Khi đó số học sinh nhiều nhất có thể là: $8 \cdot 5 = 40 < 41$ (điều này là vô lí).

Vậy có ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.